概率统计课件

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1、 四川大学数学学院 李洪恒概率统计是研究什么的客观世界中发生的现象客观世界中发生的现象 确定性的在一定条件下必然发生的现象 随机性的在一定条件下，具有多种可能的结果，但事先又不能预知确切的结果1)拋掷一枚硬币，其结果可能是国徽面朝上，也可能是国徽面朝下，并且在拋掷之前无法预知拋掷的结果。2)足球比赛，其结果可能是胜、平、负，但在比赛之前无法预知其结果。3)投掷一个骰子，其结果有6种，即可能出现1,2,3,4,5,6点，但每次投掷之前是无法预知投掷的结果的。4)股市的变化。经典的数学理论如微积分学、微分方程等都是研究确定性现象的有力的数学工具。对于某些随机现象，虽然对个别试验来说，无法预言其结果

2、，但在相同的条件下，进行大量的重复试验或观察时，却又呈现出某些规律性（如拋掷硬币）。随着社会生产与科学技术的发展，研究随机现象的统计规律性的理论和方法获得了迅速的发展，形成了数学的一个重要分支，并被广泛应用于工业、农业、军事、科技、经济等领域。概率统计研究和揭示随机现象统计规律性的学科 应用范围广泛。例如：气象预报、水文预报、地震预报、产品质量检验与 质量控制、产品的可靠性评估、产品的寿命分析、生物统计、卫生统计、金融、信贷、医疗保险等行业策略制定等各个方面。经典数学与概率论与数理统计是相辅相成，互相渗透的。第一章第一章 随机事件及概率随机事件及概率 随机事件及其运算随机事件及其运算 频率与概

3、率频率与概率 等可能概型等可能概型(古典概型古典概型)条件概率条件概率 事件的独立性事件的独立性 1.1随机事件及运算随机事件及运算一、随机试验（简称一、随机试验（简称“试验试验”）1.随机试验的特点(1)试验可以在相同条件下大量重复进行；(2)每次试验的可能结果不止一个，并且事先可以知道试验所有可能的结果；(3)进行一次试验之前不能确定出现的是哪个结果，但若进行大量重复试验的话，其可能结果的出现又有一定的统计规律性。满足上述特点的试验称为随机试验随机试验，一般记为E。E1：拋掷一枚质地均匀的硬币，观察正面和反面出现的情况；E2：掷一颗质地均匀的骰子，观察其出现的点数；E3：记录某网站一分钟内

4、受到的点击次数；E4：在某高楼上任意掷下一朵玫瑰花，观察其在地面上的位置；E5：从某品牌的电视机中任取一台，观察其使用寿命。随机试验的例子随机试验二、样本空间二、样本空间 1、样本空间：由随机试验的一切可能的结果由随机试验的一切可能的结果组成的一个集合组成的一个集合称为试验E样本空间，记为；2、样本点：试验的每一个可能的结果试验的每一个可能的结果（或样本空间的元素）称为一个样本点，记为。试给出试给出E1E5的样本空间的样本空间幻灯片9三、随机事件三、随机事件例例1.11.1 将一颗骰子连掷两次，依次记录所得点数，则所有可能出现的结果即该试验的样本空间是：)6,6()2,6()1,6()6,2(

5、)2,2()1,2()6,1()2,1()1,1(其中有36个可能的结果，即36个样本点。每做一次试验，这36个样本点必有一个且仅有一个出现。在很多时候，我们是对样本空间中某些子集（满足某种条件的子集）感兴趣，称之为事件。如事件A：两次投掷所得点数之和为8。事件B：两次投掷所得点数相等。A发生(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)记作：A=(2,6),(3,5),(4,4),(5,3),(6,2)，A是的子集。类似地，B=(1,1),(2,2),(6,6)，B也是的子集。1、随机事件、随机事件随机试验E的样本空间的子集为E的随机事件，简称事件。通常用大写字母A、B、C表示。

6、任何事件均可表示为样本空间的某个子集任何事件均可表示为样本空间的某个子集.称事件事件A发生发生当且仅当试验的结果是子集A中的元素。特殊地，当一个事件仅包含的一个样本点时，称该事件为基本事件基本事件(或简单事件)。2、两个特殊事件、两个特殊事件 必然事件必然事件 包含所有的样本点，是自身的子集，每次试验它总是发生的，称为必然事件。不可能事件不可能事件 空集不包含任何样本点，它是 的子集，每次试验总是不发生，称为不可能事件。课堂练习：从通常的一副52张扑克牌中抽取一张，在下列情况下描述样本空间：(1)不考虑牌的花色；(2)考虑牌的花色。)13,4()2,4()1,4()13,3()2,3()1,3

7、()13,2()2,2()1,2()13,1()2,1()1,1(解解：(1)如果不考虑整套牌的花色，样本空间包含可由牌点A，二点，十点，J，Q，K组成，即可表示为=1,2,13。(2)如果考虑整套牌，样本空间包含S，H，D，C的A，一直到S，H，D，C的K。如果用1,2,3,4分别表示黑、红、方、草，则黑桃J可写成(11,1)，样本空间有52个样本点：四、事件之间的关系四、事件之间的关系事件可以用文字表示，事件也可以表示为样本空间的子集，后者反映了事件的实质，且更便于今后计算概率。还应注意，同一样本空间中，不同的事件之间有一定的关系，事件之间的关系是由他们所包含的样本点所决定的，这种关系可以

8、用集合之间的关系来描述。例例1.2 1.2 袋中装有2只白球和1只黑球。从袋中依次任意地摸出2只球。设球是编号的：白球为1号、2号，黑球为3号。(i,j)表示第一次摸得i号球，第二次摸得j号球的基本事件，则这一试验的样本空间为：=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3),(3,1),(3,2)而且可得到下列随机事件A=(3,1),(3,2)=第一次摸得黑球；B=(1,2),(1,3),(2,1),(2,3)=第一次摸得白球；C=(1,2),(2,1)=两次都摸得白球；D=(1,3),(2,3)=第一次摸得白球，第二次摸得黑球；G=(1,2),(2,1)=没有摸到黑球。返回1.事件的包含与

9、相等事件的包含与相等“A发生必导致B发生”，即A中的样本点一定属于B，记为AB，也称A是B的子事件。A与B两个事件相等：AB AB且BA。例例1.21.2ABAB2n个事件个事件A1,A2,An至少有一个发生，记作至少有一个发生，记作iniA12”可列个事件可列个事件A1,A2,An 至少有一个发生，记至少有一个发生，记作作inA13.积事件积事件:A与与B同时发生，记作同时发生，记作 ABAB3n个事件个事件A1,A2,An同时发生，记作同时发生，记作nniiAAAA2113”可列个事件可列个事件A1,A2,An,同时发生，记作同时发生，记作nniAAAA2114.差事件差事件：AB称为称为

10、A与与B的差事件的差事件,表示事件表示事件A发生而发生而B不发生，不发生，它是由属于它是由属于A而不属于而不属于B的样本点所构成的事件。的样本点所构成的事件。思考：何时思考：何时A-B=?何时何时A-B=A？例1.2中 B=CDC=BCD=B-C例1.25.互互斥的事件斥的事件：AB=,指事件指事件A与与B不能同时发生。又不能同时发生。又称称A与与B互不相容。互不相容。基本事件是基本事件是两两互不相容的两两互不相容的例1.2中：AB=AC=6.互逆的互逆的事件事件 AB ,且且AB BABAAAB易见的对立事件，称为记作;A与与B对立：对立：事件事件A与与B既不能同既不能同时发生，又不能同时时

11、发生，又不能同时不发生。即在每次试不发生。即在每次试验中，验中，A与与B有且仅有且仅有一个发生。有一个发生。对立事件必为互不相容事件；对立事件必为互不相容事件；互不相容事件未必为对立事件。互不相容事件未必为对立事件。五、事件的运算五、事件的运算1、交换律：、交换律：ABBA，ABBA2、结合律结合律：(AB)CA(BC)，(AB)CA(BC)3、分配律分配律：(AB)C(AC)(BC)，(AB)C(AC)(BC)4、对偶对偶(De Morgan)律律：.,kkkkkkkkAAAABAABBABA可推广例例1.3 1.3 甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，以甲、乙、丙三人各向目标射击一发子弹，

12、以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目标，试用分别表示甲、乙、丙命中目标，试用A、B、C的的运算关系表示下列事件：运算关系表示下列事件：:654321“三人均未命中目标”“三人均命中目标”“最多有一人命中目标“恰有两人命中目标”“恰有一人命中目标”“至少有一人命中目标AAAAAACBACBACBACBACBABCACABBACACBABCCBA例1.4 试求事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”的对立事件。解 设A表示事件“甲种产品畅销”，B表示事件“乙种产品畅销”，则由题意，事件“甲种产品滞销，且乙种产品畅销”表示为：BA BABABA因此对立事件为：即所求对立事件为：“甲种产品畅销或乙种产品滞

13、销”。1.2 频率与概率频率与概率 一、频率定义1.设在相同的条件下，进行了n次试验。若随机事件A在这n次试验中发生了nA次,则比值nnA称为事件A在这n次试验中发生的频率，记作fn(A)，即fn(A)=nnA频率具有如下的性质频率具有如下的性质(1)对任一事件对任一事件A，0 fn(A)1；(2)对必然事件对必然事件，fn()1；而而 fn()=0(3）有限有限可加性：若事件可加性：若事件A、B互不相容，即互不相容，即AB，则则 fn(AB)fn(A)fn(B)。一般地，若事件一般地，若事件A1，A2，An两两互不相容，两两互不相容，则则niinninAfAf11)(例子 工厂生产了n个零件

14、，Ai表示：“第i个零件是正品”试以符号表示下列事件：2，至少有一个是次品；3，有且仅有一个零件是次品。1，n个零件全是正品；niiA1niiniiAA11ninikkkiAA1,1)(事件A发生的频率表示A发生的频繁程度，频率越大，事件A发生得越频繁，即在一次试验中发生的可能性越大。历史上曾有人做过试验，著名的统计学家摩根、蒲丰和皮尔逊进行了大量的抛掷均匀硬币的试验，试图证明出现正反面的机会均等。实验者实验者 n nH fn(H)De Morgan 2048 1061 0.5181 Buffon 4040 2048 0.5069K.Pearson 12000 6019 0.5016K.Pea

15、rson 24000 12012 0.5005二.概率的公理化定义实践证明：当试验次数实践证明：当试验次数n增大时，增大时，随机事随机事件件A的频率的频率fn(A)逐渐趋向一个稳定值逐渐趋向一个稳定值。这是随机现象固有的性质，即频率的稳这是随机现象固有的性质，即频率的稳定性，也就是我们所说的随机现象的统定性，也就是我们所说的随机现象的统计规律性。计规律性。从直观上来看，事件从直观上来看，事件A A的概率是指事件的概率是指事件A A发发生的可能性生的可能性P（A A）应具有何种性质？应具有何种性质？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？抛一枚硬币，币值面向上的概率为多少？掷一颗骰子，出现掷一颗骰子

16、，出现6 6点的概率为多少？点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？出现单数点的概率为多少？向目标射击，命中目标的概率有多大？向目标射击，命中目标的概率有多大？1933年，前苏联数学家年，前苏联数学家柯尔莫哥洛夫给出了概率柯尔莫哥洛夫给出了概率的的公理化定义公理化定义。下面先从概率的统计定义出发，下面先从概率的统计定义出发，得到概率的公理化定义。得到概率的公理化定义。1、概率的统计定义、概率的统计定义设随机事件A在n次重复试验中发生的次数为nA，若当试验次数n很大时，频率nA/n稳定地在某一数值p的附近摆动，且随着试验次数n的增加，其摆动的幅度越来越小，则称数p为随机事件A的概率，记为P(A)

17、=p。由定义，显然有0P(A)1,P()=1，P()=0。设E是随机试验，是它的样本空间，对于E的每一个事件A，赋予一个实数P(A)与之对应，如果集合函数P()具有如下性质：非负性：对任意一个事件A，均有P(A)0；规范性：P()=1；可列可加性：若A1，A2，An，是两两互不相容的事件序列，即AiAj=(ij,i,j=1,2,)，有P(A1A2An)=P(A1)+P(A2)+P(An)+则称P(A)为事件A的概率。2、概率的公理化定义、概率的公理化定义3、概率的性质、概率的性质 不可能事件的概率为零，即P()=0；概率具有，即若事件A1，A2，An两两互不相容，则必有P(A1A2An)=P(

18、A1)+P(A2)+P(An)设A，B是两个事件，则P(A-B)=P(A)-P(AB)特别地，若AB，则AB=B，有P(A-B)=P(A)-P(B)，且P(A)P(B)，此性质称为。)(1)(APAP对任一事件A，有对任意两个事件A，B，有P(AB)=P(A)+P(B)-P(AB)可推广(参见P.8（1.6）式）对任意两事件A，B，有)()()(BAPABPAP证明（加法公式）：BBA)(BBA)()(BABA AAB)()(BAB且)()()(BAPBPAP)()(0)(BPAPBAP证明（单调不减性）：),(ABBABA)(ABBAAABABA)(BAB)(ABBP)()(ABPBP)()

19、()()()()(ABPBPAPABBPAPBAPn个事件并的多除少补公式个事件并的多除少补公式特别地，特别地，n=3时时)()()()()()()()(321323121321321AAAPAAPAAPAAPAPAPAPAAAP niiiiiinkknllkkAAAPAP21211111)()1(J P.8（1.2.2）式 例例1.51.5 某人外出旅游两天，据天气预报，第一天降水概率为0.6，第二天为0.3，两天都降水的概率为0.1，试求：(1)“第一天下雨而第二天不下雨”的概率P(B)，(2)“第一天不下雨而第二天下雨”的概率P(C)，(3)“至少有一天下雨”的概率P(D)，(4)“两天

20、都不下雨”的概率P(E)，(5)“至少有一天不下雨”的概率P(F)。解解 设Ai表示事件“第i天下雨”，i=1，2，由题意P(A1)=0.6，P(A2)=0.3，P(A1 A2)=0.1(1)2112121AAAAAAAB且121AAA可得5.01.06.0)()()()(211211AAPAPAAAPBP（2）2.01.03.0)()()()(212212AAPAPAAAPCP（3）21AAD)()()()()(212121AAPAPAPAAPDP=0.6+0.3-0.1=0.8（4）2121AAAAE2.08.01)(1)()(2121AAPAAPEP（5）9.01.01)(1)()(21

21、21AAPAAPFP1.3 等可能概型（古典概型）等可能概型（古典概型）一、古典概型的定义一、古典概型的定义设随机设随机实验实验E满足下列条件满足下列条件1.有限性：试验的样本空间只有有限个样本点，即有限性：试验的样本空间只有有限个样本点，即 e1,e 2 ,e n;2.等可能性：每个样本点的发生是等可能的，即等可能性：每个样本点的发生是等可能的，即P(e1)=P(e2)=P(en)。则称此试验则称此试验E为古典概型，也叫为古典概型，也叫等可能等可能概型。概型。定理1.3.1 古典概型中，设事件A中所含样本点个数为N(A)，以N()记样本空间中样本点总数，则有)()()(NANAAP中样本点的

22、个数所包含的样本点的个数P(A)具有如下性质：(1)0 P(A)1；(2)P()1；P()=0；(3)AB，则P(AB)P(A)P(B)。古典概型中的概率古典概型中的概率：)()()(NANAAP中基本事件总数所包含的基本事件数或解解设设A-至少有一个男孩至少有一个男孩,以以H表示某个孩子是男孩，表示某个孩子是男孩，T表示某个孩子是女孩。表示某个孩子是女孩。N(S)=)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT,TTT N(A)=)=HHH,HHT,HTH,THH,HTT,TTH,THT 87)()()(NANAP例例1.61.6 有三个子女的家庭有三个子女的家庭,设每个孩子是男

23、是女的概设每个孩子是男是女的概率相等率相等,则至少有一个男孩的概率是多少则至少有一个男孩的概率是多少?例1.7 在盒子里有10个相同的球，分别标上号码1，2，10。从中任取一球，求此球的号码为偶数的概率。解 设m表示所取的球的号码为m(m=1,2,10)，则试验的样本空间为=1,2,10，因此基本事件总数n=10。又设A表示“所取的球号码为偶数”这一事件，则A=2,4,6,8,10，所以A中含有k=5个样本点，故 5.0105)(nkAP乘法公式乘法公式设完成一件事需分两步，第一步有n1种方法,第二步有n2种方法，则完成这件事共有n1n2种方法复习：排列与组合的基本概念复习：排列与组合的基本概

24、念加法公式加法公式设完成一件事可有两种途径，第一种途径有n1种方法，第二种途径有n2种方法，则完成这件事共有n1+n2种方法。有重复排列：有放回抽取时计算样本点数目有重复排列：有放回抽取时计算样本点数目的方法的方法从含有n个元素的集合中随机抽取k次，每次取一个，记录其结果后放回，将记录结果排成一列，nnnn共有nk种排列方式.无重复排列：不放回抽取时计算样本点数目的方法无重复排列：不放回抽取时计算样本点数目的方法从含有从含有n个元素的集合中随机抽取个元素的集合中随机抽取k次，每次取一次，每次取一个，取后不放回，将所取元素排成一列，个，取后不放回，将所取元素排成一列，共有共有Pnk=n(n-1)

25、-1)(n-k+1)+1)种排列方式种排列方式.n n-1-1 n-2-2n-k+1+1组组 合合从含有n个元素的集合中随机抽取k个，共有种取法.)!(!knknkPknCknkn二、古典概型的基本类型举例 古典概率的计算关键在于计算基本事件总数和所求事件包含的基本事件数。由于样本空间的设计可由各种不同的方法，因此古典概率的计算就变得五花八门、纷繁多样。在计算时应注意采取相应的方法。若直接计算不易，可以考虑它的补集，即对立事件的概率。例1.8 设盒中有3个白球，2个红球，现从盒中任抽2个球，求取到一红球一白球的概率。解 设A取到一红球一白球25)(CN1213)(CCAN53)(251213C

26、CCAP答:取到一红一白的概率为3/5。一般地，设盒中有N个球，其中有M个白球，现从中任抽n个球，则这n个球中恰有k个白球的概率是nkCCCkXPnNknMNkM,2,1,)(（这是服从超几何分布的随机变量的具体例子，参见书P35-36）解 试验E：从m+n球中取出r+s个，每r+s个球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为设事件A：“所取的球中恰好有r个白球和s个黑球”，总共有多少个基本事件呢？srnmCsnrmCC所以，事件A发生的概率为srnmsnrmCCCAP)(例1.9 某箱中装有m+n个球，其中m个白球，n个黑球。(1)从中任意抽取r+s个球，试求所取的球中恰好有r个白球和s个

27、黑球的概率；(2)从中任意接连取出k+1(k+1m+n)个球，如果每一个球取出后不还原，试求最后取出的球是白球的概率。解 试验E：从m+n球中接连地不放回地取出k+1个球每k+1个排好的球构成E的一个基本事件，不同的基本事件总数为1knmP设事件B：“第k+1个取出的球是白球”，由于第k+1个球是白球，可先从m个白球中取一个留下来作为第k+1个球，一共有其余k个球可以是余下的m+n-1个球中任意k个球的排列，总数为mCm1种保留下来的取法，knmP1事件B所包含的基本事件总数为knmmP1所以最后所取的球是白球的概率为11)(knmknmPmPBP)11()1)()11()2)(1(knmnm

28、nmknmnmnmmnmm注：P(B)与k无关，即不论是第几次抽取，抽到白球的概率均为nmm在实际中，有许多问题的结构形式与抽球在实际中，有许多问题的结构形式与抽球问题相同，把一堆事物分成两类，从中随机地问题相同，把一堆事物分成两类，从中随机地抽取若干个或不放回地抽若干次，每次抽一个抽取若干个或不放回地抽若干次，每次抽一个，求，求“被抽出的若干个事物满足一定要求被抽出的若干个事物满足一定要求”的的概率。如产品的检验、疾病的抽查、农作物的概率。如产品的检验、疾病的抽查、农作物的选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择选种等问题均可化为随机抽球问题。我们选择抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突

29、抽球模型的目的在于是问题的数学意义更加突出，而不必过多的交代实际背景。出，而不必过多的交代实际背景。解 设A：每盒恰有一球，B：空一盒33)(N!3)(AN92)(AP例1.10将3个球随机的放入3个盒子中去，问：（1）每盒恰有一球的概率是多少？（2）空一盒的概率是多少？（球i可放入三个盒子中任意一个；）（每一个盒子从球中恰好选出一个放入；）329233131)(全有球空两合PPBP有两个盒子为空的事件，即三个球均放入同一个盒子，故有三种取法。一般地，把一般地，把n个个球随机地分配到球随机地分配到N个盒子中个盒子中去去(n N)，则每盒至多则每盒至多有一有一球的概率是：球的概率是：nnNNPP

30、 计算事件样本点的方法：无放回抽取例1.11 设有n个颜色互不相同的球，每个球都以概率1/N落在N(nN)个盒子中的每一个盒子里，且每个盒子能容纳的球数是没有限制的，试求下列事件的概率：A=某指定的一个盒子中没有球B=某指定的n个盒子中各有一个球C=恰有n个盒子中各有一个球D=某指定的一个盒子中恰有m个球(mn)解 把n个球随机地分配到N个盒子中去(nN),总共有Nn种放法。即基本事件总数为Nn。事件A：指定的盒子中不能放球，因此，n个球中的每一个球可以并且只可以放入其余的N-1个盒子中。总共有(N1)n种放法。因此nnNNAP)1()(事件B：指定的n个盒子中，每个盒子中各放一球，共有n!种

31、放法，因此 nNnBP!)(事件C：恰有n个盒子，其中各有一球，即N个盒子中任选出n个，选取的种数为CNn在这n个盒子中各分配一个球，n个盒中各有1球(同上)，n!种放法；事件C的样本点总数为!nCnN事件D：指定的盒子中，恰好有m个球，这m个球可从n个球中任意选取，共有Cnm种选法，而其余n-m个球可以任意分配到其余的N-1个盒子中去，共有(N-1)n-m种，所以事件D所包含的样本点总数为Cnm(N-1)n-m)(!)(nnNnnNNPNnCCP)111()1()(mnmmnnmnmnNNCNNCDP某班级有某班级有n 个人个人(n 365)，问至少有两个人的生日在同一天问至少有两个人的生日

32、在同一天的概率有多大？的概率有多大？分球入盒问题，或称球在盒中的分布问题。有些实际问题可以归结为分球入盒问题，只是须分清问题中的“球”与“盒”，不可弄错。(1)生日问题：n个人的生日的可能情况，相当于n个球放入N=365个盒子中的可能情况(设一年365天)；(2)旅客下车问题(电梯问题)：一列火车中有n名旅客，它在N个站上都停车，旅客下车的各种可能场合，相当于n个球分到N个盒子：旅客：“球”，站：“盒子”；(3)住房分配问题：n个人被分配到N个房间中；(4)印刷错误问题：n个印刷错误在一本具有N页书的一切可能的分布，错误球，页盒子。提示：提示：考虑考虑对立对立事件事件例1.12 个零件中有只次

33、品，从中取出个检查，求：（1）取出的个中至少有一个次品的概率；（2）需检查多少个零件，才能使发现至少一个次品的概率超过？超过？)21()(orXXPAP)2()1(XPXP解（）（）设此事件为A，则51003982249812CCCCC99097或计算对立事或计算对立事件：件：“没有次没有次品品”的概率。的概率。)(1)(APAP9909715100598CC5.0110098nnCC解（2）此事件仍记为A，则)(1)(APAP16930n例1.13 从双不同的鞋子中任取（2）只,(1)求：没有成对的鞋子的概率；(2)求：只有一对鞋子的概率；(3)求：恰有两对鞋子的概率。（4）求D：恰有对鞋子

34、的概率解(1)A:从n双中取出2k对，再从每对中取出一只：knkknCCCAP222122)()(解(2)B:从n双中取出一双，接下来的过程同A：knkknnCCCCBP2222122211)()(解(3)（4）与B类似:knkknnCCCCCP2242124222)()(knknCCDP22)(三、几何概率样本空间有无穷多个样本点，落于任一样本点的概率相同。例如：在区间0，1中任取一点，求其值小于1/3的概率。再例如：将针掷于单位圆中。求其与圆心的距离不超过1/2的概率（只与0，1/3的长度有关）（只与面积有关）几何概率（定义1.3.1）为欧氏空间的有限区域，m（）为的度量（长度、面积、体积

35、等）可度量，则称AA,)()()(mAmAP为A发生的概率，称几何概率。例：在一段时间T内的任何瞬间，二信号等可能地进入收音机，若间隔小于2，则受到干扰。求会受到干扰的概率。解：设二信号分别在x，y时刻进入收音机，则,0,0),(TyTxyx2,),(),(yxyxyxA222)2()(TTTAP2)21(1T例：长度为1的线段在任两点处折成三段，求可以构成三角形的概率。解：设折成的三段分别为x，y，1-x-y。:可构成三角形A,1yxyx,)1(yyxx,)1(xyxy.21,21,21xyyx1,0,),(YXYXYX41)(SSAPA 袋中有十只球，其中九只白球，一只红球，袋中有十只球，

36、其中九只白球，一只红球，十人依次从袋中各取一球十人依次从袋中各取一球(不放回不放回)，问，问第一个人取得红球的概率是多少？第一个人取得红球的概率是多少？第第二二 个人取得红球的概率是多少？个人取得红球的概率是多少？1.4 条件概率条件概率若已知第一个人取到的是白球，则第二个人取到红球的概率是多少？已知事件A发生的条件下，事件B发生的概率称为在事件A发生的发生的条件下事件B发生发生的条件概率，简称为B对A的条件概率，记作P(B|A)。若已知第一个人取到的是红球，则第二个人取到红球的概率又是多少？一、条件概率（定义一、条件概率（定义1.4.1)例1.14 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽

37、取两次，每次取一个，取后不放回。(1)已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率；(2)求第二次取到红球的概率；(3)求两次均取到红球的概率。解 设A第一次取到红球,B第二次取到红球41)|()1(ABP522312)()2(25PBP10112)()3(25PABP=ABA第一次取到红球,B第二次取到红球显然，若事件A、B是古典概型的样本空间中的两个事件，其中A含有nA个样本点，AB含有nAB个样本点，则AABnnABP)|(称为事件A发生的条件下事件B发生的条件概率条件概率定义 设A、B是中的两个事件，P(A)0，则)()(APABPnnnnAAB)()()|(APABPABP“条件概率

38、条件概率”是是“概率概率”吗？吗？条件概率满足概率的三个公理化条件：;0)|()1(ABP;1)()()()()|()2(BPBPBPBPAP)()()|(,2,1)3(11APABPABPiBiiiii两两互不相容，)()(1APABPii1)(nnABP)()(1BPABPii.jiABABji互不相容，与注：由（2）（3）：AABAB)()（1)()(ABPABP（计算条件概率时常用的公式）条件概率也满足概率的基本性质 条件概率的一般计算方法：(1)根据A发生以后的情况直接计算A发生的条件下，B发生的条件概率。“缩减样本空间”(2)先计算P(A)，P(AB)，再用公式)()()(APAB

39、PABP例1.15 一盒中混有100只新、旧乒乓球，各有红、白两色，分类如下表。从盒中随机取出一球，若取得的是一只红球，试求该红球是新球的概率。红白新4030旧2010设A-从盒中随机取到一只红球。B-从盒中随机取到一只新球。60An40ABn32)|(AABnnABP例1.16（可以不讲）设某人从一副扑克中(52张)任取13张，设A为“至少有一张红桃”，B为“恰有2张红桃”，C为“恰有5张方块”，求条件概率P(B|A)，P(B|C)解 135213391352135213391)(1)(CCCCCAPAP13521139213)(CCCABP1339135211392131352133913

40、5213521139213)()()(CCCCCCCCCCAPABPABP1352839513)(CCCCP1352626213513)(CCCCBCP83962621313528395131352626213513)()()(CCCCCCCCCCCPBCPCBP例1.17 某种动物出生后活到20岁的概率为0.7，活到25岁的概率为0.56，求现年为20岁的这种动物活到25岁的概率。解 设A表示事件“活到20岁以上”，B表示事件“活到25岁以上”，显然AB 7.0)(AP56.0)(BP56.0)()(BPABP8.07.056.0)()()(APABPABP设A、B、C为随机事件，P(A)0

41、，则有乘法公式乘法公式P(AB)P(A)P(B|A)或P（B）P（A|B）当P(AB)0时，上式还可推广到三个事件的情形：P(ABC)P(A)P(B|A)P(C|AB)一般地，n个随机事件A1,A2,An，且P(A1A2An-1)0,有下列公式：P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1 A2).P(An|A1An1)概率的乘法公式：乘法公式：在条件概率较易计算时使用在条件概率较易计算时使用例1.18 甲、乙、丙三人参加面试抽签，每人的试题通过不放回抽签的方式确定。假设被抽的10个试题中有4个难题签，按甲、乙、丙次序抽签，试求甲抽到难题签，甲和乙都抽到难题签，甲没抽到难题签而乙

42、抽到难题签，甲、乙、丙都抽到难题签的概率。解 设A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难题签的事件 52104)(AP15293104)()()(ABPAPABP15494106)()()(ABPAPBAP3018293104)()()()(ABCPABPAPABCP返回例1.19盒中有3个红球，2个白球，每次从袋中任取一只，观察其颜色后放回，并再放入一只与所取之球颜色相同的球，若从盒中连续取球4次,试求第1、2次取得白球、第3、4次取得红球的概率。解设Ai为第i次取球时取到白球，则)|()|()|()()(32142131214321AAAAPAAAPAAPAPAAAAP52)(1AP63)|(1

43、2AAP73)|(213AAAP84)|(3214AAAAP三、全概率公式与贝叶斯公式三、全概率公式与贝叶斯公式 在概率论中，我们经常利用已知的简单事件的概率，推算出未知的复杂事件的概率。为此，常须把一个复杂事件分解为若干个互不相容的简单事件的和，再由简单事件的概率求得最后结果。如在例1.18中，如果把甲、乙、丙抽到难题签的事件作为上述的复杂事件，则可用分解的方法计算如下：例1.18甲抽到难签的概率甲抽到难签的概率104)(AP例1.18乙抽到难签的概率，注意到乙抽到难签的概率，注意到)(BAABB)()()(BAPABPBP)()()()(ABPAPABPAP1049410693104丙抽到

44、难签的概率，注意到丙抽到难签的概率，注意到CBACBABCAABCC)()()()()(CBAPCBAPBCAPABCPCP)()()()()()()()()()()()(BACPABPAPABCPABPAPBACPABPAPABCPABPAP1048495106839610483941068293104可将此类问题推广到一般情况。设是试验E的样本空间，B1,B2,Bn是试验E的一组事件，若B1,B2,Bn满足如下两个条件：（1）B1B2Bn=，（2）B1,B2,Bn两两互不相容则称事件组B1,B2,Bn组成样本空间的一个划分；若是样本空间的一个划分，则在每次试验中，事件B1,B2,Bn必有且

45、仅有一个发生。1、样本空间的划分(P.18定义1.4.2)B1B2BnA定理1.4.1 设试验E的样本空间为，A为E的事件。设事件组B1,B2,Bn组成样本空间的一个划分，且设 P(Bk)0,(k=1,2,n),则 nkkkBAPBPAP1)|()()(此公式称为全概率公式全概率公式。2、全概率公式 例1.20商店出售的某种产品来自甲、乙、丙三厂.各占25%，25%，50%。三厂的次品率分别为0.02,0.01,0.03.任购买一件产品，求买到次品的概率？)()|()()|()()|(332211APABPAPABPAPABP0225.02103.04101.04102.0)()()()(32

46、1BAPBAPBAPBP解 设B：买到一件次品；A1：买到一件甲厂的产品；A2：买到一件乙厂的产品；A3：买到一件丙厂的产品。例例1.21 1.21 某工厂生产的产品以某工厂生产的产品以100100件为一批，假定每一批产品中的件为一批，假定每一批产品中的次品最多不超过次品最多不超过4 4件，且具有如下的概率：件，且具有如下的概率：一批产品中的次品数一批产品中的次品数 0 0 1 2 3 4 1 2 3 4概概 率率0.1 0.2 0.4 0.2 0.10.1 0.2 0.4 0.2 0.1现进行抽样检验，从每批中随机抽取现进行抽样检验，从每批中随机抽取1010件来检验，若发现其中有件来检验，若

47、发现其中有次品，则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。次品，则认为该批产品不合格。求一批产品通过检验的概率。解解 设设A表示事件表示事件“一批产品通过检验一批产品通过检验”，Bi(i=0,1,2,3,4)表示表示“一一批产品含有批产品含有i件次品件次品”，则，则B0,B1,B2,B3,B4组成样本空间的一个划组成样本空间的一个划分，分，1)(,1.0)(00BAPBP900.0)(,2.0)(10100109911CCBAPBP809.0)(,4.0)(10100109822CCBAPBP727.0)(,2.0)(10100109733CCBAPBP652.0)(,1.0)(1010

48、0109644CCBAPBP返回)()()(40kkkBAPBPAP814.0652.01.0727.02.0809.04.0900.0.021.0例例1.211.21的结果提供给人们这样的信息，即若工厂生产的结果提供给人们这样的信息，即若工厂生产了了10001000批产品，则可以通过检验，以合格品出产的约批产品，则可以通过检验，以合格品出产的约有有814814批，而作为合格品出售的产品，每批中仍可能批，而作为合格品出售的产品，每批中仍可能含有含有i(i=0,1,2,3,4)=0,1,2,3,4)件次品。因此，就顾客而言，希件次品。因此，就顾客而言，希望所买的产品中含次品少的概率要大，即概率望

49、所买的产品中含次品少的概率要大，即概率P(Bi|A)(i=0,1,2,3,4)=0,1,2,3,4)中最大的一个所对应中最大的一个所对应i的越小越好，这的越小越好，这就是下面讨论的另一个重要公式。就是下面讨论的另一个重要公式。3、贝叶斯公式(Bayes)定理1.2 设试验E的样本空间为，A为E的事件。事件组B1,B2,Bn组成样本空间的一个划分，且P(Bk)0,(k=1,2,n),及P(A)0，则nkBAPBPBAPBPABPniiikkk,2,1)()()()()(1此式称为Bayes公式公式。证明：nkkkiiiiBAPBPBAPBPAPBAPABP1)|()()|()()()()|(例例

50、1.221.22 有甲乙两个袋子，甲袋中有有甲乙两个袋子，甲袋中有2个白球，个白球，1个红球，个红球，乙袋中有乙袋中有2个红球，个红球，1个白球。这个白球。这6个球手感上不可区别。个球手感上不可区别。今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取今从甲袋中任取一球放入乙袋，搅匀后再从乙袋中任取一球，问此球是红球的概率？一球，问此球是红球的概率？解 设A1从甲袋放入乙袋的是白球；A2从甲袋放入乙袋的是红球；B从乙袋中任取一球是红球。12731433221)|()()|()()(2211ABPAPABPAPBP甲乙思考 例1.22中，若已知取到一个红球，则从甲袋放入乙袋的是白球的概率是多少？答答

51、74127)()|()()()|(1111APABPBPBAPBAP例1.23设某工厂甲、乙、丙三个车间生产同一产品，产量依次占全厂的45%，35%，20%。且各车间的次品率依次为4%，2%，5%。现从待出厂的产品中抽取1个产品，问(1)该产品是次品的概率，(2)该产品是由哪个车间生产的可能性最大。解 设A表示产品为次品的事件，B1,B2,B3分别表示产品是甲、乙、丙车间生产的事件，则P(B1)=45%，P(B2)=35%，P(B3)=20%，且P(A|B1)=4%，P(A|B2)=2%，P(A|B3)=5%(1)P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+P(B3)P(A|

52、B3)=45%4%+35%2%+20%5%=0.035(2)514.0035.004.045.0)()()()()()()()()(332211111BAPBPBAPBPBAPBPBAPBPABP200.0035.002.035.0)(2ABP286.0035.005.020.0)(3ABP若一病人高烧到若一病人高烧到4040，医生要确定他患有何种疾病，医生要确定他患有何种疾病，则必须考虑病人可能发生的疾病则必须考虑病人可能发生的疾病B1,B2,Bn。这这里 假 定 一 个 病 人 不 会 同 时 得 几 种 病，即里 假 定 一 个 病 人 不 会 同 时 得 几 种 病，即B1,B2,Bn

53、互不相容，医生可以凭以往的经验估互不相容，医生可以凭以往的经验估计出发病率计出发病率P(Bi)，这通常称为这通常称为先验概率先验概率。进一步。进一步要考虑的是一个人高烧到要考虑的是一个人高烧到4040时，得时，得Bi这种病的这种病的可能性，即可能性，即P(Bi|A)的大小，它可由的大小，它可由BayesBayes公式计公式计算得到。这个概率表示在获得新的信息算得到。这个概率表示在获得新的信息(即知病即知病人高烧人高烧40)40)后，病人得后，病人得B1,B2,Bn这些疾病的可这些疾病的可能性的大小，这通常称为能性的大小，这通常称为后验概率后验概率。有了后验概。有了后验概率，就 为 医 生 的

54、诊 断 提 供 了 重 要 依 据。率，就 为 医 生 的 诊 断 提 供 了 重 要 依 据。若我们把若我们把A视为观察的视为观察的“结果结果”，把，把B1,B2,Bn理理解为解为“原因原因”，则，则BayesBayes公式反映了公式反映了“因果因果”的的概率规律，并作出了概率规律，并作出了“由果朔因由果朔因”的推断。称为的推断。称为BayesBayes决策，在风险管理，投资决策，模式识决策，在风险管理，投资决策，模式识别别中有广泛用途。中有广泛用途。例1.24（不讲）根据以往的临床记录，某种诊断是否患有癌症的检查有如下效果。若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被检查者确实患有癌

55、症”，则有95.0)(,95.0)(CAPCAP现对一大批人进行癌症普查，设被查的人确实患有癌症的概率是P(C)=0.005，试求当一个被检查者其检验结果为阳性时，那么他确实患癌症的条件概率是多少？即求P(C|A)。解005.0)(CP95.0)(,95.0)(CAPCAP)()()()()()()(CAPCPCAPCPCAPCPACP087.0)95.01(995.095.0005.095.0005.0本例中P(C)=0.005就是先验概率，而P(C|A)=0.087为后验概率。可见比先验概率提高了近16.4倍。虽然诊断的可靠性P(A|C)较高，但是确诊(即被检查诊断患有癌症者确实有癌症)的

56、可能性很小，所以还必须提高诊断的准确率。例1.25数字通讯过程中，信源发射0、1两种状态信号，其中发0的概率为0.6，发1的概率为0.4。由于信道中存在干扰，在发0的时候，接收端分别以概率0.8、和0.2接收到0和1。在发1的时候，接收端分别以概率0.9和0.1接收为1、和0。求收到信号0时，确实发出信号0的概率。现接收端接收到一个“1”的信号。问发端发的是0的概率是多少?解 设A-发射0，B-接收到0。0(0.6)0 10 1(0.8)(0.2)1(0.4)1 01 0(0.9)(0.1)分。构成样本空间的一个划与AA1.0)(,8.0)(,4.0)(,6.0)(ABPABPBPAP)()(

57、)()()()()(ABPAPABPAPABPAPBAP923.01.04.08.06.08.06.0条件概率 条件概率条件概率 小小 结结缩减样本空间 定义式 乘法公式 全概率公式 贝叶斯公式例1.26 袋中有a只红球，b只白球b0，现从此袋中取两次球，每次各取一只球，分有放回和无放回两种情况，记A表示事件“第一次所取的球是红色的球”，B表示事件“第二次所取的球是红色的球”。求第一次取到是红球的概率；第二次取到红球的概率；在第一次取到红球的条件下，第二次仍取到红球的概率。解（1）有放回baaAP)(baaBP)(baaABP)(（2）无放回baaAP)(baaBP)(11)(baaABP1.

58、5 事件的独立性事件的独立性返回 设A、B是随机试验E的两个事件，若P(A)0，则可定义P(B|A)，即A发生条件下的B发生的概率。一般地，P(B)P(B|A)，即事件A发生对事件B发生的概率是有影响的。如例1.26（2）中baaBPbaaABP)(11)(而且此时)()(11)()()(BPAPbaabaaABPAPABP在特殊情况下，一个事件的发生对另一个事件发生的概率没有影响，如例1.26(1)中)()(BPbaaABP而且此时)()()()()()(22BPAPbaaABPAPABP定义定义1.5.11.5.1 设A、B是两个事件，若满足等式P(AB)P(A)P(B)则称事件A与事件B

59、是相互独立的事件。此定义可推广到n个事件两两独立和互相独立的情形。由定义可知，必然事件和不可能事件与任何事件都是相互独立的。性质性质 以下四件事等价：(1)事件A、B相互独立；(3)事件相互独立；BB、B相互独立；A(4)事件相互独立。、A(2)事件A、定理1.3 设A，B是两事件，且P(A)0，则A，B相互独立的充分必要条件是P(B|A)=P(B)即A的发生与否与B的发生概率无关。独立性的概念可推广到多个事件定义定义1.5.1 若三个事件A、B、C同时满足下面四个等式：则称事件A、B、C相互独立相互独立。(*)()()()()()()()()(CPBPBCPCPAPACPBPAPABP(*)

60、()()()(CPBPAPABCP（*）式成立，则称事件A、B、C两两相互独立。两两相互独立。注意：（*）不能推出（*），（*）也不能推出（*）。两式必须同时成立，才能称n个事件互相独立.实际应用时常根据事件本身的性质来确定是否互相独立,而不是从定义来判断.由定义可知：A、B、C相互独立必有A、B、C两两独立，反之不真。一般地，设A1，A2，An是n个事件个事件，若下面个等式同时成立：则称n个事件个事件A1，A2，An相互独立相互独立。)()()(jijiAPAPAAPnji1)()()()(kjikjiAPAPAPAAAPnkji1)()()()()(lkjilkjiAPAPAPAPAAAA

61、Pnlkji1)()()()(2121nnAPAPAPAAAP.事件独立性的应用举例事件独立性的应用举例1、加法公式的简化加法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立,则 )()()(1)(2121nnAPAPAPAAAP2、乘法公式的简化乘法公式的简化：若事件A1，A2，An相互独立,则 )()()()(2121nnAPAPAPAAAP例1.27 甲、乙两射手独立地射击同一目标，他们击中目标的概率分别为0.9与0.8，求在一次射击中(每人各射一次)目标被击中的概率。解 设A，B分别表示甲、乙射中目标的事件，C表示目标被击中的事件，则P(A)=0.9，P(B)=0.8P(C)=P(AB)=P

62、(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.90.8=0.98另解02.0)8.01)(9.01()()()()(BPAPBAPCP98.0)(1)(CPCP例1.28 设某种高射炮每次击中飞机的概率为0.2，问至少需要多少这种高炮同时独立发射(每门射一次)，才能使击中飞机的概率达到95%以上。解设所需高炮为n门，A表示击中飞机的事件，Ai(i=1,2,n)表示第i门高炮击中飞机的事件，则由题意%95)()(21nAAAPAP95.0)(121nAAAP95.0)2.01(1)()()(121nnAPAPAP1405.08.0nn，故至少需14门高炮才能有95%以上把握击中飞机。3、在可

63、靠性理论上的应用在可靠性理论上的应用:串联串联(交，即独立交，即独立事件概率之积事件概率之积),),并联并联(并，用其对立事件的概并，用其对立事件的概率来计算率来计算),),以及混联系统以及混联系统.如图，1、2、3、4、5表示继电器触点,假设每个触点闭合的概率为p,且各继电器接点闭合与否相互独立，求L至R是通路的概率。设设A-L至至R为通路为通路，Ai-第第i个继电器通个继电器通,i=1,2,5由由A3的开、闭组成概的开、闭组成概率空间的一个划分率空间的一个划分.)()|(52413AAAAPAAP422pp)()|(54213AAAAPAAP)()()|(54213AAPAAPAAP22)

64、2(pp由全概率公式由全概率公式)()|()()|()(3333APAAPAPAAPAP54322522pppp33AAAAA如图如图:混联系统混联系统每个元件的可每个元件的可靠度均为靠度均为p,且且互相独立互相独立,求系求系统的可靠度统的可靠度.EDCBA)(解：系统可以表解：系统可以表示为示为)(BAP2)1(1P22pp)()()(CPBAPCBAP3222)2(ppppp)(EDCBAP232)1)(21(1ppp5432452ppppp)(:EDCBAP或解)(EDBCACP)()()()()()()()()()()()()()()(ABCDEPBCDEPABCEPACDEPABCDPDEPBCEPBCDPACEPACDPABCPEPDPBCPACP5432452ppppp第一章第一章 小结小结本章由六个概念（随机试验、事件、概率、条件概率本章由六个概念（随机试验、事件、概率、条件概率、独立性），四个公式（加法公式、乘法公式、全概、独立性），四个公式（加法公式、乘法公式、全概率公式、贝叶斯公式）和一个概型（古典概型）组成率公式、贝叶斯公式）和一个概型（古典概型）组成