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1、CO.BA6.3 二面角一、作点在面上的射影 (作垂线)1、已知矩形ABCD中，AB =10，BC=6，将矩形沿对角线 BD把 DABD折起，使 A移到 A 点，且 A 在 1 1平面 BCD 上的射影 O 恰好在 CD 上（）求证：BC A D1；（）求证：平面A BC 平面 A BD ； 1 1A -BD -C（）求二面角 1的余弦值2、在如图所示的几何体中，四边形 ABCD 是等腰梯形， ABCD， DAB=60，FC平面 ABCD，AEBD，CB=CD=CF 。（）求证：BD 平面 AED；（）求二面角 FBDC 的余弦值。3.如图 1,在等腰直角三角形ABC 中, A =90,BC=
2、6, D , E分别是 AC , AB 上的点, CD =BE =2，O 为 BC 的中点.将DADE沿DE折起,得到如图 2 所示的四棱锥A-BCDE ,其中 AO= 3 .D() 证明: AO平面 BCDE ；E() 求二面角 A-CD-B 的平面角的余弦值. 4一个三棱锥 S -ABC 的三视图、直观图如图图 1S -ABC的体积；（1）求三棱锥CDO图 2EB（2）求点 C 到平面 SAB 的距离；（3）求二面角S -AB -C的余弦值二、过棱作垂面（线）法(作垂面 )1.在锥体P -ABCD中，ABCD是边长为 1 的棱形，且DAB =600,PA =PD =2,PB =2, E ,
3、 F分别是 BC , PC 的中点，（1）证明：AD 平面DEF;（2）求二面角P -AD -B的余弦值.2、如图，边长为 2 的正方形 ABCD，E,F 分别是 AB,BC 的中点，将 AED DCF 分别沿 DE,DF 折起，使 A,C两点重合于A。（1) 求证： ADEF;（2）求二面角A-EF -D的余弦值.3、如图，四棱锥 PABCD 的底面 ABCD 是正方形，PD_A平面 ABCD，E 为 PB 上的点，且 2BEEP。_D_A_/_E_E_D111ACEB（1）证明：ACDE；（2）若 PC2BC，求二面角 EACP 的余弦值。4、如图,在四棱锥 PABCD 中,底面是边长为
4、2 3 的菱形,且 BAD=120,且 PA平面 ABCD,PA= 2 6 ,M,N 分别为 PB,PD 的中点.()证明:MN平面 ABCD;() 过点 A 作 AQPC,垂足为点 Q,求二面角 AMNQ 的平面角 的余弦值.三、无棱的延展半平面（作延长线或平行线）1.如图 4，在三棱柱 等边三角形，ABC - A B C 中 ABC 是边长为 2 的1 1 1AA 平面 ABC ， D ， E 分别是 CC ， AB 的中点.1 1（1）求证： CE 平面 A BD ；1（2）若 H 为 A B 上的动点，当 CH 与平面 A AB 所成最大角的正切值为1 1152时，求平面 A BD 与
5、平面 ABC 所成二面角（锐角）的余弦值. 12如图，在棱长为 a 的正方体 ABCD -A B C D 中，点 E 是棱1 1 1 1B F =2 FB 1EF A C；（1）求证：1 1AD D1的中点，点F 在棱B1CB B1D上，且满足（2）在棱 C C 上确定一点 G ， 使 A ， E ， G ， F 四点共面，并求1此时 C G 的长；（3）求平面 AEF 与平面 ABCD 所成二面角的余弦值3.如图 5,已知ABC 为直角三角形,ACB 为直角. 以 AC 为直径作半圆 O,使半圆 O 所在平面平面 ABC,P 为半圆周异于 A,C 的任意一点.图4(1) 证明:AP平面 PB
6、C(2) 若 PA=1,AC=BC=2, 半圆 O 的弦 PQAC,求平面 PAB 与平面 QCB 所成锐二面角的余弦值.4如图,在四棱锥 P-ABCD 中,AB 丄平面 PAD,PD=AD, E 为 PB 的中点,向量(I)证明 EF/平面 PAD.,点 H 在 AD 上,且(II)若 PH= 3 ,AD=2, AB=2, CD=2AB,(1) 求直线 AF 与平面 PAB 所成角的正弦值. (2)求平面 PAD 与平面 PBC 所成二面角的平面角的余弦值 .6.CBDA15.如图 5，弧 AEC 是半径为 a 的半圆，AC 为直径，点 E 为弧 AC 的中点，点 B 和点 C 为线段 AD
7、 的三等分点， 平面 AEC 外一点 F 满足 FB = F D = 5 a ，FE= 6 a .（1）证明： EB FD ；(2)已知点Q, R为线段FE , FB上的点，FQ=2 2 FE ， FR = FB3 3，求平面 BED 与平面 RQD 所成的两面角的正弦值. 课后练习1、如图, 在直三棱柱ABC -A B C 中， AC1 1 1=3 ， AB =5 , BC =4 ，AA =41，C1B1点 D 是 AB 的中点 、求证： AC / /1平面CDB1；A1、求二面角C -AB -C 1的正切值2、已知等腰直角三角形 RBC ，其中 RBC =90o， RB =BC =2 点
8、A、D 分别是 RB 、 RC 的 中点，现将 RAD 沿着边 AD 折起到 PAD 位置，使 PA AB ，连结 PB 、 PC （1） 求证： BC PB ；（2） 求二面角 A -CD -P 的平面角的余弦值3、已知平面BCC B1 1是圆柱的轴截面（经过圆柱的轴的截面），BC 是圆柱底面的直径，O 为底面圆心，E 为母线 CC 的中点，AA 为母线，已知 1（I）求证： B O 平面 AEO ；1AB =AC =AA =41（II）求二面角B -AE -O 1的余弦值（）求三棱锥A -B OE1的体积.4、长方体ABCD -A B C D 中， CC =4 ， AB =1 1 1 1
9、1BC =3（1）若 E 、F 分别是 BC 、 A C1 1 1中点，求证：EF/ 平面 DCC ；1（2）求二面角A -BC -D 1 1的正弦值5右图为一简单组合体，其底面 ABCD 为正方形，PD 平面ABCD，EC / PD，且PD =AD =2 EC=2 .（1）求证：BE /平面PDA；P（2）求证：AC 平面PBD；E（3）求二面角 A-PB-E 的余弦值。6、如图,已知三棱锥 O -ABC 的侧棱 OA, OB , OC两两垂直,且DACOA =1 , OB =OC =2 , E 是 OC 的中点.AB(1)求O点到面ABC的距离；OAEACAB(2)求二面角E -AB -C的正弦值.7如图, PDCE 为矩形,ABCD 为梯形,平面 PDCE平面ABCD , BAD =ADC =90,1AB =AD = CD =a , PD = 2a2.(1)若M为PA中点,求证:AC平面MDE;(2)求平面 PAD 与 PBC 所成锐二面角的大小 .
几何法求解二面角题型分类
