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1、4-1-3. 角度计算知识点拨一、角1、2、3、（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）（9）角的定义：自一点引两条射线所成的图形叫角表示角的符号 ： 角的分类 ：锐角、直角、钝角、平角、周角、负角、正角、优角、劣角、 锐角：大于 0 ，小于 90 的角叫做锐角。直角：等于 90 的角叫做直角。钝角：大于 90 而小于 180 的角叫做钝角。平角：等于 180 的角叫做平角。优角：大于 180 小于 360 叫优角。劣角：大于 0 小于 180 叫做劣角，锐角、直角、钝角都是劣角。 周角：等于 360 的角叫做周角。负角：按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角。正角：逆时针旋转的角为正角。
2、0 角这 10 种（ 10 ） 0 角：等于零度的角。4、角的大小：角的大小与边的长短没有关系； 角的大小决定于角的两条边张开的程度， 张开的越大， 角就越大，相反，张开的越小，角则越小。二、三角形1、2、3、三角形的定义：由三条边首尾相接组成的封闭图形叫做三角形 内角和：三角形的内角和为 180 度；外角：（1）三角形的一个外角等于另外两个内角的和；（2）三角形的一个外角大于其他两内角的任一个角。 三角形的分类（ 1 ）按角分 ：锐角三角形：三个角都小于 90 度。直角三角形：有一个角等于 90 度。钝角三角形：有一个角大于 90 度。注：锐角三角形和钝角三角形可统称为斜三角形（ 2 ）按边
3、分 ：不等腰三角形；等腰三角形（含等边三角形） 。模块一、角度计算【例 1】 (2010 年希望杯第八届四年级二试第 10 题) 有下列说法： (1)一个钝角减去一个直角，得到的角一定是锐角，(2)一个钝角减去一个锐姥，得到的角不可能还是钝角 (3)三角形的三个内麓中至多有一个钝角4-1-3.角度计算 题库page 1 of 5(4)三角形的三个内角中至少有两个锐角 (5)三角形的三个内角可以都是锐角(6) 直角三角形中可胄邕有钝角(6) 25的角用 10 倍的放大镜看就变成了 250 其中，正确说法的个数是【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 几何问题(1)、(3)、(4)、
4、(5)是正确的说法【答案】(1)、(3)、(4)、(5)是正确的说法【例 2】 (2005 年希望杯第三届五年级一试第 6 题，5 分)下图是 33 的正方形方格，1 与2 相比，较大 的是_。12【考点】角度计算 【难度】2 【解析】 1【答案】1星 【题型】填空【例 3】 （2008 年第 6 届小希望杯 4 年级 1 试）7、如图，在直角AOB内有一条射线OC，并且AOC比BOC 大 20。则 BOC 是_ACO B【考点】角度计算 【难度】3 星 【题型】填空【解析】 (90-20 )2=35【答案】 35【例 4】 （2005 年第 3 届小希望杯 4 年级 1 试）9、直线 AB、
5、CD 相交，若1、2 和3 的关系如图所 示。则3 -1=_ 。l1AD2CB3【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 1+2=90，2+3=180，所以（2+3） -（1+2） =3 -1= 90【答案】 90【例 5】 (2007 年希望杯第五届四年级二试第 14 题，15 分)如图，共端点 A 的线段 a 与 d，b 与 e，c 与 f 分 别垂直，a 与 b 的夹角是 30，e 与 f 的夹角是 45，求 c 与 d 的夹角的度数。4-1-3.角度计算 题库page 2 of 5cdbea3045Af【考点】角度计算 【难度】3 星 【题型】解答【解析】 a 与 b 的夹
6、角为 30 度，所以 b 与 d 的夹角为 90 -30 =60 度，所以 d 与 e 的夹角是 90 -60 =30 度，所 以 c 与 d 的夹角为 90 -30 -45 =15 度.【答案】15 度图 4【例 6】 （2006 年第 4 届小希望杯 4 年级 1 试）14、如图，直角的顶点在直线 l 上，则图中所有小于平角 的角之和是 度。l【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 由一部分组成的角之和是 180 度，由两部分组成的角之和是 180+90 度，一共 180+180+90=450 度。 【答案】450 度【例 7】 (2006 年希望杯第四届六年级一试第 13
7、题，5 分)如图，AOB 的顶点 0 在直线 l 上，已知图中所 有小于平角的角之和是 400 度，则AOB_度。ABlO【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 所有小于平角的角之和=1+2+3+1+2+2+3=400 度，又1+2+3=180 度，故2=40 度。AB123lO【答案】AOB=40 度【例 8】 （2005 年第 10 届华杯赛决赛第 14 题）两条直线相交，四个交角中的一个锐角或一个直角称为这 两条直线的“夹角”（见下图）。如果在平面上画 L 条直线，要求它们两两相交，并且“夹角”只能 是 15、30、45、60、75、90之一，问：（1）L 的最大值是多少？
8、（2）当 L 取最大值时，问 所有的“夹角”的和是多少？夹角【考点】角度计算 【难度】4星 【题型】解答【解析】 （ 1 ）固定平面上一条直线 , 其它直线与此条固定直线的交角自这条固定直线起逆时针计算 , 只能是 15、 30、45、60、75、 90、105、120、135、150、165十一种角度之一，所以，平面上最 多有 12 条直线。否则，必有两条直线平行。4-1-3.角度计算 题库page 3 of 5（2）根据题意，相交后的直线会产生 15、30、45、60、75的两条直线相交的情况均有 12 种； 他们的角度和是（15+30+45+60+75）12=2700；产生 90角的有第
9、 1 和第 7 条直线；第 2 和第 8 条 直线；第 3 和第 9 条直线；第 4 和第 10 条直线；第 5 和第 11 条直线；第 6 和第 12 条直线共 6 个， 他们的角度和是 906=540；所以所有夹角和是 2700+540=3240。【答案】（1）12 条；（2）3240【例 9】 (2008 年希望杯第六届六年级一试第 15 题，6 分)如图，点 O 为直线 AB 上一点， BOC 是直角， BOD : COD =4:1 则 AOD 是_度.D CAOB【考点】角度计算 【难度】3 星 【题型】填空【解析】 BOD : COD =4:1 ，所以 BOC : COD =3:1
10、 ，所以 COD =30.所以 AOD 是 60 度.【答案】60 度模块二、三角形内的角度计算【例 10】 (2009 年希望杯第七届四年级二试第 7 题，5 分)如图，将 ABC 绕点 C 按顺时针方向旋转 30，得 到 B AC ，若 AC A B ，则BAC 的度数是 。AAB30BC【考点】角度计算 【难度】3 星 【题型】填空【解析】 因 为 B AC 是 ABC 绕着点 C 旋转得到的，所以 A =A , 根据三角形的内角和定理知道A =180o-ACA-90o=180o-90o-30o=60o【答案】BAC 度数是 60o【例 11】 （2004 年第 2 届小希望杯 4 年级
11、 1 试）15、如图 3，1=2，3=4，5=130 度，那么A=AD度。B125 43C4-1-3.角度计算 题库page 4 of 5【考点】角度计算 【难度】3星 【题型】填空【解析】 5=130 度 ， 那 么 2+4=180-130=50 度 ， 1=2 ， 3=4 ， 1+2+3+4=100 度 ， A=180-100=80 度【答案】80 度【例 12】 （2007 年第十二届华杯赛决赛第 9 题）如图，在三角形 ABC 中，点 D 在 BC 上，且ABCACB、 ADCDAC，DAB21，求ABC 的度数；并回答：图中哪些三角形是锐角三角形.A21【考点】角度计算 【难度】3B
12、D星 【题型】填空C【解析】 DACADCC，而DACADCB21，BC，3B21180, B46DAC462167，BAC672188ABC ADC 都是锐角三角形.【答案 ABC 和 ADC 是锐角三角形【例 13】 （2009 年第 7 届小希望杯 4 年级 1 试）8、如图，将四边形 ABCD 的四条边分别延长一段，得 CBE,BAH,ADG,DCF,那么，这四个角的和等于 。HABEGDCF【考点】角度计算 【难度】3 星 【题型】填空【解析】 凸多边形的外角和等于 360。【答案】360模块三、角度在行程问题中的应用【例 14】 （2009 年第 7 届小希望杯 4 年级 1 试）
13、12、小明从家里出发，先向东偏北 30的方向跑了 350 米到 达点 A，接着向北偏西 30的方向跑了 200 米到达点 B，然后又向西偏南 30的方向跑了 350 米到 达点 C，这时小明距离家 米。【考点】角度计算 【难度】2 星 【题型】填空【解析】 通过画图可知小明距离家是 200 米。【答案】200 米【例 15】 (2009 年希望杯第七届四年级二试第 11 题，5 分)小明从家出发，先向东偏北 30的方向跑了 350 米 到达点 A，接着向北偏西 30的方向跑了 200 米到达点 B，然后又向西偏南 30的方向跑了 350 米 到达点 C，这时小明距家 米。【考点】角度计算 【难度】2 【解析】 200 米【答案】200 米星 【题型】填空4-1-3.角度计算 题库page 5 of 5
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