高三数学《专题九 空间直线与平面位置关系的判断与证明》

《高三数学《专题九 空间直线与平面位置关系的判断与证明》》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高三数学《专题九 空间直线与平面位置关系的判断与证明》（70页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、空间直线与平面位置空间直线与平面位置关系的判断与证明关系的判断与证明第一课时：第一课时：基本问题基本问题第一课时：第一课时：基本问题基本问题 课前导引课前导引 第一课时：第一课时：基本问题基本问题 课前导引课前导引 1.用一个平面去截一个正方形得到用一个平面去截一个正方形得到的多边形，可以是的多边形，可以是_(将可能的将可能的序号都填上，其中：序号都填上，其中：三角形；三角形；四边四边形；形；五边形；五边形；六边形；六边形；七边形七边形)简评简评 本问题涉及到直线与平面位本问题涉及到直线与平面位置关系的判定与性质置关系的判定与性质,学生应能根据所学学生应能根据所学立体几何知识熟练画出正方体的各

2、种截立体几何知识熟练画出正方体的各种截面，并能说清楚截面与正方体各表面的面，并能说清楚截面与正方体各表面的交线是如何画出的交线是如何画出的.简评简评 本问题涉及到直线与平面位本问题涉及到直线与平面位置关系的判定与性质置关系的判定与性质,学生应能根据所学学生应能根据所学立体几何知识熟练画出正方体的各种截立体几何知识熟练画出正方体的各种截面，并能说清楚截面与正方体各表面的面，并能说清楚截面与正方体各表面的交线是如何画出的交线是如何画出的.答案：答案：2.一个二面角的两个面与另一个二一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，则这两个二面面角的两个面分别垂直，则这两个二面角角 ()A.相等相等

3、 B.互补互补C.相等或互补相等或互补 D.大小关系不能确定大小关系不能确定 2.一个二面角的两个面与另一个二一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，则这两个二面面角的两个面分别垂直，则这两个二面角角 ()A.相等相等 B.互补互补C.相等或互补相等或互补 D.大小关系不能确定大小关系不能确定 简评简评 要多从运动的角度来研究直要多从运动的角度来研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系的空间形象各种位置关系的空间形象.2.一个二面角的两个面与另一个二一个二面角的两个面与另一个二面角的两个面分别垂直，则这两个二面面角的两个面分别垂直，则这两

4、个二面角角 ()A.相等相等 B.互补互补C.相等或互补相等或互补 D.大小关系不能确定大小关系不能确定 简评简评 要多从运动的角度来研究直要多从运动的角度来研究直线与直线、直线与平面、平面与平面的线与直线、直线与平面、平面与平面的各种位置关系的空间形象各种位置关系的空间形象.D 考点搜索考点搜索 考点搜索考点搜索 1.画图是一个基本功画图是一个基本功.要能熟练画要能熟练画出水平放置的平面图形的直观图，画出出水平放置的平面图形的直观图，画出空间两条直线、直线和平面的各种位置空间两条直线、直线和平面的各种位置关系的图形，能够根据图形想像它们的关系的图形，能够根据图形想像它们的位置关系位置关系.2

5、.熟练掌握线线、线面、面面平行熟练掌握线线、线面、面面平行与垂直的各种判定方法以及性质与垂直的各种判定方法以及性质.3.会用反证法证明简单的问题会用反证法证明简单的问题.4.能够有选择地使用向量方法和非能够有选择地使用向量方法和非向量方法解决空间直线与平面位置关系向量方法解决空间直线与平面位置关系的问题的问题.链接高链接高考考 链接高链接高考考)(,2,)2005(为为则则平行平行条棱与平面条棱与平面得该棱柱恰有得该棱柱恰有使使中取一点作为中取一点作为、从从心心的重的重为为的中点的中点、分别为分别为、点点中中在三棱柱在三棱柱年湖北卷年湖北卷PPEFPBGHKABCGCBBACBACKHFECB

6、AABC 例例11 D.C.B.A.BGHK 链接高链接高考考)(,2,)2005(为为则则平行平行条棱与平面条棱与平面得该棱柱恰有得该棱柱恰有使使中取一点作为中取一点作为、从从心心的重的重为为的中点的中点、分别为分别为、点点中中在三棱柱在三棱柱年湖北卷年湖北卷PPEFPBGHKABCGCBBACBACKHFECBAABC 例例11 D.C.B.A.BGHKC所成角的大小；所成角的大小；与平面与平面求直线求直线时时当当；平面平面求证：求证：底面底面的中点的中点、别是别是分分、点点中中在三棱锥在三棱锥如图如图年浙江卷年浙江卷PBCPAkPABODABCOPPCACDOkPABCABABCP,21

7、)2(/)1(.,)2005(例例22的重心？的重心？的射影恰好为的射影恰好为内内在平面在平面取何值时取何值时当当PBCPBCOk,)3(./(1)可得可得由由PAOD的重心？的重心？的射影恰好为的射影恰好为内内在平面在平面取何值时取何值时当当PBCPBCOk,)3(法一法一./(1)可得可得由由PAOD的重心？的重心？的射影恰好为的射影恰好为内内在平面在平面取何值时取何值时当当PBCPBCOk,)3(法一法一.,(2)所成的角所成的角平面平面与与是是则则连结连结于于作作平面平面则则连结连结中点中点取取PBCODODFDFFPEOFPOEBCPEEBC .30210arcsin,30210si

8、n,.,/成角为成角为所所与平面与平面中中在在的大小等于的大小等于所成角所成角与平面与平面又又PBCPAODOFODFODFRtODFPBCPAPAOD ,.,:(2)(3)BDPCPCOBBDPBCOBDFBPBCFPCDPBCOFPBCOF 内的射影为直线内的射影为直线在平面在平面直线直线三点共线三点共线、则则的重心的重心是是若若的中点的中点是是内的射影内的射影在平面在平面是是平面平面知知由由.,1,.1,的重心的重心内的射影为内的射影为在平面在平面正三棱锥正三棱锥为为三棱锥三棱锥时时当当反之反之即即PBCPBCOPBCOkkBCPB ),0,0,22(),0,22,0(),0,0,22(

9、,),(,aCaBaAaABxyzOxOPO 则则设设如图如图建立空间坐标系建立空间坐标系轴轴为非负为非负射线射线为原点为原点以以 法二法二).,0,0(,hPhOP则则设设./,/,21),0,22(),21,0,22(1)PABODPAODPAODhaPAhaOD平面平面又又 nPAnPAnPAnPBCaaPAahaPAk ),cos(),71,1,1(),27,0,22(,27,2,21(2)向量向量的法的法可求得平面可求得平面则则.30210arcsin,30210),cos(sin,.30210所成的角为所成的角为面面与平与平则则所成角为所成角为与平面与平面设设PBCPAnPAPBC

10、PA ),22,0(,),31,62,62(),31,62,62(3)haPBPBOCPBCOGhaaOGhaaGPBC 又又平面平面的重心的重心.,1,.1,22,031612222的重心的重心射影为射影为内的内的为平面为平面正三棱锥正三棱锥为为三棱锥三棱锥时时当当反之反之即即PBCPBCOPBCOkkahOAPAahhaPBOC 方法论坛方法论坛 方法论坛方法论坛 1.如何证两条异面直线相互垂如何证两条异面直线相互垂直：直：(1)证明两条异面直线所成角证明两条异面直线所成角为为90；(2)证明两条异面直线的方证明两条异面直线的方向向量相互垂直向向量相互垂直.2.如何证直线和平面相互平行：如

11、何证直线和平面相互平行：(1)证明直线和这个平面内的一条直线证明直线和这个平面内的一条直线相互平行；相互平行；(2)证明这条直线的方向向证明这条直线的方向向量和这个平面内的一个向量相互平行量和这个平面内的一个向量相互平行,或者这条直线的方向向量可以用这个或者这条直线的方向向量可以用这个平面内的两个向量的线性组合来表示平面内的两个向量的线性组合来表示;(3)证明这条直线的方向向量和这个平证明这条直线的方向向量和这个平面的法向量相互垂直面的法向量相互垂直.3.如何证直线和平面垂直：如何证直线和平面垂直：(1)证明直线和平面内两条相交直线都垂证明直线和平面内两条相交直线都垂直；直；(2)证明直线的方

12、向量与这个平证明直线的方向量与这个平面内不共线的两个向量都垂直；面内不共线的两个向量都垂直；(3)证明直线的方向量与这个平面的法向证明直线的方向量与这个平面的法向量相互平行量相互平行.4.如何证平面和平面相互垂直：如何证平面和平面相互垂直：(1)证明这两个平面所成二面角的平面证明这两个平面所成二面角的平面角为角为90；(2)证明一个平面内的一条证明一个平面内的一条直线垂直于另外一个平面；直线垂直于另外一个平面；(3)证明两证明两个平面的法向量相互垂直个平面的法向量相互垂直.5.如何证平面和平面互相平行：如何证平面和平面互相平行：(1)证明一个平面内两相交直线都与另证明一个平面内两相交直线都与另

13、一个平面平行；一个平面平行；(2)证明两个平面的法证明两个平面的法向量互相平行向量互相平行.6.如何做关于空间线面位置关系如何做关于空间线面位置关系的选择题：工具演示、空间想象、逻的选择题：工具演示、空间想象、逻辑推理相结合辑推理相结合.长郡演练长郡演练 长郡演练长郡演练 1.下列命题正确的是下列命题正确的是 ()A.过平面外一点作此平面的垂面是过平面外一点作此平面的垂面是唯一的唯一的 B.过直线外一点作此直线的平行平过直线外一点作此直线的平行平面是唯一的面是唯一的 C.过直线外一点作此直线的垂线是过直线外一点作此直线的垂线是唯一的唯一的 D.过平面的一条斜线作此平面垂面过平面的一条斜线作此平

14、面垂面是唯一的是唯一的 长郡演练长郡演练 1.下列命题正确的是下列命题正确的是 ()A.过平面外一点作此平面的垂面是过平面外一点作此平面的垂面是唯一的唯一的 B.过直线外一点作此直线的平行平过直线外一点作此直线的平行平面是唯一的面是唯一的 C.过直线外一点作此直线的垂线是过直线外一点作此直线的垂线是唯一的唯一的 D.过平面的一条斜线作此平面垂面过平面的一条斜线作此平面垂面是唯一的是唯一的D2.a,b异面异面,则过则过a与与b垂直的平面垂直的平面()A.有且只有一个有且只有一个B.可能存在可能不存在可能存在可能不存在C.有无数个有无数个D.一定不存在一定不存在2.a,b异面异面,则过则过a与与b

15、垂直的平面垂直的平面()A.有且只有一个有且只有一个B.可能存在可能不存在可能存在可能不存在C.有无数个有无数个D.一定不存在一定不存在 若存在若存在,则必有则必有a与与b异面垂直异面垂直,即若即若a与与b不垂直则不存在过不垂直则不存在过a与与b垂直的平面垂直的平面.2.a,b异面异面,则过则过a与与b垂直的平面垂直的平面()A.有且只有一个有且只有一个B.可能存在可能不存在可能存在可能不存在C.有无数个有无数个D.一定不存在一定不存在B 若存在若存在,则必有则必有a与与b异面垂直异面垂直,即若即若a与与b不垂直则不存在过不垂直则不存在过a与与b垂直的平面垂直的平面.第二课时：第二课时：综合问

16、题综合问题 课前导引课前导引 第二课时：第二课时：综合问题综合问题 课前导引课前导引 第二课时：第二课时：综合问题综合问题 1.右图是正方体的平面展开图右图是正方体的平面展开图.在这在这个个正方体正方体中，中，BM与与ED平行平行 CN与与BE是异面直线是异面直线 CN与与BM成成60角角 DM与与BN垂直垂直以上四个命题中，正确命题的序号是以上四个命题中，正确命题的序号是()A.B.C.D.课前导引课前导引 第二课时：第二课时：综合问题综合问题 1.右图是正方体的平面展开图右图是正方体的平面展开图.在这在这个个正方体正方体中，中，BM与与ED平行平行 CN与与BE是异面直线是异面直线 CN与

17、与BM成成60角角 DM与与BN垂直垂直以上四个命题中，正确命题的序号是以上四个命题中，正确命题的序号是()A.B.C.D.C PMNlPNMlNlPMlMNPNlPM 2.下列下列5个正方体图形中，个正方体图形中，l是正方体是正方体的一条对角线，点的一条对角线，点M、N、P分别为其所分别为其所在棱的中点，能得出在棱的中点，能得出l面面MNP的图形的的图形的序号是序号是 （写出所有符合要求的图（写出所有符合要求的图形序号）形序号）解析解析 这是这是2003年的一道高考题年的一道高考题.我们可以先画出一个与我们可以先画出一个与l 垂直的正六边垂直的正六边形截面，然后检查过哪三点的截面就是形截面，

18、然后检查过哪三点的截面就是这个截面；而对于其他情况，要么画出这个截面；而对于其他情况，要么画出截面与正方体各表面的交线然后用三垂截面与正方体各表面的交线然后用三垂线定理判断，要么建立空间直角坐标系线定理判断，要么建立空间直角坐标系用向量法计算用向量法计算.解析解析 这是这是2003年的一道高考题年的一道高考题.我们可以先画出一个与我们可以先画出一个与l 垂直的正六边垂直的正六边形截面，然后检查过哪三点的截面就是形截面，然后检查过哪三点的截面就是这个截面；而对于其他情况，要么画出这个截面；而对于其他情况，要么画出截面与正方体各表面的交线然后用三垂截面与正方体各表面的交线然后用三垂线定理判断，要么

19、建立空间直角坐标系线定理判断，要么建立空间直角坐标系用向量法计算用向量法计算.答案答案:考点搜索考点搜索 考点搜索考点搜索 1.探索性问题是近年来高考立体几探索性问题是近年来高考立体几何题的热点题何题的热点题.通常要求考生探索在某平通常要求考生探索在某平面或某直线上是否存在一点满足一定的面或某直线上是否存在一点满足一定的条件条件.2.折叠问题经常在高考卷中出现折叠问题经常在高考卷中出现.3.要求能够证明三点共线和三线共要求能够证明三点共线和三线共点问题点问题.链接高链接高考考 链接高链接高考考 例例11 (2005全国卷全国卷)正方体正方体ABCD-A1B1 C1D1中中,P、Q、R分别是分别

20、是AB、AD、B1 C1的中点的中点.那么正方体的过那么正方体的过P、Q、R的截面图形是的截面图形是 ()(A)三角形三角形 (B)四边形四边形 (C)五边形五边形 (D)六边形六边形 链接高链接高考考 例例11 (2005全国卷全国卷)正方体正方体ABCD-A1B1 C1D1中中,P、Q、R分别是分别是AB、AD、B1 C1的中点的中点.那么正方体的过那么正方体的过P、Q、R的截面图形是的截面图形是 ()(A)三角形三角形 (B)四边形四边形 (C)五边形五边形 (D)六边形六边形D 例例22(2004年湖南卷年湖南卷)如图如图,在底面是菱在底面是菱形的四棱锥形的四棱锥PABCD中中,点点E

21、在在PD上上,且且PE:ED=2:1.(I)证明证明PA平面平面ABCD;(II)求以求以AC为棱为棱,EAC与与DAC为面的二面角为面的二面角的大小的大小:(III)在棱在棱PC上是否存在上是否存在一点一点F,使使BF/平面平面AEC?证明你的结论证明你的结论.,60 ABC,2,aPDPBaACPA 法一法一 (I)由由PAAB及及PAAD可得可得.(II)用三垂线法求得二面角用三垂线法求得二面角=30.()证法一：先猜想证法一：先猜想F为棱为棱PC中点时，有中点时，有BF平面平面AEC，然后证明，然后证明.可取可取PE中点中点M，连连FM，则，则FMCE.设设AC交交BD于于O，易证，易

22、证BMOE，于是平面，于是平面BFM平面平面AEC，则得，则得BF平平面面AEC.法二法二 DECDADDPCDADCPBCBF2321 2121 ACAEADAEACADAD21232321 所以所以 共面共面,则则BF/平面平面AEC.ACAEBF,法三法三 以以A为原点，直线为原点，直线AD、AP分别为分别为y轴、轴、z轴，过轴，过A点且垂直于平面点且垂直于平面PAD的直的直线为线为x轴建立空间直角坐标系，写出各相轴建立空间直角坐标系，写出各相关点坐标，然后设关点坐标，然后设 ，写出向，写出向量量 的坐标的坐标.PCPF BF./,23,21,21,AECBFPCFyxAEyACxBF平

23、平面面中中点点时时为为所所以以易易得得当当可可求求得得令令 例例33（2000年全国高考题）如图，已年全国高考题）如图，已知平行六面体知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面的底面ABCD是菱形是菱形,且且C1CB=C1CD=BCD,(1)证明：证明：C1CBD；.?,)2(111出出证证明明请请给给平平面面能能使使为为多多少少时时的的值值当当BDCCACCCD 第一类证法第一类证法(非向量方法非向量方法)：(1)证明：连结证明：连结A1C1、AC和和BD交于交于O，连结，连结C1O.四边形四边形ABCD是菱形，是菱形，,111111111BDOCOBDODCBCDCCBCCCCCCDCCB

24、CCCDBCBDAC 又又.,.,11111BDCCACCCACBDOOCACBDAC 平面平面又又平面平面但但(2).,1111BDCCACCCD平面平面能使能使时时当当 .,.1:2:,1:2:,/.,11111111111111111111BDCCABDCCGBDCGBDBDCOCGOGCOCCAACCAGOCCABDCCDCBCBDCDCBCDCCCDBCCCCD平面平面即即平面平面的中心的中心正三角形正三角形是是点点边上的高和中线边上的高和中线的的形形是正三角是正三角又又且且相交于相交于与与设设是正三棱锥是正三棱锥三棱锥三棱锥由此可推出由此可推出又又 .,.,1.,)1(111111

25、11111BDCCABBCBDCABCCABDCCCDCABDACCAACBC平平面面又又可可得得的的证证法法同同六六个个面面是是全全等等的的菱菱形形平平面面六六面面体体的的时时当当平平面面平平面面知知由由 法二法二 第二类证法（向量法）本题的向量第二类证法（向量法）本题的向量解法大体上有两类：解法大体上有两类：法一：确定三个知其模及两夹角的法一：确定三个知其模及两夹角的向量为空间向量的一个基底向量为空间向量的一个基底.对于平行对于平行六面体来说，通常选择从同一顶点出发六面体来说，通常选择从同一顶点出发的三条棱表示的向量为基底的三条棱表示的向量为基底.如设：如设：:,1则则cCCbCDaCB

26、.10,)2(.0,)1(11111111111 xDCCAcbaDCCADCCABDCABDCCAaxCDaCCcbaBDCC可可得得由由表表示示用用将将故故只只需需由由于于已已经经有有面面平平要要使使设设计计算算其其数数量量积积为为从从而而表表示示用用不不难难将将 法二：如图建立空间直角坐标系法二：如图建立空间直角坐标系.并并设底面菱形边长为设底面菱形边长为a，侧棱长为，侧棱长为b.,0,23,0,33cos,coscoscos,)1(1111 aCACCDCCACCDCAACC别别为为则则各各点点坐坐标标分分是是可可求求得得于于且且上上在在底底面面的的射射影影在在由由已已知知,36,23

27、33,01 babC0),0,0,(,0,0,21,0,0,21;36,33,011 BDCCaBDaDaBbbCC可可得得则则所所以以同同时时则则;1BDCC 所所以以);36,333,0(,36,3323,0)2(11bbaCAbbaA 由由.:0230,36,3323,2122111bababaDCCAbbaaDC 故故得得得得由由又又 在线探究在线探究 例例1 在正方形在正方形SG1G2G3中，中，E、F分别分别是是G1G2及及G2G3的中点，的中点，D是是EF的中点的中点,现在现在沿沿SE、SF及及EF将这个正方形折成一个四面将这个正方形折成一个四面体，使体，使G1、G2、G3三点重

28、合，重合后的点三点重合，重合后的点记为记为G，则在四面体，则在四面体S-EFG中必有中必有()A.SGEFG所在平面所在平面 B.SDEFG所在平面所在平面 C.GFSEF所在平面所在平面 D.GDSEF所在平面所在平面 在线探究在线探究 例例1 在正方形在正方形SG1G2G3中，中，E、F分别分别是是G1G2及及G2G3的中点，的中点，D是是EF的中点的中点,现在现在沿沿SE、SF及及EF将这个正方形折成一个四面将这个正方形折成一个四面体，使体，使G1、G2、G3三点重合，重合后的点三点重合，重合后的点记为记为G，则在四面体，则在四面体S-EFG中必有中必有()A.SGEFG所在平面所在平面

29、 B.SDEFG所在平面所在平面 C.GFSEF所在平面所在平面 D.GDSEF所在平面所在平面A 在线探究在线探究 1.如何证三点共线：若要证如何证三点共线：若要证A、B、C三三点共线点共线,可证可证A、B、C均为某两平面的公共点均为某两平面的公共点.2.如何证三线共点：若要证直线如何证三线共点：若要证直线a、b、c相交于一点相交于一点,可设可设a为某两平面的交线为某两平面的交线,而而b与与c分别在这两个平面内且相交分别在这两个平面内且相交,则则b与与c的交点必的交点必在这两平面的交线在这两平面的交线a上上.3.折叠问题：画折前折后图折叠问题：画折前折后图,找不变量是找不变量是关键关键.不变量包括线段和角不变量包括线段和角,特别注意直角特别注意直角.4.探索性问题：先假定存在探索性问题：先假定存在,然后寻找命然后寻找命题成立的必要条件题成立的必要条件.方法论坛方法论坛