复变函数与积分变换第3章复变函数的积分ppt课件

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1、出版社 理工分社复变函数与积分变换页第第3 3章章 复变函数的积分复变函数的积分出版社 理工分社复变函数与积分变换页本章主要引见复积分的定义，再建立Cauchy柯西积分定理和Cauchy积分公式，它是复变函数论的根本定理和基本公式，也是解析函数实际的重要实际根底之一出版社 理工分社复变函数与积分变换页 3.1复变函数的积分3.1.1复变函数积分的定义设C为复平面上一条光滑(或分段光滑)的简单曲线，假设C为闭曲线，称C为一条围线，并规定其逆时针方向为围线的正方向，顺时针方向为围线的负方向，假设C不为闭曲线，它的两个端点分别为A和B，那么可经过指定起点和终点来确定方向，假设把从A到B的方向作为C的

2、正方向，那么从B到A的方向就是C的负方向，把这种规定了方向的曲线称为有向曲线，当有向曲线取正方向时用C表示，取负方向时用 表示.出版社 理工分社复变函数与积分变换页定义3.1设C:z=z(t)(t)是 上的以A=z()为起点,B=z()为终点的有向光滑(或分段光滑)的曲线,f(z)沿C有定义顺着C从A到B的方向在C上取分点将曲线C分成假设干个小弧段图3.1，在每个小弧段 (k=1,2,n)上任取一点k，作和式出版社 理工分社复变函数与积分变换页 图3.1出版社 理工分社复变函数与积分变换页其中 记为一切小弧段 的弧长的最大者，当分点无限增多且0时，不论对C的分法如何，也不论对k的取法如何，和式

3、Sn的极限都存在且等于J，那么称f(z)沿C从A到B可积，而称J为f(z)沿C从A到B的积分，记为C称为积分途径，f(z)称为被积函数，f(z)dz 称为积分表达式出版社 理工分社复变函数与积分变换页式(3.1)表示f(z)沿C的正方向(即从A到B)的积分，而 表示f(z)沿C的负方向(即从B到A)的积分假设J存在，我们普通不能把J写成 的方式，由于J的值不仅与A,B有关，而且与积分途径C有关当C为闭曲线时,我们用记号 表示f(z)沿此闭曲线C的积分显然，当C为x轴上的区间，f(z)为实变函数f(x)时，上面定义的积分即为定积分.出版社 理工分社复变函数与积分变换页例3.1设C是平面上以a为起

4、点、b为终点的分段光滑曲线，求复积分 和 的值解依定义又出版社 理工分社复变函数与积分变换页另一方面于是即出版社 理工分社复变函数与积分变换页3.1.2积分的存在性与计算定理3.1设f(z)=u(x,y)+iv(x,y)沿逐段光滑曲线C延续,那么f(z)沿C可积,并且有证明设 那么有出版社 理工分社复变函数与积分变换页当分点无限增多且一切小弧段长度的最大值0时，由u(x,y)及v(x,y)的延续性可知式3.2左端实部和虚部的极限存在，故 的极限存在且证毕.由定理3.1并结合微积分中第二型曲线积分的参数计算法，可得复变函数积分的参数计算公式.出版社 理工分社复变函数与积分变换页定理3.2设f(z

5、)沿逐段光滑曲线C:z=z(t)=x(t)+iy(t)(t)延续,那么证明由微积分中曲线积分的计算可得出版社 理工分社复变函数与积分变换页于是证毕.出版社 理工分社复变函数与积分变换页例3.2求复积分 其中C:|za|=r(n为整数)解由于C:(02)，那么由(3.3)，有这是一个重要且常用的积分出版社 理工分社复变函数与积分变换页3.1.3复积分的根本性质设f(z)、g(z)均在逐段光滑曲线C上延续,由积分定义可推出以下性质.其中,为常数;图3.2;(3)设曲线C由曲线C1,C2首尾相衔接而成图3.3，那么4其中M是|f(z)|在C上的上界，L表示曲线C的长度.出版社 理工分社复变函数与积分

6、变换页 图3.2 图3.3出版社 理工分社复变函数与积分变换页例3.3设C是圆|z|=2上由2到2i且位于第一象限的圆弧图3.4，那么证首先我们留意到当zC时，即|z|=2，有出版社 理工分社复变函数与积分变换页因此，当zC时，记M=又C的长度L=，故由性质4即得结论 图3.4出版社 理工分社复变函数与积分变换页例3.4设 表示半圆盘：z=(0)图3.5，表示满足 1的那个分枝，试证证设 z=(0,R1)，那么z=R1，且出版社 理工分社复变函数与积分变换页于是当z 时，,其中 ；又 的长度L=R，故得证 图3.5出版社 理工分社复变函数与积分变换页例3.5计算积分(1)2)，其中积分途径C为

7、从原点到1+i的直线段；从原点到1的直线段，再从1到1+i的直线段图3.6解积分途径C的方程为z=z(t)=t+it=t(1+i),0t1.故出版社 理工分社复变函数与积分变换页如图3.6所示，此时C=C1+C2，其中C1,C2的方程分别为 故 图3.6出版社 理工分社复变函数与积分变换页 3.2Cauchy积分定理3.2.1单连通区域上的Cauchy积分定理下面的结论，常称为Cauchy积分定理定理3.3设D是z平面上的单连通区域，C为D内的恣意一条围线，f(z)在D内解析，那么即积分与途径无关.这个定理的证明较为复杂，故略去此证明.出版社 理工分社复变函数与积分变换页假设将定理3.3的条件

8、加强为“f(z)在D内延续，那么定理的证明就变得简单，现实上，设z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，由f(z)在D内解析,可得由f(z)在D内延续，可知 均在D内延续，进而由Green公式可得出版社 理工分社复变函数与积分变换页其中 是以C为边境的闭区域，再由定理3.1得单连通区域上的Cauchy积分定理还可进一步推行如下：出版社 理工分社复变函数与积分变换页定理3.4单连通区域上的Cauchy积分定理的普通方式设C是一条围线，D为C围成的内部，f(z)在D内解析，在 上延续，那么设D是z平面上的单连通区域，f(z)在D内解析，那么由Cauchy积分定理可知变动上限的函数在D

9、内与积分途径无关，所以在D内F(z)可视为z的函数.出版社 理工分社复变函数与积分变换页定理3.5对于单连通区域D内解析的函数f(z)，由式(3.4)所定义的F(z)在D内解析，并且证明只需证明 zD，有F(z)=f(z)即可由f(z)在D内的延续性，对 0，可取0充分小，使得 ,并且对 ，有出版社 理工分社复变函数与积分变换页设 ，由于积分与途径无关，那么其中从z到z+z的积分途径可选择为直线段图3.7 图3.7出版社 理工分社复变函数与积分变换页又由于 于是当0z0,使得 记C之长度为L，又记 ，易知d0，于是对 C,取z，并满足 图3.11，那么 故出版社 理工分社复变函数与积分变换页由

10、此得 图3.11出版社 理工分社复变函数与积分变换页例3.11计算积分解由于 在全平面上解析，由Cauchy导数公式得函数 内有一个奇点z=1，由Cauchy导数公式得运用Cauchy导数公式可得出解析函数的无穷可微性.出版社 理工分社复变函数与积分变换页定理3.12设f(z)在复平面上的区域D内解析，那么f(z)在D内有各阶导数，且它们均在D内解析借助解析函数的无穷可微性，可得到描写解析函数的第二个等价命题.定理3.13函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域D内解析的充要条件是 在D内延续；u(x,y),v(x,y)在D内满足C.-R.条件。出版社 理工分社复变函数与积分变换页3.

11、3.3Cauchy不等式与Liouville定理定理3.14Cauchy不等式设f(z)在 内解析，在 内延续，记 ，那么出版社 理工分社复变函数与积分变换页证由定理3.11于是由Cauchy不等式，即得下面的Liouville定理.出版社 理工分社复变函数与积分变换页定理3.15(Liouville定理)有界整函数必是常数证由条件存在M0，使得对恣意aC，有f(a)M，且对恣意正实数R0，f(z)在 内解析，由Cauchy不等式有即对恣意a ，f(a)=0，故f(z)恒为常数.出版社 理工分社复变函数与积分变换页运用Liouville定理，可以很容易证明下面的代数学根本定理代数学根本定理设

12、上的n次多项式，那么 在 上至少有一个零点证用反证法：设 那么f(z)是整函数由出版社 理工分社复变函数与积分变换页3.3.4Morera定理定理3.16(Morera定理)设f(z)在单连通区域D内延续，假设对D内恣意围线C，Cf(z)dz=0，那么f(z)在D内解析证由定理3.6可知在D内解析，且F(z)=f(z)(zD)，再由定理3.12知f(z)在D内解析出版社 理工分社复变函数与积分变换页由此我们可得到描写解析函数的第三个等价命题.定理3.17函数f(z)在区域D内解析的充要条件是f(z)在区域D内延续；对恣意围线C，只需C及其内部均含于D内，就有 出版社 理工分社复变函数与积分变换

13、页 3.4解析函数与调和函数的关系我们曾经知道，区域 内的解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)，其实部u(x,y)和虚部v(x,y)在D内有延续的偏导数，且满足C.-R.条件又由解析函数的无穷可微性知道，u(x,y)和v(x,y)在D内有恣意阶延续的偏导数，且由式(3.8)可得在数学上把具有这种性质的函数称作调和函数.出版社 理工分社复变函数与积分变换页定义3.4在区域D内有二阶延续编导数的二元函数H(x,y)称作区域D内的调和函数，假设H(x,y)在区域D内满足Laplace方程H(x,y)=0，其中 称作Laplace算子定义3.5假设在区域D内两个调和函数u和v满足C.-R.条

14、件式3.8，那么称v是u的共轭调和函数定理3.18设f(z)=u+iv是区域D内的解析函数，那么v是u的共轭调和函数.出版社 理工分社复变函数与积分变换页普通来说，对区域D内的调和函数u，其共轭调和函数不一定存在，但当D为单连通区域时，D内调和函数u的共轭调和函数v一定存在，且f(z)=u+iv在区域D内解析.一个自然的问题是：给定单连通区域D内的调和函数u或v，如何确定区域D内的解析函数f(z)，使得Re f(z)=u(或Im f(z)=v)？出版社 理工分社复变函数与积分变换页例3.12知 ，证明u(x,y)为调和函数并求以u(x,y)为实部的解析函数f(z)，使得f(0)=i解由 可得于

15、是有 ，即u(x,y)为调和函数出版社 理工分社复变函数与积分变换页下面用三种不同的方法来求以u(x,y)为实部的解析函数f(z)，为此，只需求出u的共轭调和函数v即可方法1:偏微分法普通原理：知u为区域 内某解析函数f(z)的实部,由C.-R.条件，可得再由 ，得 于是从而得以u(x,y)为实部的解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)出版社 理工分社复变函数与积分变换页例如：由 ,可得，再由 ，得3y2+g(x)=3由f(0)=i,得c=1，由此得所求解析函数为出版社 理工分社复变函数与积分变换页方法2：线积分法普通原理：设u为区域 内的解析函数f(z)的实部，由于u为调和函数，那么

16、 即 由此可知 必为某一个二元函数v的全微分：于是有 ,从而u+iv必为一解析函数，而其中c为常数，为D内某一点.出版社 理工分社复变函数与积分变换页例如：，由全微分定义及C.-R.条件可得那么然后由方法1可得出版社 理工分社复变函数与积分变换页方法3：不定积分法普通原理：解析函数的无穷可微性通知我们，解析函数f(z)=u(x,y)+iv(x,y)的导函数f(z)仍是解析函数，假设知调和函数u，那么由导函数公式，可得f(z)的实部 与虚部 并且可把f(z)复原成z的函数，即有 于是有其中c为纯虚常数出版社 理工分社复变函数与积分变换页例如：由 可得故 由f(0)=i,得c=1，由此得所求解析函

17、数为出版社 理工分社复变函数与积分变换页 习题31.沿以下道路计算积分 .1自原点到3+i的直线段；2自原点沿实轴至3，再由3沿垂直向上至3+i；3自原点沿虚轴至i，再由i沿程度方向右至3+i.2分别沿y=x与 算出积分 的值.3.计算积分 其中C是一条闭路，由直线段：1x1，y=0与上半单位圆周组成.出版社 理工分社复变函数与积分变换页4证明以下不等式1 其中C是从i到i的直线段；2 其中C是从i到i的右半圆周.5.设f(z)在单连通区域D内解析，C为D内任何一条正向简单闭曲线，问能否成立，假设成立，给出证明；假设不成立，举例阐明.出版社 理工分社复变函数与积分变换页6.利用在单位圆上 的性

18、质及柯西积分公式阐明 ，其中C阐明单位圆周 =1,且沿正向积分.7.计算积分 的值，其中C为正向圆周：8.直接得到以下积分的结果，并阐明理由.出版社 理工分社复变函数与积分变换页9.沿指定曲线的正向计算以下各积分.出版社 理工分社复变函数与积分变换页出版社 理工分社复变函数与积分变换页10.设C为不经过a与-a的正向简单闭曲线，a为不等于零的任何复数，试就a与-a同C的各种不同位置，计算积分 11.设f(z)与g(z)在区域D内处处解析，C为D内任何一条简单光滑闭曲线，它的内部全属于D。假设f(z)=g(z)在C上一切点都成立，试证在C的内部一切点处f(z)=g(z)也成立.12.验证以下函数

19、是调和函数，并求出以z=x+iy为自变量的解析函数w=f(z)=u+iv.出版社 理工分社复变函数与积分变换页13.设u为区域D中的调和函数及 能否是D内解析函数？为什么？14.函数v=x+y是u=x+y的共轭调和函数吗？为什么？15.假设f(z)=u+iv是一解析函数，试证：1 也是解析函数；2-u是v的共轭调和函数.16证明 都是调和函数，但u+iv不是解析函数.出版社 理工分社复变函数与积分变换页17假设f(z)=u+iv是z的解析函数，证明：18.证明：假设f(z)在单位圆|z|1内解析，f(z)11|z|，那么19.设f(z)在 单连通区域D内解析，且不为零，C为D内任何一条简单光滑闭曲线，问积分 能否为零？为什么？