函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性

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1、函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性 函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性 湖南祁阳四中 何双桥整理 一、函数的单调性 1.单调性的定义 一般地，设函数f(x)的定义域为I： 假设对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数，区间D我们称为函数f(x)的单调增区间； 假设对于定义域I内的某个区间D上的任意两个自变量值x1、x2，当x1?x2时，都有f(x1)?f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数，区间D我们称为函数f(x)的单调减区间。 2.单调函数与严格单调函数 设f(x)为定义在I

2、上的函数，假设对任何x1,x2?I，当x1?x2时，总有 特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成f(x)为I上的增函数，() f(x1)?f(x2)，那么称立时称f(x)为I上的严格单调递增函数。 特别当且仅当严格不等式f(x1)?f(x2)成f(x)为I上的减函数，() f(x1)?f(x2)，那么称立时称f(x)为I上的严格单调递减函数。 f(x)为区间I上的单调递增函数，x1、x2为区间内两任意值，那么有： f(x1)?f(x2)?0或x1?x2)f(x1)?f(x2)?0 f(x)为区间I上的单调递减函数，x1、x2为区间内两任意值，那么有： f(x1)?f(x2)?0或x1?

3、x2)f(x1)?f(x2)?0 ?x1x23.函数单调性的判断(证明) (1)作差法(定义法) (2)作商法 4.复合函数的单调性的断定 对于函数y?f(u)和u?g(x)，假设函数u?g(x)在区间(a,b)上具有单调性，当用心 爱心 专心 x-a,b?时u-m,n?，且函数y?f(u)在区间(m,n)上也具有单调性，那么复合函数y?f(g(x)在区间?a,b?具有单调性。 5.由单调函数的四那么运算所得到的函数的单调性的判断 对于两个单调函数(1)当f(x)和g(x)，假设它们的定义域分别为I和J，且I?J-： 函数FF2(x)?f(x)?g(x)的f(x)和g(x)具有一样的增减性时，

4、1(x)?f(x)?g(x)、增减性与f(x) (或g(x)一样，F3(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?f(x)(g(x)?0)的增减性g(x)不能确定； (2)当f(x)和g(x)具有相异的增减性时，我们假设f(x)为增函数，g(x)为减函数，那么：F1(x)? f(x)?g(x)、F2(x)?f(x)?g(x)的增减性不能确定； f(x)g(x)(g(x)?0)为增函数，F5(x)?(f(x)?0)为g(x)f(x)F3(x)?f(x)?g(x)、F4(x)?减函数。 6.奇偶函数的单调性 奇函数在定义域内严格单调，偶函数在其定义域内的对称区间上的单调性相反。 二、函数的奇偶性 1.

5、 奇偶性的定义 假设对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(x)?f(?x)，那么称函数f(x)为偶函都有f(x)-f(?x)，那么称函数f(x)为f(x)的定义域内的任意一个x，数；假设对于函数奇函数。 2.奇偶性的几何意义 具有奇偶性的函数的定义域关于原点对称，奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。 3.函数奇偶性的判断(证明) (1)比拟f(x)与?f(?x)的关系； (2)f(x)f(?x)?0与?1的关系； f(?x)(2) f(x)?f(?x)与0的关系 4.由具有奇偶性的函数的四那么运算所得到的函数的奇偶性的判断 对于两个具有奇偶性的函数f(x)和g(x)，

6、假设它们的定义域分别为I和J，且I?J-：用心 爱心 专心 (1)当f(x)和g(x)具有一样的奇偶性时，假设为奇函数，那么： 函数F1(x)?F2(x)?(2)当f(x)?g(x)、F3(x)?f(x)?g(x)也为奇函数； f(x)(g(x)?0)为偶函数； g(x)f(x)?g(x)、F4(x)?f(x)和g(x)具有相异的奇偶性时，那么： F1(x)?F2(x)?f(x)?g(x)、F3(x)?f(x)?g(x)的奇偶性不能确定； f(x)?g(x)、F4(x)?f(x)g(x)(g(x)?0)、F5(x)?(f(x)?0)为奇函数。 g(x)f(x)二、函数的对称性 1.函数自对称

7、1关于y轴对称的函数偶函数的充要条件是2关于原点f(?x)?f(x) ?0,0?对称的函数奇函数的充要条件是f(x)?f(?x)?0 f?1(x)?f(x) 3关于直线y?x对称的函数的充要条件是2.两个函数的图象对称性 1y?f(x)与y-f(x)关于x轴对称。 换种说法：y?2y?f(x)与y?g(x)假设满足f(x)-g(x)，即它们关于y?0对称。 f(x)与y?f(?x)关于y轴对称。 换种说法：y?3y?f(x)与y?g(x)假设满足f(x)?g(?x)，即它们关于x?0对称。 f(x)与y?f(2a?x)关于直线x?a对称。 换种说法：y?4y?f(x)与y?g(x)假设满足f(

8、x)?g(2a?x)，即它们关于x?a对称。 f(x)与y?g(x)假设满足f(x)?g(x)?2a，即它们关于y?a对称。 f(x)与y?2a?f(x)关于直线y?a对称。 f(x)与y?2b?f(2a?x)关于点?a,b?对称。 即它们关于点?a,b?对称。 f(x)与y?g(x)假设满足f(x)?g(2a?x)?2b，换种说法：y?5y?换种说法：y?6y?7y?f(a?x)与y?(x?b)关于直线x?a?b对称。 2f(x)与y?f?1(x)关于直线y?x对称。 二、函数的周期性 1.周期性的定义 对于函数y?f(x)，假设存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，都有用心

9、爱心 专心 f(x?T)?f(x)都成立，那么就把函数y?f(x)叫做周期函数，非零常数T叫做这个函数的周期。假设所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小正周期。假设非零常数T是函数f(x)的周期，那么?T、nTn?N*也是函数f(x)的周期。 2. 函数的周期性的主要结论： 结论1：假设a?b，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?a?b f(x?a)?f(x?b)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期f(x?a)-f(x?b)a?b结论2：假设T?2a?b 结论3：假设定义在R上的函数函数，其中一个周期T结论4：假设偶函数其中一个周期Tf(x)有两条对称轴x?a、x?

10、b对称，那么f(x)是周期?2a?b f(x)的图像关于直线x?aa?0对称，那么f(x)是周期函数，?2a f(x)的图像关于直线x?aa?0对称，那么f(x)是周期函数，结论5：假设奇函数其中一个周期T?4a 结论6：假设函数同时关于两点数，其中一个周期T结论7：假设奇函数中一个周期T?a,c?、?b,c?a?b成中心对称，那么f(x)是周期函?2a?b f(x)关于点?a,c?a?0成中心对称，那么f(x)是周期函数，其?2a a?0成中心对称，且关于直线x?ba?bf(x)的图像关于点?a,c?结论8：假设函数成轴对称，那么结论9：假设期Tf(x)是周期函数，其中一个周期T?4a?b 11或f(x?p)-，那么f(x)是周期函数，其中一个周f(x)f(x)f(x?p)-2p p1?f(x)p1?f(x)f(x?)?或f(x?)?，那么f(x)是周期函数，其中21?f(x)21?f(x)结论10：假设一个周期T?2p f(x?p)-f(x)，那么f(x)是周期函数，其中一个周期T?2p 结论11：假设 用心 爱心 专心 第 8 页 共 8 页