复变函数与积分变换课后的习题答案（修订版-复旦大学）

《复变函数与积分变换课后的习题答案（修订版-复旦大学）》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复变函数与积分变换课后的习题答案（修订版-复旦大学）（10页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、复变函数与积分变换课后的习题答案修订版-复旦大学 复变函数与积分变换修订版课后答案复旦大学出版社 1 / 34 复变函数与积分变换修订版课后答案复旦大学出版社 习题一 1. 用复数的代数形式a+ib表示以下复数 e?i/4 ?18?8?0i-1 -1?i3?Im-0 -?2-;3?5i7i?1;(2?i)(4?3i);1i?31?i. Re-1?i3-1, -2- 解e?4i解： 2?2?-cos-isin-22?4-4-?22i-?i?22?3 解： 3?5i7i?1-3?5i-1?7i-1+7i-1?7i-?1625?1325i -1?i3-2-1?3?3-?1-?3-22-3-?1-3-

2、3?3?i-8 ?18?8?0i-1 3-1, -?解： ?2?i-4?3i-8?3?4i?6i?5?10i 解： 1i?31?i=?i?3?1?i?2?32?52i ?1?iRe-2-1?i3?Im-0-?2- 2.求以下各复数的实部和虚部(z=x+iy) -(a?); z;-1?i3?;-1?i3?;in. z?a?2-2?3z?a33-?1?k,?解： i-k?1?i,-nn?2kn?2k?1kk- 当n?2k时，Re?i-1?，Im?i-0； nn 那么z?az?a?：设z=x+iy 当nn?2k?1k时，R?e-in，0?x?iy-a?x?iy-a-x?a-iy?x?a-iy-x?a

3、-iy-?x?a-iy-Im?i-1? ?x?a?2222?y23.求以下复数的模和共轭复数 ,?2?i;?3;(2?i)(3?2i);1?i2. x?a?y?z?a?Re-?22?z?a-x?a-y?z?a-z?a?2xy解：?2?i?4?1?5 Im-x?a-y22 ?2?i-2?i ?3-3解： 设z=x+iy z-x?iy-?x?iy?332解：?3?3 5?13?65?x?iy-?x2?y?2xyi-x?iy?2解：?2?i-3?2i? ?2?i3?2i? ?x?x?y232222yx?y-2xy?i-2xy2-?23?2?i-3?2i-?2?i-?3?2i-?2?i-?3?2i-4

4、?7i ?x?3xy-3xy?y2?i3解：1?i2?1?i2?22 Im?z3Re?z-x3?3xy2,?1?i-1?i?1?i-222-3x?32y?y 3 解： ?1?i3-1?i3-28-3-1-1?3-?1-?8-?3?22-?3-?1-3-3?3- 4、证明：当且仅当z?z时，z才是实数 2 / 34 证明：假设z?z，设z?x?iy， 复变函数与积分变换修订版课后答案复旦大学出版社 那么有 x?iy?x?iy，从而有?2y?i?0，即y=0 z=x为实数 假设z=x，x?，那么z?x?x z?z 命题成立 解：3?5i7i?1-3?5i-1?7i? 1?7i1?7i-?175?e

5、i-?38?16i50?19?8i25其中-?arctan819 解：i?ei-其中- i22 5、设z,w?，证明： z?w 2z?w i?e 23解：?1?ei?ei 解：?8?1?3i-16-?. ?8?1?3i-16?e3证明z?w-z?w-?z?w-?z?w-z?w? ?z?z?z?w?w?z?w?w?23i ?z?z2?zw?z?w?w?w22-2Re?z?w-2z?w?2z?w ?2 22-?isin解：?cos? 99-22-cos?isin-99-3z2?w?w?w2 ?z?22解：?1 ?z?2i?.322-9?isin?1?e?e?cos?99-3223i z?wz?w

6、6、设z,w?，证明以下不等式 z?w2?z2?2Rez?w?w-28.计算：(1)i的三次根；(2)-1的三次根；(3) 3?3i的平方根. i的三次根 解： 13z?w2?z2?2Rez?w?w2-2z?w2?z?w?2z?2?w2? 2并给出最后一个等式的几何解释 证明：z?w?z?2Re?z?w-w在上面第五题22-i-cos?isin-cos22-32k?32?isin2k?32?k?0,1,2? z1?cosz2?cos656?isin6?5632?12i12的证明已经证明了 下面证z?w?z?2Re?z?w-w 222 ?i z?w-z?w-?z?w-?z?w-z?w? 2?is

7、in96-3296 32?12i?z2?z?w?w?z?w2 从而得证 z3?cos?isin- 2?z2?2Rez?w?w2-2-1的三次根 解： 3z?w?z?w?2z?w?22-1-cos?isin?3?cos12k+3?isin2k?3?k?0,1,2? 几何意义：平行四边形两对角线平方的和等于各边的平方的和 7.将以下复数表示为指数形式或三角形式 3?5i7i?1;i;?1;?8(1?3i);22? -isin?cos?.99-3 z1 ?cos3?isin3?12?32i z2?cos?isin-1 3 / 34 复变函数与积分变换修订版课后答案复旦大学出版社 z3?cos53?i

8、sin53-12?32i 是-=90 12.指出以下各式中点z所确定的平面图形，并作出草图. (1)argz?;3?3i的平方根 解：3? 3-223i=6-22-i-6?e4i (2)z?1?z;(3)1?z?i|?2;3i? ?6?e41i?12-2k?2k-?44?64-cos?isin-22?1(4)Rez?Imz;?k?0,1? (5)Imz?1且z?2. i-z1?6-cos?isin-64?e888-4111 9解： (1)、argz=表示负实轴 i99-z2?64-cos?isin-64?e8 88-9.设z?ei2nn?1?0 ,n?2. 证明：1?z-?z2n证明：z?e

9、i? zn?1，即zn?1?0 (2)、|z-1|=|z|表示直线z=12 ?z?1-1?z-?zn?1-0 又n2 z1 从而1?z?z+-z2n?1?0 11.设?是圆周z:z?c?r,r?0,a?c?rei?.令 -?z?a?L-?z:Im-0?, -b-?其中b?ei?.求出L?在a切于圆周?的关于?的充分必要条件. 解：如以下图 (3)、1Imz 解：表示直线y=x的右下半平面 向与b同向的直线，要使得直线在a处与圆相切，那么CAL?过C作直线平行L?，那么有BCD=，ACB=90 故-=90 所以L?在处切于圆周T的关于的充要条件4 / 34 复变函数与积分变换修订版课后答案复旦大

10、学出版社 所以u?x?y,v?2xy.22 4(1) 记w-e，那么轴上从O到4i的一段，即 0-?4,-2.i?0?r?,2-映射成w平面内虚5、Imz1，且|z|2 解：表示圆盘内的一弓形域。 (2) 记习题二 1. 求映射w?z?1zw-ei?，那么0-?4,0?r?22.映成了w平面上扇形域，即0-?4,0-? 下圆周|z|?2的像. w?u?iv解：设z?x?iy, u?iv?x?iy?1x?iy那么 ?x?iy?x?iyx?y22?x?xx?y2?i(y?2yx?y2) 2 因为所以 x?y?45422u?iv?54x?34yi (3) 记w?u?iv，那么将直线x=a映成了u?a

11、?y,v?2ay.22,所以34y 即v?4a(a?u).222是以原点为焦u?u54xv-,v34 点，张口向左的抛物线将y=b映成了u?x?b,v?2xb. 22x?,y? u ?2u5222所以-542?v-342即-?v3222-?1 即，表示椭圆. v?4b(b?u)222是以原点为焦点，张口向右抛物线如以下图. 22. 在映射w?z下，以下z平面上的图形映射为w平面上的什么图形，设0?r?2,-w-e4i?或w?u?iv. 10?r?2,0-?4； 22; (3) x=a, y=b.(a, b为实数) 解：设w?u?iv?(x?iy)?x?y?2xyi22 3. 求以下极限. lim11?z2 (1) 5 / 34 z-; 第 10 页 共 10 页