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1、东北大学研究生院考试试卷2010 2011 学年第 一 学期课程名称：数值分析（A）总分1一34一67-910-1213-151.（5分）设近似值x二25.23近似x*的相对误差限为0.0003，问x至少具有几位有效数字。4.（8分）用Jacobi法解线性方程组Q解 由于绝对误差限为:25.23x0.0003 = 0.0075690.510-13 x + x - x = 1123x + 3x + x = 2 ，1232 x - x + 4 x = 3123取 X (0)=0、0，估计迭代所以，x至少具有3位有效数字。10步的误差X(10) - X*2.厂2（6分）写出矩阵A = 3114 -
2、2、5 3 的Crout分解式A二TM .4 2丿解由于B =8厂0-13、-1/2-1/301/41/3 -1/30丿，所以B = 3/4O02 4 - 2、a 2 -1、解由于A =3 533 -1 - 6封J 42 J 2 15 丿又由于X = (1/3,2/3,3/4)T,所以1X 一 X (0)=3/48所以，A =0015所以，卜（10） - X*2 -1、1 - 60 1丿IB1。 ee 1 -I B coX (1) 一 X (0)=31 沁 0.168984105.（9分）说明方程x3 -x-3 = 0在区间1, 2内有唯一根，并建立一个收敛的迭代格式，使对任意初值X G 1,
3、2都收敛，说明收敛理由。0X X + 2 x = 21233(7分)解线性方程组 2x + 3x + 3x = 3的Gauss-Seidel迭代法是否收敛，为123-4 x - 6 x + 7 x = 1123解由 f (1) = -3 0, f(x) = 3x2 -又由于 1 p (x) = vx + 3 v5 0，知有唯根。3分1 1/3 17分3( X + 3)2/3X G 1,2都收敛。9分6.(6分)设X = X3 + ax2 + bx + c, k = 0,1,2,.是求方程根a = 1的迭代法，试确 k+1kkk定参数a, b, c使迭代法的收敛阶尽可能高，并指出阶是多少?得 p
4、 (G) = 6/7 2)是插值型求积公式，求k k A X2.k kk=0解 由于插值型求积公式代数精度至少是n,2分=b xdx 二丄(加 一 03)11. (6分)对积分f(x)dx建立两点Gauss公式。0解由于中+W罟学T，0 0P(X)= X22(P,X2)(P,X2)9P -IP(P,P) o (P,P) i0 0 1 11=X2 -x + -6Gauss点为:1 V3+2 6积分公式为:当)+子(；+当) o2262 o12. (9分)利用复化Simpson公式S计算定积分/ = f1 cosxdx的近似值，并估计误 2o差。1113解 I u S =cos 0 + cos 1
5、 + 2 cos + 4 cos + 4 cos 3 分212244=0.841489382M = max f(4)(x) = max cos x =1IS2 = R(f) 2880x24= 0.00002170113. (5分)求解初值问题yy;x1冬x冬2的改进Euler方去是否收敛?15. (5分)证明矩阵谱半径p(A)不是矩阵范数。为什么？解 由于f (x, y) = yex关于y满足Lipschitz条件,证明因为p (A) = 0时，不一定有A = 0,例如A =所以，改进Euler法收敛。所以，p (A)不满足范数的非负性，不是范数。14.(9分)已知求解常微分方程初值问题:y
6、= f (x, y), x e a, b y (a) =的差分公式:hy = y + - (3k + k ) n+1n 4 1k = f (x , y )1n nk = f (x + 2h, y2ny =a0求此差分公式的阶。解由于+ 2hk )1= f + 2h(f + ff ) + 2h2(江 + 2 江 f +吐 f 2) + O(h 3)CxCy nCx 2dxdy nCy 2y = yn+1+叭送 + fn)七芝+ 2壽fn亍仞4分y (xn+1h 2h 3)=y(x ) + y(x )h + y(x ) + y(x ) + O(h4) nn2nqn=y + hf+ 字f + 8Lf )2excy n+竺吐+ 26 dx 2+ 注 f 2 +f f + (算)2 f + O(h 4)7 分于是,Cy 2 nCx CyCyhy(x ) - y = O(h3)，此差分公式是2阶的。 n+1n+1
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