1999-2023数学一(答案2)

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1、1999-2023数学一(答案2) 2023年考研数学一试题答案与解析 一、填空题 (1)【分析p 】 由通解的形式可知特征方程的两个根是r1,r2?1?i,从而得知特征方程为 2(r?r1)(r?r2)?r2?(r1?r2)r?rr12?r?2r?2?0. 由此,所求微分方程为y?2y?2y?0. (2)【分析p 】 先求gradr. gradr=-?r?r?r-xyz?,-?,?. ?x?y?z-rrr-?x?y?z- ?xr?yr?zr1x21y21z23x2?y2?z22?. =(?3)?(?3)?(?3)-rrrrrrrr3r22|(1,?2,2)?. r3再求 divgradr=于

2、是 divgradr|(1,?2,2)=(3)【分析p 】 这个二次积分不是二重积分的累次积分,因为?1?y?0时 1?y?2.由此看出二次积分?dy-10?12023?yf(x,y)dx是二重积分的一个累次 积分,它与原式只差一个符号.先把此累次积分表为 ? dy?1?yf(x,y)dx-?f(x,y)dxdy. D由累次积分的内外层积分限可确定积分区域D: ?1?y?0,1?y?x?2. 见图.现可交换积分次序 原式=-0?1dy?21?yf(x,y)dx-?dx?1201?xf(x,y)dy-dx?121?x0f(x,y)dy. (4)【分析p 】 矩阵 因为 A的元素没有给出,因此用伴

3、随矩阵、用初等行变换求逆的路均堵塞.应当考虑用定义法. (A?E)(A?2E)?2E?A2?A?4E?0, (A?E)(A?2E)?2E,即 (A?E)?A?2E?E. 214 故 按定义知 (A?E)?1?1(A?2E). 2D(x), (5)【分析p 】 根据切比雪夫不等式 PX?E(X)-?PX?E(X)?2-2于是 D(x)1?. 222二、选择题 (1)【分析p 】 当x当x应选(D). (2)【分析p 】 我们逐一分析p . 关于(A),涉及可微与可偏导的关系.由(A)不一定成立. 关于(B)只能假设?0时,f(x)单调增?f(x)?0,(A),(C)不对; ?0时,f(x):增减

4、增?f(x):正负正,(B)不对,(D)对. f(x,y)在(0,0)存在两个偏导数?f(x,y)在(0,0)处可微.因此f(x,y)在(0,0)存在偏导数?f(0,0)?f(0,0),不保证曲面z?f(x,y)在 ?x?y(0,0,f(0,0)存在切平面.假设存在时,法向量因此(B)不成立. n=-?f(0,0)?f(0,0)，?1-?3,1,-1与3,1,1不共线,?y-x? ?x?t,?关于(C),该曲线的参数方程为?y?0, ?z?f(t,0),? 它在点(0,0,f(0,0)处的切向量为 t,0,df(t,0)|t?0?1,0,fx(0,0)?1,0,3. dt因此,(C)成立. f

5、(x)f(x)f(x)?lim?lim-. x?0x?0?x?0?xxx1f(1?cosh)1?cosh1f(t)?t?1?coshlim关于(A):lim2f(1?cosh)?lim, h?0hh?01?coshh22t?0?t1lim2f(1?cosh)? ? f?(0) ?. 由此可知 h?0h(3)【分析p 】 当f(0)?0时,f(0)?lim假设f(x)在x?0可导?(A)成立,反之假设(A)成立?f?(0) -f(0)?.如f(x)?|x|满足(A),但 f(0)不?. 15 关于(D):假设f(x)在x?0可导,? 1f(2h)f(h)limf(2h)?f(h)?lim2?2f

6、(0)?f(0). h?0hh?02hhh?0?(D)成立.反之(D)成立?lim(f(2h)?f(h)?0?f(x)在x?0连续,?f(x)在x?0可导.如?2x?1,x?0 f(x)-0,x?0?满足(D),但f(x)在x?0处不连续,因此f(0)也不?. 1h?sinhf(h?sinh)h?sinhf(t)f(h?sinh)?lim-lim?(当它们都?时). 22h?0h2h?0h?0hh?sinhhth?sinhf(t)?0?lim注意,易求得lim.因此,假设(C)成立.反之假设(C)成立(即 f(0)-h?0t?0h2tf(t)有界,任有(C)成立,如f(x)?|x|满足(C),

7、但f(0)不?. f(0)?).因为只要t再看(C):lim 因此,只能选(B). (4)【分析p 】 由 相似对角化,所以 |?E?A|-4?4?3?0,知矩阵A的特征值是4,0,0,0.又因A是实对称矩阵,A必能A与对角矩阵B相似. A?B时,知A与B有一样的特征值,从而二次型xTAx与xTBx有一样的正负惯作为实对称矩阵,当性指数,因此A与B合同. 所以此题应中选(A). 注意,实对称矩阵合同时,它们不一定相似,但相似时一定合同.例如 ?10?A-02?与B-10-03-?, 它们的特征值不同,故A与B不相似,但它们的正惯性指数均为2,负惯性指数均为0.所以A与B合同. (5)【分析p

8、】 解此题的关键是明确X和Y的关系:X?Y?n,即Y?n?X与Y之间存在线性关系,即Y,在此根底上利用性质:相关系数?XY的绝对值等于1的充要条件是随机变量数),且当a X?aX?b(其中a,b是常?0时,?XY?1;当a?0时,?XY-1,由此便知?XY-1,应选(A). 事实上,Cov(X,Y)?Cov(X,n?X)-DX,DY?D(n?X)?DX,由此由相关系数的定义式有 ?XY?Cov(X,Y)?DXDY?DX-1. DXDY 16 11?2xdexx?2xx三、【解】 原式=?arctaned(e)-earctane-2x 2?2e(1?e2x) 1?2xdexdexxarctane

9、-2x-) =?(e2x2e1?e=? 1?2x(earctanex?e?x?arctanex)?C. 2四、【解】 先求?(1)?求 f(1,f(1,1)?f(1,1)?1. d3?(x)|x?1?3?2(1)?(1)?3?(1),归结为求?(1).由复合函数求导法 dxd?(x)?f1(x,f(x,x)?f2(x,f(x,x)f(x,x), dx ?(1)?f1(1,1)?f2(1,1)f1(1,1)?f2(1,1). f1(1,1)-f(1,1)?f(1,1)?2,f2(1,1)-3. ?x?y,注意 因此 ?(1)?2?3(2?3)?17d3?(x)|x?1?3?17?51. dx五、

10、【分析p 与求解】 关键是将arctan 直接将arctanx展成幂级数,然后约去因子x,再乘上1?x2并化简即可. x展创办不到,但(arctanx)易展开,即 ?1(arctanx)-?(?1)nx2n,|x|?1, 21?xn?0 积分得 (?1)n2n?1arctanx-(arctant)dt-(?1)?tdt-x,x?1,1. 00n?0n?02n?1x?nx2n? 立. 因为右端积分在x-1时均收敛,又arctanx在x-1连续,所以展开式在收敛区间端点x-1成1?x2现将式两边同乘以x 得 ?1?x2(?1)n2n?(?1)n2n?(?1)nx2n?22arctanx?(1?x)

11、?x-x-x2n?1n?02n?1n?02n?1n?0 17 (?1)n2n?(?1)n?12n =?x-x 2n?12n?1n?0n?0? =1-(?1)n(n?1?11?)x2n 2n?12n?1 , (?1)n22n ?1-x21?4nn?1?x?1,1,x?0 上式右端当x ?0时取值为1,于是 (?1)n22nf(x)?1-x,x?1,1. 2n?11?4n-(?1)n11-1上式中令x?1-?f(1)?1?(2-1)-. 21?4n22442n?1六、【解】 用斯托克斯公式来计算.记S为平面x?y?z?2上L所 为围局部.由L的定向,按右手法那么S取上侧,S的单位法向量 ?1n?(cos?,cos?,cos?)?(1,1,1). 3于是由斯托克斯公式得 cos-I-xSy2?z2cos-?y2z2?x2cos-?z3x2?y2dS =-(?2y?4z)S111?(?2z?6x)?(?2x?2y)dS333 =?22(4x?2y?3z)dS(利用x?y?z?2)?(6?x?y)dS. -3S3S于是 221?Zx?Zy?1?1?1?3. 按第一类曲面积分化为二重积分得 I-2(6?x?y)3dxdy-2-(6?x?y)dxdy, -3DD18 第 9 页 共 9 页