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1、2013高考冲刺题 立几1如图，在四面体ABCD中，平面ABC平面ACD，ABBC，ADCD，CAD30.(1)若AD2，AB2BC，求四面体ABCD的体积；(2)若二面角CABD为60，求异面直线AD与BC所成角的余弦值2.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】（本小题共14分） 如图1，在Rt中，D、E分别是上的点，且，将沿折起到的位置，使，如图2（）求证： 平面；（）若，求与平面所成角的正弦值；ABCDE图1图2A1BCDE（） 当点在何处时，的长度最小，并求出最小值 3、（潮州市2013届高三上学期期末）已知梯形中，、分别是、上的点，沿将梯形翻折，使平面平面(如图)是的中点，以、
2、为顶点的三棱锥的体积记为（1）当时，求证： ；（2）求的最大值；（3）当取得最大值时，求异面直线与所成的角的余弦值4、（2012日照5月模拟）如图，四边形与均为菱形，且.（）求证：；（）求证：；（）求二面角的余弦值。5.如图，在斜三棱柱中，侧面与底面ABC所成的二面角为，E、F分别是棱的中点（）求与底面ABC所成的角（）证明平面（）求经过四点的球的体积6. 2013届高三上学期期末华附、省实、广雅、深中四校联考VBCDA 如图，在三棱锥VABC中，VC底面ABC，ACBC，D是AB的中点，且AC=BC=a，VDC=q (0q ) （）求证：平面VAB平面VCD；（）当角q 变化时，求直线BC与
3、平面VAB所成的角的取值范围 2013高考冲刺题 立几 参考答案1.解：(1)如图所示，设F为AC中点，连接FD，由于ADCD，所以DFAC.又由平面ABC平面ACD，知DF平面ABC，即DF是四面体ABCD的面ABC上的高，且DFADsin301，AFADcos30.在RtABC中，因AC2AF2，AB2BC，由勾股定理易知BC，AB.故四面体ABCD的体积VSABCDF.(2)解法一：如图所示，设G，H分别与边CD，BD的中点，则FGAD，GHBC，从而FGH是异面直线AD与BC所成的角或其补角设E为边AB的中点，则EFBC，由ABBC，知EFAB.又由(1)知DF平面ABC，故由三垂线定
4、理知DEAB.所以DEF为二面角CABD的平面角由题设知 DEF60.设ADa，则DFADsinCAD.在RtDEF中，EFDFcotDEFa，从而GHBCEFa.因RtADEBDE，故BDADa，从而，在RtBDF中，FHBD.又FGAD，从而在FGH中，因FGFH，由余弦定理得cosFGH.因此，异面直线AD与BC所成角的余弦值为.解法二：如图所示，过F作FMAC，交AB于M，已知ADCD，平面ABC平面ACD，易知FC，FD，FM两两垂直以F为原点，射线FM，FC，FD分别为x轴，y轴，z轴的正半轴，建立空间直角坐标系Fxyz.不妨设AD2，由CDAD，CAD30，易知点A，C，D的坐标
5、分别为A(0，0)，C(0，0)，D(0,0,1)，则(0，1)显然向量k(0,0,1)是平面ABC的一个法向量已知二面角CABD为60，故可取平面ABD的一个单位法向量n(l，m，n)，使得n，k60，从而n.由n，有mn0，从而m.由l2m2n21，得l.设点B的坐标为B(x，y,0)，由，n，取l，有解之得，或(舍去)易知l与坐标系的建立方式不合，舍去因此点B的坐标为.所以.从而cos，.故异面直线AD与BC所成的角的余弦值为.2【答案】（）证明： 在中，A1BCDExzy.又.由. 4分（）如图,以为原点，建立空间直角坐标系5分 设为平面的一个法向量，因为所以，令，得. 所以为平面的一
6、个法向量 7分设与平面所成角为则所以与平面所成角的正弦值为 9分（）设,则 12分当时, 的最小值是 即为中点时, 的长度最小,最小值为 14分3.（法一）（1）证明：作，垂足，连结，平面平面，交线，平面，平面，又平面，故，四边形为正方形，故又、平面，且，故平面又平面，故 （2）解：，平面平面，交线，平面面又由（1）平面，故，四边形是矩形，故以、为顶点的三棱锥 的高，又 三棱锥的体积 当时，有最大值为 （3）解：由（2）知当取得最大值时，故，由（2）知，故是异面直线与所成的角在中，由平面，平面，故在中，异面直线与所成的角的余弦值为法二：（1）证明：平面平面，交线，平面，故平面，又、平面，又，取
7、、分别为轴、轴、轴，建立空间坐标系，如图所示当时，又，即； （2）解：同法一； （3）解：异面直线与所成的角等于或其补角又， 故，故异面直线与所成的角的余弦值为4.（）证明：设AC与BD相交于点O，连结FO.因为四边形ABCD为菱形，所以，且O为AC中点.又FA=FC，所以. 因为，所以. （）解：因为四边形BDEF为菱形，且，所以为等边三角形。因为为中点，所以由（）知，故. 由两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系.（）证明：设与的交点为，则点为的中点连结在平行四边形中，因为的中点，故而平面，平面，所以平面（）连结在和中，由于，则，故由已知得又平面，为的外心设所求球的球心为，则，且球心与中点
8、的连线在中，故所求球的半径，球的体积6. 解法1：（）AC=BC=a，ACB是等腰三角形，又D是AB的中点，CDAB，又VC底面ABCVCAB因VC，CD 平面VCD，AB平面VCD又AB 平面VAB，平面VAB平面VCDADBCHV（） 过点C在平面VCD内作CHVD于H，则由（）知CH平面VAB连接BH，BH是CB在平面VAB上的射影，于是CBH就是直线BC与平面VAB所成的角在RtCHD中，CH=asinq；设CBH=j，在RtBHC中，CH=asinj，sinq= sinj , 0q ，0sinq 1，0sinj 又0j ，0w 即直线与平面所成角的取值范围为(0, )ADBCVxyz
9、解法2：（）以CA, CB, CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则C(0,0,0), A(a,0,0), B(0,a,0), D(,0),V(0,0, atanq )，于是，=(,atanq)，=(,0)，=(a,a,0)从而=(a,a,0)(,0)=a2+a2+0=0,即,ABCD同理=(a,a,0)(,atanq)=a2+a2+0=0，即,ABVD又CDVD=D，AB平面VCD又AB 平面VAB平面VAB平面VCD（）设直线BC与平面VAB所成的角为j ，平面VAB的一个法向量为n=(x, y, z)，则由n=0, n=0得可取n=(1,1, )，又=(0,a,0)，于是sinj =| |=sinq ，0q ，0sinq 1，0sinj 又0j ，0j 即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为(0, )10
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