公开课：高三理科数学第一轮数列求和复习范文

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1、nnnnnn数列求和课例的教学设计一 教学目标:研究近几年的高考试卷 , 发现数列与不等式 , 三角函数 , 向量等知识的综合应用往 往出现在高考中的最后两题 ,成为学生的丢分题 , 从而加强数列综合应用的教学显得 尤为重要.根据学生的认知水平和数列求和在新课程理念的要求,确定教学目标如下：知识目标 ：六时间安排复习引入（约 10 分钟） 例题讲解（约 10 分钟） 学生评析（约 18 分钟） 学生小结（约 2 分钟） 复习等差和等比数列的前 n 项和公式、回忆公式推导过程所用倒序想加和错位 相减的思想方法 ,及用数列求和公式求和时 , 应弄清基本量中各基本量的值 , 特别是用 等比数列求和公

2、式求和时,应关注公比 q 是否为 1; 记住一些常见结论便于用公式法对数列求和; 学会分析通项的结构并且对通项进行分拆 ; 能运用拆并项求和思想方法解决非 特殊数列求和问题。能力目标 ：七 板书设计：数列求和（一） 1公式法常见重要公式2拆并项求和法,例题解答板书 例 1:例 2:学生演练例 1:2 等培养学生用联系和变化的观点,结合转化的思想来分析问题和解决问题的能力。 情感目标 ：培养学生用数学的观点看问题,从而帮助他们用科学的态度认识世界.二 教材重、难点数列求和是一个很重要的内容 ,前面已学习了等差与等比数列求前 n 项和的公式 , 但是不少题目是不能直接套用公式的 , 有些需要用一些

3、特殊的方法 , 如课本上介绍的 “高斯求和法”（“倒序相加法”）、“错位相减法”等常用的数列求和法主要有下面 几种：1直接用等差与等比求前n项和的公式法；2折项或并项求和法；3奇偶求（一）主要知识：1等差数列的前 n 项和公式：S 2等比数列的前 n 项和公式： 当 q1 时，S 当 q1 时，S 和法；4裂项求和法；5错位相减法；6.猜想归纳法本节课是高三第一轮复习中 数列求和的第一节 , 从而分析变换通项以及用局部和整体的思想来选择恰当的方法对 非特殊的数列求和是本节课的重点与难点. S =nk =11k = n ( n +1) 2 S =nk =1k21= n( n +1)(2 n +1

4、) 6 S =nk =1k31= n ( n +1) 22三 教学方法、手段通过设问、启发、当堂训练的教学程序,采用启发式讲解、互动式讨论、反馈式评 价的授课方式 , 培养学生的自学能力和分析与解决问题的能力 ,借助幻灯片辅助教学 ,（二）主要方法：若已知一个数列的通项 ,如何对其前 n 项求和 ?（秒杀，提信心）请说明方法：达到增加课堂容量、提高课堂效率的目的,营造生动活泼的课堂教学氛围. a =3nn a =3nna =3 n +2 n -1 n四 学情分析本人执教的学校是省重点中学,所教的班级是高三年级的实验班,学生具有较好的 数学功底, 具备一定的独立思考、合作探究能力,因此本节课采用

5、学生主讲、教师点 a =n ( n +1) n a =n1 n( n +1) a =n 3 nn评的授课方式,既能充分发挥学生主观能动性,又能充分暴露学生认知过程中的错误, 更重要的是能达到预期的教学目的,获取理想的教学效果.（三）典题热身：（牛刀小试，自找差距）五 学法指导为了发挥学生的主观能动性,提高学生的综合能力,确定了三种学法：1、 1 +3 +5 +L+2 n -1 =_1 +2 +4 +L+2 n =_（1）自主性学习法,（2）探究性学习法,（3）巩固反馈法,2、求 a +a 2 +a 3 +L+a n =_3、数列,Ln n 1 +nnn n +12 3nnn -12=2 1 -

6、n，2，322n -1n1 -nn1 1 1 11 ,2 ,3 ,4 前 n 项的和为_2 4 8 164、数列a 中，a =1+2+2n1(nN*)，则该数列前 n 项和为 5、已知数列 的前 n 项之和为 10，则项数 n= n + n +1 方法小结：变式 1. 求数列 a, 2 a 2 ,3 a 3 , 解： S =a +2 a 2 +3a 3 +n当 a =1 时， S =1n, na n+na n2 3, 的前 n 项和 Sn，n( n +1) + +n = ，2解：.a 1n + n +1n +1 - n，当 a 1 时，S =a +2 a n2+3a3+ +nan，S n +1

7、 -1 ，由 n +1 -110，n +111， n120aS =an2+2 a3+3a4+ +nan +1，6、求sin 2 1o+sin 2 2 o +sin 2 3o +sin288o+sin 2 89o的值 =两式相减得(1-a ) S =a +a +a + +a -nana(1-a n ) = -na1 -an +1，解：设 S =sin 2 1o +sin 2 2o +sin 2 3o +sin288o+sin 2 89 o . 将式右边反序得S =nnan +2-( n +1)a (1-a ) 2n +1+aS =sin 2 89 o +sin 2 88 o +sin23o+s

8、i n2 2o +s i n12 o .又因为 sin x =cos(90 o -x ),sin 2 x +cos 2 x =1 +得2 S =(sin 2 1o +cos 2 1o ) +(sin 2 2 o +cos 2 2 o ) +(sin289o +cos 2 89 o S44.5（四）例题分析：（反序）) 89例 2.已知数列：1， 1+1，1+1+1，1+1+1+1 2 2 4 2 4 8 的和 S 解： a 1 1 1 12 4 211 -1a 22 n 1 n -111 2 n 1 -1，1 11 + + +2 41 L n -1，求它的前 n项例 1.求和：S =1 +3

9、x +5 x 2 +7 x 3 +(2n-1)xn-1 n则原数列可以表示为：(21)， 2 -1 2 2 -1 2 2 -1 2 2 -21 n -1解：由题可知， (2n -1) xn -1的通项是等差数列 2n1 的通项与等比数列 xn -1的前 n 项和 Sn(21) 2-1 2 2 -1 2 2 -21 n -1通项之积设 xS =1x +3 x 2 +5 x 3 +7 x 4 +(2n-1)xn. n（设制错位）2n 11 + +11 1 +L+2 2 得 (1 -x ) S =1 +2 x +2 xn2+2 x3+2 x4+2xn -1-(2 n -1) xn（错位相减）2n1

10、-1 -12122n 2 1 2 21n -12n2再利用等比数列的求和公式得： (1 -x ) S =1 +2 x n1 -x n -1 1 -x-(2 n -1) xn变式 2. 求 Sn11 1 11 +2 1 +2 +3 1 +2 +3 +. +nS =n(2 n -1) x n +1 -(2 n +1) x n +(1 +x )(1 -x ) 2解： a 11 +2 +3 +L+n2 n( n +1)2n,Lnnn) ( n N ) n nnnn1()nnnnnnn123n3n -11231 244 3n12314424432( 1 n1n +1) S 2(11 12 2 1 1 3

11、 n1 ) 2n n +1 n +11、数列1 1 1 11 ,2 ,3 ,4 前 n 项的和为 2 4 8 16挑战高考显实力：（2013 江苏高考）设等差数列a 的前 n 项和为 S ，且 S 答案:解析：S =1 +2 +3 +4 n+n +1 1+2 22+1 n(n +1) 1 = +1 -1 n 2 2 n(a n +1 2 * ，b a 22n，求数列b 的前 n 项和 T 2、在数列 a 中， a =n1 2 n+ + n +1 n +1 n +1，又 b =n2a ann +1，求数列 b 的前 n 项的n和.解：取 n1，则 a (a +112)2 a11a =n1 2 n

12、 n + + =n +1 n +1 n +1 2又 S n( a 1 +an ) 可得： n ( a 1 +an ) a n +1 2 2 2 2a 1(nN*) a 2n1T 1 23 225 23(2n1) 2n2 1 1 b = =8( - )n n +1 n n +12 2 数列b 的前 n 项和n1 1 1 1 1 1 1 1 8nS =8(1 - ) +( - ) +( - ) +(- ) 8(1 - ) 2 2 3 3 4 n n +1 n +1 n +12T 1 223 235 24(2n1) 2n1（七）课后作业：得： 必做题：1、求 1 +11 +111 +1111之和.T

13、 22324252n1(2n1) 2n12 2 (1 -2 ) (2n1) 2n16(1n) 2n2 1 -2n个1解：由于 111 1=k个1191999 9=(10 k -1)9k个1（找通项及特征）T 6(n1) 2n2 1 +11 +111 +1111n个1（五）归纳小结1求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式；求和的基本思想是“转化”其一是转化为等差、等比数列的求和，或者转化为求自然数的方幂和，从而可用基本求和 公式；其二是消项，把较复杂的数列求和转化为求不多的几项的和1 1 1 1 (101 -1) + (10 2 -1) + (10 3 -1) +(10n-1) 9 9

14、 9 91 1 (101 +10 2 +10 3 +10n)-(1+1+1+1) 9 9n个11 10(10 n -1) n -9 10 -1 9（分组求和）2求和过程中注意分类讨论思想的运用和转化思想的运用。181(10n +1-10 -9 n )（六）巩固练习：求和 (2 -3 4 1 ) +(4 -3 4 2 ) +L +(2n -3 4 n ) =_3n,8nnnn-13a 的通项 a =nnnn +1 n -1n -12nn33nn 1所以，nnnn2、求数列11 + 2,12 + 3,1n + n +1,的前n项和.5、设 S1+2+3+n ，nN n*,求 f ( n ) =Sn

15、 ( n +32) Sn +1的最大值 .解：设 a = n1n + n +1= n +1 - n解：由等差数列求和公式得 S =n1 1n( n +1) ， S = ( n +1)( n +2) 2 2（则 S =n11 + 2+12 + 3+1n + n +1 f ( n ) =Sn ( n +32) Sn +1n2n+34 n +64 ( 2 - 1) +( 3 - 2) +(n+1- n )164n +34 + ( n -n18n)2+50150 n +1 -13、求数列2 4 6 2n , , , ,2 2 2 23 2 n前 n 项的和. 当8n - ，即 n8 时， f ( n

16、) =max1502n 1解：由题可知， 的通项是等差数列2n的通项与等比数列 的通项之积2n 2 n2 4 6 2n设 S = + + +2 2 2 23 2 n1 2 4 6 2nS = + + + 得 2 2 2 23 2 4 2 n +11 2 2 2 2 2 2 n(1 - ) S = + + + +-2 2 2 2 2 3 2 4 2 n 2 n +11 2n n +2=2 - - S =4 -2 n -1 2 n +1 2 n -1 选做题：4、已知 log x = ，求 x +x 2 +x 3 +xn+的前n项和.log 326n -5 ( n为奇数)6、已知数列 ，求其前 n

17、 项和 S 2n (n为偶数)解：奇数项组成以 a =1 为首项，公差为 12 的等差数列，1偶数项组成以 a =4 为首项，公比为 4 的等比数列；2当 n 为奇数时，奇数项有 项，偶数项有 项，2 2n +1(1+6 n -5)4(1-4 2 ) ( n +1)(3n -2) 4(2 n -1S = + = +2 1 -4 2 3当 n 为偶数时，奇数项和偶数项分别有 项，2-1)，-1 1解：由 log x =3 log x =-log 2 x = log 3 22由 等 比 数 列 求 和 公 式 得 1 1(1 - )x (1 -x ) 2 2 n 11 -x 1 2n1 -2S =

18、x +x n2+x3+xnn(1+6 n -5)4(1-4 2 ) n(3n -2) 4(2 n -1)2，S =+ = +n2 1 -4 2 3(n +1)(3n -2) 4(2 n -1 -1)+ ( n为奇数) 2 3S =n (3n -2) 4(2 n -1)+ (n为偶数) 2 3变式训练 3.设数列a 的前 n 项和为 S 2n2，b 为等比数列，41 1 2 2 1 1n nnnn1 1n n n1nnn 1n11n1n且 a b ，b (a a )b . 求数列a 和 b 通项公式 设 C anbn，求数列C 前 n 项和 T 解：（1）当 n1 时 a S 2，当 n2 时，a S S 4n2， 故a 通项公式为 a 4n 2，即a 是 a 2，d4 的等差数列，设b 的公比为 q，则 b qdb ，d4， q 14，故 b b qn142n -1（2）C anbn4n -224n -1=(2n -1)4n -1 思考题：求和:1 2 3+ + + +2! 3! 4!n( n +1)!5