6.4特征根与特征向量

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1、6.4 特征根与特征向量特征根与特征向量授课题目：授课题目：6.4 特征根与特征向量特征根与特征向量授课时数：授课时数：4学时学时教学目标：教学目标：掌握特征根与特征向量的定义、掌握特征根与特征向量的定义、性质与求法性质与求法教学重点：教学重点：特征根与特征向量的定义与性质特征根与特征向量的定义与性质教学难点：教学难点：特征根与特征向量的求法特征根与特征向量的求法 对对n维线性空间维线性空间V的线性变换的线性变换，能否在它，能否在它所对应的相似矩阵类中找到一个最简单的矩阵所对应的相似矩阵类中找到一个最简单的矩阵对角矩阵来表示换句话说，能否在对角矩阵来表示换句话说，能否在V中找中找到一个基到一个

2、基1，2，n，使，使在这个基下在这个基下的矩阵是对角形的矩阵是对角形一一.特征根与特征向量的定义与例子特征根与特征向量的定义与例子12n 1.一个问题一个问题12n 即有即有（1），），（2），），（n）(1，2，n)具体写出来，就是具体写出来，就是(i)=ii,i=1,2,n.由上面的分析可知，要寻找这样的基（如果有的由上面的分析可知，要寻找这样的基（如果有的话），首先要寻找满足条件话），首先要寻找满足条件（）=和非零向量和非零向量 的数的数 定义定义1设设是数域是数域F上线性空间上线性空间V的一个线性变的一个线性变换如果对应换如果对应F中的一个数中的一个数，存在，存在V中的非零向中的非零向

3、量量，使得，使得（）=（1）那么那么就叫做就叫做的一个特征根（值），而的一个特征根（值），而叫做叫做的属于特征根的属于特征根的一个特征向量的一个特征向量2.特征根与特征向量的定义特征根与特征向量的定义其中（其中（1 1）式的几何意义是：特征向量）式的几何意义是：特征向量与它在与它在下的象下的象（）保持在同一直线）保持在同一直线L L（）上，）上，0 0时方向相同，时方向相同，0 0时方向相反，时方向相反，0 0时，时，（）=0=0量，则当量，则当1+20时，时，1+2也是也是的属于的属于特征根特征根 的特征向量因为的特征向量因为设设 是是的特征根，存在如下基本事实：的特征根，存在如下基本事实：

4、=（1+2）(1+2)=(1)+(2)3.几个基本事实几个基本事实1）若）若1，2，是，是的属于特征根的属于特征根 的特征向的特征向 2）若）若是是的属于特征根的属于特征根的特征向量，则对的特征向量，则对的特征向量，这是因为的特征向量，这是因为k0，且，且 任意任意kF，k0，k也是也是的属于特征根的属于特征根)=（k）(k)=k()=k(3）一个特征向量只能属于一个特征值）一个特征向量只能属于一个特征值事实上，设事实上，设0是是的属于特征值的属于特征值 与与的特的特=-征向量，就有征向量，就有()=,()=0，0，从而，从而而而0，只有，只有记为记为V.V=()V 的全部的全部 从上面的性质

5、可知从上面的性质可知,把把的属于特征根的属于特征根的全部特征向量再添上零向量组成的全部特征向量再添上零向量组成V 的一个子集的一个子集,它对它对V的加法和数量乘法作成的加法和数量乘法作成V的一个子空间的一个子空间,当当 是是的特征根时的特征根时,V0,0,因此因此,V含有含有称为称为的属于特征根的属于特征根的特征子空间的特征子空间 无限无限多个向量多个向量.但我们只要求出但我们只要求出V的一个基的一个基.V就就被确定了被确定了4.几个例子几个例子二二.特征根与特征向量的求法特征根与特征向量的求法 直接由定义来求线性变换的特征值与特征向直接由定义来求线性变换的特征值与特征向量往往是困难的，我们可

6、用线性变换的矩阵来解量往往是困难的，我们可用线性变换的矩阵来解决这个问题决这个问题设设V是数域是数域F上的上的n维线性空间，取定它的基维线性空间，取定它的基1，2，n，令线性变换，令线性变换在这个在这个基下的矩阵是基下的矩阵是A（aij）.如果如果k11+k22+knn是线性变换是线性变换的的属于特征根属于特征根 的一个特征向量，那么，的一个特征向量，那么，1.问题的转化问题的转化（）关于基）关于基1，2，n的坐标是的坐标是12nkkAk 12nkkk 而而的坐标是的坐标是这样，就有这样，就有12nkkAk 12nkkk 12()nkkIAk 000 或或这说明特征向量这说明特征向量的坐标（的

7、坐标（k1，k2，kn）是）是齐次线性方程组齐次线性方程组12()nxxIAx 000 （2）的非零解从而（的非零解从而（2）的系数行列式为）的系数行列式为 反过来，如果反过来，如果F，满足等式（，满足等式（3），则齐次线），则齐次线性方程组（性方程组（2）有非零解（）有非零解（k1，k2，kn），），k11+k22+knn满足等式（满足等式（1），），是是的一个特征根，的一个特征根，就是就是的属于特征根的属于特征根 的特征向量的特征向量由上面的分析，可以得到以下的结论由上面的分析，可以得到以下的结论1）1，2，n下的坐标正好构成齐次下的坐标正好构成齐次线性方程组（线性方程组（F是是的特征根的

8、充分必要条件是它满足的特征根的充分必要条件是它满足 I-A）X=0的在的在F上的解空间上的解空间,子空间子空间V中一切向量在基中一切向量在基 2）对于特征根）对于特征根方程（方程（3）；）；I-A）X=0的解空间同构的解空间同构.V的的实际上实际上V与（与（一个基一个基1，2，n可由齐次线性方可由齐次线性方程组（程组（I-A）X=0的一个基础解系的一个基础解系1，2，n给出给出.（其中（其中i=(1，2，n)i,i=1,2,r）.2.矩阵的特征多项式与特征根矩阵的特征多项式与特征根111212122212()nnAnnnnxaaaaxaafxxIAaaxa定义定义3设设A=(aij)是数域是数

9、域F上的一个上的一个n阶矩阵，阶矩阵，行列式行列式叫做矩阵叫做矩阵A的特征多项式的特征多项式fA(x)在在C内的根叫做内的根叫做矩阵矩阵A的特征根的特征根设设0C是矩阵是矩阵A的特征根，而的特征根，而x0Cn是一个是一个非零的列向量，使非零的列向量，使Ax0=0 x0,就是说，就是说，x0是齐是齐次线性方程组次线性方程组(0I-A)X=0的一个非零解的一个非零解我们称我们称x0是矩阵是矩阵A的属于特征根的属于特征根0的特征向量的特征向量（1）如果）如果关于某个基的矩阵是关于某个基的矩阵是A,那么那么的特的特征根一定是征根一定是A的特征根，但的特征根，但A的特征根却不一定的特征根却不一定是是的特

10、征根，的特征根，A的的n个特征根中属于数域个特征根中属于数域F的数的数才是才是的特征根；的特征根；（2）的特征向量是的特征向量是V中满足（中满足（1）式的非零向）式的非零向量量，而，而A的特征向量是的特征向量是Cn中的满足中的满足 Ax0=x0的非零列向量的非零列向量x0；3.线性变换的特征根与矩阵的特征根的关系线性变换的特征根与矩阵的特征根的关系现在把求线性变换现在把求线性变换的特征根和特征向量的步的特征根和特征向量的步骤归纳如下：骤归纳如下：1）在线性空间）在线性空间V中取一个基中取一个基1，2，n，求出求出在这个基下的矩阵在这个基下的矩阵A；（3）若）若F是是A的特征根，则的特征根，则A

11、的的Fn中属于中属于的特征向量就是的特征向量就是的属于的属于 的特征向量关于给的特征向量关于给定基的坐标定基的坐标4.线性变换的特征根与特征向量的求法线性变换的特征根与特征向量的求法2)计算特征多项式计算特征多项式fA(x)=|XI-A|,求出它的属于数求出它的属于数域域F的根的根1，2，s;3)对每个对每个i(i=1,2,s)求齐次线性方程组求齐次线性方程组(iI-A)X=0的基础解系；的基础解系；4)以上面求出的基础解系为坐标，写出以上面求出的基础解系为坐标，写出V中对应中对应的向量组，它就是特征子空间的向量组，它就是特征子空间Vi的一个基，从的一个基，从而可确定而可确定的特征向量的特征向

12、量例例4设设R上的三维线性空间上的三维线性空间V的线性变换的线性变换在在基基1，2，3下的矩阵是下的矩阵是460350361A 求求的特征根和对应的特征向量的特征根和对应的特征向量460()350361Axfxxx 212xx解解的矩阵的矩阵A已给出，先求特征多项式和特已给出，先求特征多项式和特征根征根fA(x)的根为的根为11（二重根），（二重根），2-2都是都是的特征根的特征根对特征根对特征根11，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组（1I-A）X=0，即，即121212360360360 xxxxxx 得基础解系得基础解系1（-2，1，0），），2（0，0，1）对应的特征向量组是对应的特征

13、向量组是-21+2,3，它，它是特征子空间是特征子空间V1的一个基，所以的一个基，所以V1L（-21+2，3）而而的属于特征根的属于特征根1的一切特征向量为的一切特征向量为k1（-21+2）+k23，k1，k2R，不全为，不全为0对特征根对特征根2-2，解齐次线性方程组，解齐次线性方程组123660033003630 xxx 得基础解系得基础解系3（-1，1，1），对应的），对应的的特征的特征向量是向量是-1+2+3，它可构成，它可构成V-2的一个基，所的一个基，所以以V-2L（-1+2+3）因此因此的属于特征根的属于特征根-2的一切特征向量为的一切特征向量为k（-1+2+3），），kR，k0

14、101000001000000100000n 例例5在线性空间在线性空间Fnx中，线性变换中，线性变换D:D(f(x)=f(x)在基在基 1,x,22!x!nxn,下的矩阵是下的矩阵是110000100()00010000Anxxfxxx 1nx A的特征多项式是的特征多项式是它的根仅有一个（它的根仅有一个（n+1重根）重根）10F，即，即D仅有特征根仅有特征根0（n+1重根）重根）12101000000100000001000000nxxx 对于这个特征根对于这个特征根10，解相应的方程组，解相应的方程组得基础解系得基础解系1（1，0，0，0）它对应）它对应的的D的特征向量是的特征向量是11

15、+0 x+0!nxn=1.于是，于是，V1=V0=L(1).即即D的属于特征根的属于特征根0的特征的特征向量为任一非零常数，这与数学分析中的结论是向量为任一非零常数，这与数学分析中的结论是一致的一致的例例6分别在实数域分别在实数域R和复数域和复数域C内求矩阵内求矩阵3732524103 的特征根和相应的特征向量的特征根和相应的特征向量在在R内，内，A只有特征根只有特征根1，A的属于特征根的属于特征根1的特征向量为的特征向量为k（2，-1，-1），），kR，k0在在C内，内，A有特征根有特征根11，2i,3-i.A的属于特征根的属于特征根1的特征向量为的特征向量为k（2，-1，-1），），373

16、()2524103Axfxxx 2(1)(1)xx (1)()()xxixi 解解kC，k0；A的属于特征根的属于特征根i的特征向量为的特征向量为K1(-1+2i,1-i,2),k1C,k10A的属于特征根的属于特征根-i的特征向量为的特征向量为k2(-1-2i,1+i,2),k2C,k20注意：求注意：求A的特征根时，要考虑给定的数域，的特征根时，要考虑给定的数域，若没有指定数域，就在若没有指定数域，就在C内讨论；表示属于某内讨论；表示属于某个特征根的特征向量个特征根的特征向量(关于基础解系关于基础解系)组合系数组合系数要取自指定的数域要取自指定的数域F(或或C)，且不全为零，且不全为零定理

17、定理6.4.1相似的矩阵有相同的特征多项式相似的矩阵有相同的特征多项式证设证设AB,即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵T使得使得B=T-1AT.于是于是FB(x)=|xI-B|=|x I-T-1AT|=|T-1(x I-A)T|=|T-1|x I-A|T|=|x I-A|=fA(x).三特征多项式的基本性质三特征多项式的基本性质一个线性变换一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的，在不同基下的矩阵是相似的，根据定理，它们有相同的特征多项式因而，根据定理，它们有相同的特征多项式因而，我们可以把我们可以把在任一个基下的矩阵的特征多项在任一个基下的矩阵的特征多项式叫做式叫做的特征多项式，记为的特征多项式，记为

18、f(x)如果把如果把n阶矩阵阶矩阵A的特征多项式的特征多项式111212122212()nnAnnnnxaaaaxaafxaaxa 中行列式中行列式fA(x)的展开式里，其余项至多含有的展开式里，其余项至多含有n-2个主对角线线上的元素因此，个主对角线线上的元素因此，fA(x)是乘积是乘积（5）和一个至多是）和一个至多是x的一个的一个n-2次多项式的和，次多项式的和，fA(x)中次数大于中次数大于n-2的项只出现在乘积（的项只出现在乘积（5）中）中fA(x)x n-(a11+a22+a nn)x n-1+.展开，得到展开，得到Fx中的一个多项式它的最高中的一个多项式它的最高 (x-a11)(x

19、-a22)(x-ann)(5)次数项次数项xn，出现在主对角线上元素的乘积，出现在主对角线上元素的乘积 上式右端没有写出的项的次数最多是上式右端没有写出的项的次数最多是n-2由此由此可知：可知：（1）fA(x)是是x的首项系数为的首项系数为1的的n次多项式次多项式（2）fA(x)的的n-1次项的系数乘以次项的系数乘以-1就是就是A的主对的主对 角线上元素的和，叫做矩阵角线上元素的和，叫做矩阵A的迹，记为的迹，记为tr(A)tr(A)=a11+a22+ann.（3）fA(x)的常数项是的常数项是fA(0)它由在它由在(4)式中式中令令x=0得得.即即fA(0)|-A|=(-1)n|A|.(4)若

20、若1,2,n是是fA(x)在复数域在复数域C内的内的n个个根（可能有重根），根据根与系数的关系应有根（可能有重根），根据根与系数的关系应有 tr(A)1+2+n,A12n就是说，矩阵就是说，矩阵A的迹等于的迹等于A的全部特征根的和，的全部特征根的和，而而A的行列式等于它的全部特征根的乘积特征的行列式等于它的全部特征根的乘积特征多项式还有下面重要性质多项式还有下面重要性质定理定理6.4.2(Hamilton-Caylay定理定理)设设A是数域是数域F上的一个上的一个n阶矩阵，阶矩阵，而而fA(x)=x I-A=x n+a1 x n-1+a n-1x+a n是是A的特征多项式，则的特征多项式，则f

21、A(x)An+a1An-1+an-1A+anI=0.证设证设B(x)=(x I-A)*是是x I-A的伴随矩阵，的伴随矩阵，由伴随矩阵的性质有由伴随矩阵的性质有B(x)(x I-A)=|x I-A|I=fA(x)I因为因为B(x)中的元素都是中的元素都是x I-A中各元素的代中各元素的代数余子式，它们的次数都是不超过数余子式，它们的次数都是不超过n-1的的x多项多项式，由矩阵的运算性质，式，由矩阵的运算性质，B(x)可写成可写成B(x)=xn-1B0+xn-2B1+xBn-2+Bn-1,其中其中B0,B1,Bn-1都是都是n阶数字矩阵于是有阶数字矩阵于是有B(x)(xI-A)=(xn-1B0+

22、xn-2B1+xBn-2+Bn-1)(xI-A)=xn B0+xn-1(B1-B0 A)+xn-2(B2-B1A)+x(Bn-1-Bn-2A)-Bn-1A.（1）fA(x)I=xnI+a1xn-1I+an-1xI+anI.（2）比较（比较（1）和（）和（2）得）得B1-B0A=a1I,即即fA(A)=0.B2-B1A=a2I,Bn-1-Bn-2A=an-1 I,-Bn-1A=anI.用用An,An-1,A,I分别依次从右边乘上面各个等分别依次从右边乘上面各个等式再相加可得式再相加可得0=An+a1 An-1+an-1A+anI=fA(A),B0=I,习题习题6.41.在在V3中，中，H是过原点

23、的平面是过原点的平面,是把任意向量是把任意向量变成它在变成它在H上的正投影的线性变换上的正投影的线性变换,指出指出的特的特征根与特征向量征根与特征向量2.设设是线性空间是线性空间V的线性变换，的线性变换，()=0,f(x)=a0 xm+1 xm-1+am-1x+am.证明：证明：f()()=f(0)().3.设设,是数域是数域F上线性空间上线性空间V的两个线性变换的两个线性变换,且且=.证明证明:若若()=0,0,0F，则则()310410482A 求求的特征根和相应的特征向量的特征根和相应的特征向量0V(=V|()=0).0V 4.设数域设数域F上的三维线性空间上的三维线性空间V的一个线性变

24、换的一个线性变换在基在基1,2,3下的矩阵是下的矩阵是313311220A 00aAa 313311220B 5.设设R上的三维线性空间上的三维线性空间V的一个线性变换的一个线性变换在在基基1,2,3下的矩阵是下的矩阵是求求的特征根与相应的特征向量的特征根与相应的特征向量6.求下列矩阵在复数域求下列矩阵在复数域C内的特征根与特征向量：内的特征根与特征向量：,7.设设是是F上线性空间上线性空间V的一个可逆的线性变换的一个可逆的线性变换证明：证明：1）的特征根不等于零；的特征根不等于零；2）若）若0是是的特征根，则的特征根，则8设设是数域是数域F上线性空间上线性空间V的一个线性变换，的一个线性变换，且且2,称称为幂等变换证明：为幂等变换证明：幂等变换的特征根只能是幂等变换的特征根只能是0或或110 是是-1 的特征根的特征根9.A是是n阶矩阵证明，阶矩阵证明，A可逆的充分必要条件可逆的充分必要条件是：是：A的特征根均不为零的特征根均不为零10.证明证明:n阶方阵阶方阵A与它的转置与它的转置A有相同的特有相同的特征多形式征多形式.11.设设A、B都是都是n阶方阵阶方阵.证明：证明：1）tr(AB)=tr(BA);2)若若AB,则则tr(A)=tr(B).