多值逻辑综述

《多值逻辑综述》由会员分享，可在线阅读，更多相关《多值逻辑综述（11页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、论文题目：多值逻辑综述摘要：本文综述了近年来国内外多值逻辑研究的进展，并对其中有代表性的成果作了重点介绍。讨论了研究多值逻辑的意义，从多值逻辑应用方面综述了这个领域的发展概况和趋势。Abstract：Thispaperreviewstheprogressofthemulti-valuedlogicresearchathomeandabroadinrecentyear，sandtherepresentativeachievementsmadehighlightsDiscussionofthesignificanceofthestudyofmulti-valuedlogicfromtheappli

2、cationofmulti-valuedlogicoverviewofthedevelopmentandtrendsinthisarea1.研究多值逻辑的意义1多值逻辑的结构形式远比二值逻辑多姿多采，可以更好地解决用二值逻辑不易解决的问题。下面几个例子有助于说明这一点。(l)许多逻辑向题本身就是三值的。例如：信息处理及PLA等课题中的“真”、“假”、“无定义”三态，电机控制的“正转”、“停“、“反转”三态，数值界限常可区分为“正数”、“零”、“负数”三类等等。这类问题用三值逻辑处理比用二值逻辑处理更为自然、方便。(2)在程序设计语言中应用多值逻辑，可以建立三分支及多路转移，避免了使用大量二分支

3、的嵌套，从而使程序及流程图大为简化。(3)数字系统的故障诊断需要考虑有故障与无故障时的状态，只用0、1两个逻辑值是不够的，必须采用多值逻辑。另一方面，若用多值逻辑电路来构成二值数字系统，其多余的逻辑值可用来使系统成为容错、自校验、失效保险或故障安全的数字系统。(4)数字系统的计算机模拟需要表示0、1两个状态以外的许多状态(如0变至1或I变至0等)，因此几乎无例外地都采用多值逻辑。(5)人的思维过程是很难用二值逻辑来模拟的。但多值逻辑中的多阂值逻辑却能较好地模拟神经元的工作。机器学习、专家系统、模式识别等人工智能问题中应用多值逻辑的前景十分广阔。2多值数字系统的信息密度高。当这种数字系统用大规模

4、或超大规模集成电路实现时，可以大大节省集成电路的基片面积。例如，已经在Intel8087数字数据处理机及iAPX-432计算机中使用的四值ROM，每一位相当于二值ROM的二位，而所占面积增加不多，从而使整片集成电路节省基片面积31%。3大规模、超大规模集成电路发展中的一个现实问题是集成电路的功能日益增强而体积却日趋缩小。一般来说，前者的引线数要多，后者则要求减少引线数。这一矛盾严重地影响了集成电路的发展。二值逻辑已很难解决这个向题，而多值逻辑却能很好地解决这个向题。例如，在保持信息量不变的前提下，采用三值逻辑所需的连线只有采用二值逻辑所需连线的63%，而采用四值逻逻则只需50%【1】。4随着大

5、型电子计算机系统的复杂度不断提高，其功耗大到难以接受的地步，于是人们越来越关注各种新形式的计算机，光学计算机成为人们关注的焦点之一。光有不同于电的物理特性，导致光学计算机有不同于电子计算机的特点：速度可以更快、位数可以更多、使用更多的物理状态（多值）和能耗更小等，理想的光学计算机应该兼有这些特点。目前的光学计算机研究中，有许多研究着力于“高速度”，同时也有研究着力于“位数众多”。节能问题也成为新的关注点。可见，多值逻辑的研究对于新一代计算机的研制也是十分重要的【2】。2多值逻辑历史与趋势从命题逻辑方面看，经典的亚里斯多德逻辑是二值逻辑。在这种逻辑中，存在排中律，即不承认既“真”又“假”或既“不

6、真”又“不假”的命题的存在。这种逻辑得到了广泛的应用。但是在某些情况下，这种逻辑会产生悖论。例如著名的“谎官悖论”。为了解决这一问题，可在“真”、“假”值之外引进“不定”，从而成为三值逻辑。但进一步的研究发现，三值逻辑也会产生悖论，为此必须引进四值逻辑。结果，为了处理n值逻辑的悖论。就不得不引人（n+1）值逻辑。从数学方面看，二值逻辑代数是G.Boole于1854年提出的，后来被称为布尔代数，被广泛应用到数字系统的逻辑设计等领域。第一个对任何基数都保持功能完备的多值逻辑代数是E.L.Post于1921年在题为“基本命题的一般理论导引”的论文中提出的【4】。迄今，较受各方注目的多值逻辑代数系统有

7、Post代数、Vranesic.-Lee-Smith代数、Allen-Gicone代数、模代数等【7】。属于三值代数系统的扩展布尔型代数、T门算子代数、面向器件三值代数以及对称三值代数等，亦较有影响，但各有局限性，有待各方努力，研究出一种既表达简洁、化简方便，又易于工程实现的代数系统。近代的多值逻辑研究一直是与计算机科学技术的发展直接关连的。国外在五十年代初电子计算机出现不久，就有不少多值开关电路的论文。1958年，苏联莫斯科大学制成了世界上第一台三值计算机CETYHB8】1973年，美国纽约州立大学在二值主机B170上用微程序仿宾实现了一合三值计算机TERNCE。作为可行性试验，它在速度与成

8、本两方面都达到了与二值计算机同一数里级的水平【9】。在五十年代中期出现的商级程序设计语言FORTRAN中已应用了多值逻辑，例如“算术IF”语句可实现三值分支，又如“计算GOTO”语句可实现多值转移。后来在LISP、ALGOL-68、PASCAL、MODULA-2及Ada等高级程序设计语言中也采用了多值逻辑，从而使程序及流程图的复杂性大为降低【10】。1971年，随着对多值逻辑研究的兴起，IEEE在美国发起并举办了首届国际多值逻辑学术讨论会，并定出每年举行一次，至2012年已历42届，其势头日益兴旺。其间，IEEE还于1980年成立了隶属于其计算机学会的“多值逻辑技术委员会”。依据对历年国际多值

9、逻辑学术会议的了解与认识，初步得出其间的主要趋向约可归纳为：(1)理论研究范围广泛，并各向纵深发展。从最早对哲学、形式逻辑、代数理论的研究。发展到目前对开关理论、逻辑设计和工程应用等的研究。由于它是一种比二值逻辑更为普遍的逻辑系统，其在理论上的难度自然更高，目前还有许多领域有待进一步开拓。(2)多值逻辑的研究必然导致多值器件、多值数字部件、乃至多值计算机的出现。事实上，已有不少多值器件开始进入实用阶段。(3)应用范围日见扩大。多值与二值混合系统的研究、多值数字系统的研究、以及在二值数字系统中采用多值逻辑技术是其中的重点方向。3多值逻辑主要技术成果研究多值逻辑理论可以从构建逻辑系统和构建代数模型

10、两个方面进行。提出一种多值逻辑，就要构建出它的逻辑联结词和系统这是比经典逻辑更为复杂的工作。最早给出多值逻辑系统的是MordchajWajsberg。1931年他对Lukasiewicz三值逻辑进行了公理化，给出由四个公理(包括MP规则和代换规则)构成的系统【】。这种公理化系统的出现使得多值逻辑真正走向了形式化公理化的道路，成为现代逻辑的分支。Wajsberg的另一重大贡献是同时给出了Lukasiewicz无穷值逻辑的公理系统，但没有给出证明。这一系统于1958年由A.Rose和JB.Rosser给出完全性证明【12】。A.Rose和JB.Rosse的证明是在1951年RobertMcNaug

11、hton给出的定理的基础上【13】，用代数方法给出的。1958年，C.C.Chang建立了MV-代数，对这一系统重新给出了代数证明【14】。C.C.Chang把Lukasiewicz无穷值逻辑系转换为MV-代数，在MV-代数中证明著名的Chang完全定理，从而得到对Lukasiewicz无穷值逻辑完全性的证明。1994年D.Mundici对Mc-Naughton定理给出了新证明【151。1995年GiovanniPanti又利用复曲面簇中关于不确定点消除的deConcini-Proces定理对该系统的完全性给出了证明，同时对McNaughton定理给出了新的证明【16101997年,R.Cig

12、noli和D.Mundici又用自由交换群乙和嵌入到R中的线性代数方法给出了新的证明【171。这些证明都是经典之作，为多值逻辑的发展奠定了基础。除此之夕卜，Dummett用Skolem方法1957年证明了无穷值逻辑的集论的一致性，1959年证明了GLdel穷值命题逻辑系统的完全性1181o1955年KarlSchroter提出构建多值逻辑Gentzen系统的方法【191。对多值逻辑形式化作出奠基性贡献的是J.B.Rosse和A.R.Turquette1201，他们发表的重要论文为有穷值逻辑的公理化开辟了道路，此后这一方向的工作无不深受他们的影响。J.B.Rosse和A.R.Turquette定

13、义了一类一元联结词Js,sW，W为真值集。当u=s时Js(u)取真值1,否则取真值m。这里1是特指值，相当于真，m相当于假，u为公式。通过对Js的定义达到了对有穷值逻辑的公理化。在他们工作的基础上，不少人作出了进一步的贡献。例如，1985年,O.M.Anshakov和S.V.Rychkov为真值完全的C-扩充好量化的逻辑给出了一个一般的、有效的公理化方法，这种方法提供了Hilbert型一阶演算系统。真值完全的C-扩充好量化的逻辑包含许多著名的非经典逻辑，例如所有Lukasiewicz有穷值逻辑，函数完备的Post逻辑，对应于Moisil代数的逻辑，Bochvar和Kleene的多值逻辑等等。1

14、994年，他们又用代数方法证明了这种逻辑演算的完全性定理【211。最完美的公理化的逻辑系统是只有少数的公理(模式)和几个推理规则的系统，但是基于各种需要也有人构造了其他类型的多值逻辑系统，如自然演绎系统和Gentzerffi系统。1974年StanislawJ.Surmaffi明了对每一个有穷值命题逻辑都可以给出一个表列的公理化系统，1987年,WalterA.Carnielli重新证明了此结果，并把结果推广到一阶谓词多值逻辑的情形122。这种系统类似于Gentzen型系统，但还不是标准的Gentzen型系统，在计算机中容易应用。1980年代以后，多值逻辑的研究方向趋向分支化和多元化，除了对多

15、值逻辑在模糊集合论中的应用有了较深入的研究，多值逻辑与相关代数系统，多值逻辑中计算复杂性问题也得到详细的探讨和考察。多值逻辑的各个分支不断与边缘科学结合，出现了新的研究领域。如：多值逻辑函数与密码学结合，多值逻辑应用于软计算等等，都是热门的研究方向。时至今日，多值逻辑在语言学，逻辑学，硬件检验和设计，人工智能，数学基础等许多领域均得到了广泛的应用，这种应用为多值逻辑存在的合理性提供了有力的支持。由于涉及太多方面，本文介绍的只是技术理论方面的研究。在1960年代，Zadeh(1965)开始用推广的集合论方法形式化模糊概念【23】，人们试图通过多值逻辑的方法为其模糊集寻找理论基础，导致人们对多值逻

16、辑进一步深入研究。捷克人J.Pavelka在1979年对模糊逻辑进行了研究，构建了模糊命题逻辑，对逻辑系统提出了新的完全性概念1241o1987年V.Novk对Pavelka逻辑给出了一阶谓词系统【25】。2000年H.jek,P.Paris,丄和SheperdsonJ.证明了有理数谓词逻辑是Lukasiewicz谓词逻辑的一个保守扩充【261oPavelka逻辑的代数形态是一种剩余格。剩余格的一个运算称为t-范数，即“triangularnorm”的缩写，这一概念从上世纪90年代从数学的其他领域引进到模糊逻辑。t-范数是Lukasiewicz合取联结词的推广，从这一连接词可以得到与Lukas

17、iewicz逻辑对应的几种基本连接词，由此得到的逻辑称为t-范数逻辑。基于所有剩余格的逻辑称为幺半群逻辑，1994年U.Hhie对此类逻辑给出了公理化。准线性可除剩余格称为BL-代数，基于这种代数的逻辑称为基本t-范数逻辑，PHjek给出了公理化【271。PHjek，Cignoli，R.，Esteva,F.Godo，L.Torrens.A.还证明了在所有BL-代数中有效的公式等于基于连续t-范数的结构0，1，min，max，t，seqt，0，1中有效的公式【281。基于所有准线性剩余格的逻辑称为幺半群t-范数逻辑，1999年由F.Esteva和L.Godo给出公理化【291。在逻辑代数方面，与

18、Lukasiewicz逻辑相对应的有1939年G.C.Moisil引进的三值和四值Lukasiewicz-Moisil-代数1301。现在，这种代数也发展成内容丰富的理论1。1942年Rosenbloom提出了Post-代数1321。从那时起，Post-代数的理论及其推广得到了极大的发展，许多重要的成果相继发表。历史上，在这方面作出突出贡献的有：Epstein，Traczyk，Dwinger，Rasiowa，RousseauOrlowska等等。1958年,C.C.Chang提出了MV-代数，这是一种与Lukasiewicz无穷值逻辑相配套的代数，利用这种代数C.C.Chang重新证明了Luk

19、asiewicz无穷值逻辑的完全性。现在，MV-代数已经发展为系统而丰富的理论，是一个非常活跃的研究领域【331。在模糊代数逻辑方面，剩余格理论是当今的一个研究热点，研究成果极其丰富。在不同的背景下产生的多值逻辑往往具有不同的联结词。为了把握多值逻辑联结词的性质，函数完备性问题逐渐成为一个热门问题。1921年，Post提出了第一个函数完备的多值逻辑系统。1935年,Webb找到了第一个单独函数完备的二元多值逻辑函数(联结词)34】，该联结词也称为Sheffe联结词，是对经典二值逻辑sheffer函数的推广。1938年，Slupecki给出了一个函数完全的n-值逻辑公理化系统【35】。1939年

20、JSlupecki给出了多值命题逻辑系统函数完备的一个标准：一个包含了所有一元函数的函数集，它是函数完全的当且仅当它包含一个本质函数。1941年Post解决了经典二值逻辑的函数完备性问题。然而多值逻辑的情况要复杂的多。在我国，罗铸楷根据王湘浩教授提出的保全关系的系统思想证明了函数完备性问题的一些主要结果【36】。俄国学者S.V.Jablonski和V.V.Martynjuk以及加拿大人I.G.Rosenbergfe都在这方面做了重要贡献。罗铸楷在1963年发表的文章和I.G.Rosenberg197年发表的结果定出了保分划函数集在PK（K值逻辑的所有函数的集合）中的极大封闭集，最终解决了这一问

21、题。而这一问题的较困难一部分的结果是I.G.Rosenberg197年发表的【37】。函数完备性问题包含三方面的问题：完全多值逻辑函数完备性问题，部分多值逻辑函数完备性问题，一元多值逻辑函数完备性问题。迄今为止，只有一元多值逻辑函数完备性问题还没有得到完全解决。函数完备集判定问题本身也是泛代数中的重要问题，该问题的解决大大推动多值逻辑函数结构理论和泛代数理论的发展，由此产生的有限代数理论仍是重要的研究领域。这些结果在自动机理论，多值逻辑网络，信息安全，逻辑系统的构建等方面有广泛的应用【38】。多值逻辑的理论发展循序渐进，而实际成果方面可谓是多点开花了，其主要集中在计算机科学，电子科学技术，通信

22、等方面。前不久，马来西亚的FarhanaSoheli研究出一种多值输出的ADC。ADC设计使用的多值逻辑输出提供整体减少电路的复杂性和尺寸的可能性。ADC产生的多值逻辑的输出，而不是常规的二进制输出系统。设计实现电流模式ADC体系结构，是使用一个标准的0.13umCMOS工艺的模型参数模拟。在低功耗方面，设计的性能分析中显示了所希望的性能参数的响应，并取得在电源电压为1.3V的500kHz的采样率。ADC的设计是适用于数字无线通信应用，如超宽带（UWB）和混合信号集成电路设计的需求，可以实现基于多值逻辑设计的系统作为转换电路【39】。日本群马大学的Yuminaka，Yasushi提出了多值脉冲

23、位置调制（MVPPM）技术，它是普通单脉冲PPM和多脉冲PPM的推广，允许每符号间隔有多个脉冲，它应用符号时隙帧中多个脉冲的位置和极性的不同组合传递信息，每个脉冲可以改变它的时隙位置和极性。在超大规模集成电路系统，实现高效的数据传输。MVPPM编码采用2维信息表示在时间和幅度域来提高数据速率。时域信息处理使用的定时分辨率，因此很好地配合先进的高速低电压CMOS工艺。MVPPM收发器设计和模拟使用SPICE证明的补偿功能恶化的信号所造成的互连【40】。美国的ParasaVamsi提出了多值逻辑版本的量子伪分数傅里叶变换（QFrFT），这是一个更通用的变换，其中广泛使用的量子傅里叶变换（QFT）是

24、一种特殊情况。ParasaVamsi和他的团队展示了如何使用0（N3）两个qudit旋转门有效地实现QPFrFT。这是能够实现的近似QPFrFT的通过减少旋转角度呈指数递减的旋转门。多值逻辑QPFrFT的改进的逼近性质为基数d的逻辑用于增加。在具有相同的电路的复杂性条件下，二值逻辑的逼近性质无疑要逊色许多【41】。双向工频自动通信系统是近年来出现的一种基于配电网的通信系统，它在工频电压波形过零点处调制信号。由于工频电压波形的过零点处附近系统能量最小，受电网环境噪声的影响也较小，因而它的通讯效果比传统的电力线载波方式要好的多。但是工频电压（50Hz）每秒钟只有100个过零点，而每个过零点只能调制

25、1位二进制数据，所以其通讯速率受到很大影响。为了提高通讯速率和可靠性，河北经贸大学的研究者提出了用多值逻辑来代替传统的二值逻辑进行数据传输。多值逻辑可以比二值逻辑明显的提高通讯速率，而误码率（通讯的可靠性）相差无几。即误码率只与调制解调的方式有关，而与几值逻辑无关。去掉多值逻辑中某个或几个逻辑状态不用（如本文中去掉数据“1”状态从而变为二值逻辑），则可以降低误码率。所以在通讯环境干扰较大的情况下，可以通过牺牲多值逻辑的逻辑状态来换取通讯的可靠性【42】。在二值逻辑为主流的现代技术中，多值逻辑不可能一蹴而就代替二值逻辑，怎样把二值逻辑和多值逻辑有效的结合起来甚至使其完美过渡到多值逻辑具有重大研究

26、意义，很多学者都在为这方面努力。目前所使用的数字芯片内部基本上都是基于传统的二值逻辑电路。然而，在进行LSI和VLSI设计时，遇到了连接复杂性和可测试性成本问题。由于LSI和VLSI电路一般是由功能模块来实现的，因此，在设计中引入多值逻辑，不仅可以减少模块间的互联，而且可以有效地改善数字处理的性能。但在实际中却增加了设计时间。解决这一新问题的方法之一就是使用规则的电路结构，例如PLA、ROM和RAM等。全零三在其研究中引入了一种多功能文字电路（Multi-FunctionLiteralCircuit）43。该电路不仅可以完成二值与多值之间的转换，同时具有一定的可编程性。在进行多值PLA的设计时

27、，能够较好地减少多值PLA的规模，特别是对多输入的情况，能很好地达到优化设计的目的。同时，邱建林和其团队成功地开发了二值多输出逻辑优化软件OPLG【44】，并以此软件为基础对多值逻辑函数进行逻辑优化通过对多值变量、多值函数的二进制矢量描述，将多值多维体转换为布尔表达式积项形式，从多值多维体的多值最小项出发，给出计算基本无关集的方法1对多值逻辑函数的优化通过调用二值逻辑优化软件OPLG（允许的最大输入、输出变量之和为300）来实现，二值逻辑优化的结果最终再转换为多值多维体的表示形式。量子电路是进行量子计算的硬件基础，具有可逆性，要求其输入和输出之间存在一一映射，因此电路中不存在扇入、扇出和反馈逻

28、辑，理论上不丢失输入信息，不存在能量耗散问题，从而可将芯片的运行速度和计算能力发挥到极致【45】。Bennett证明采用可逆逻辑门构建可逆电路可有效降低计算能耗（理论上可以达到最低能耗）【46】。因此量子计算系统对环境产生的负面影响可以达到最低。而与二值逻辑量子门相比，多值逻辑量子门在存储和处理信息时具有更强的酉变换能力和灵活性，实现相同的任务可以使用更少的门，并可有效减少量子寄存器的位数。2000年Muthukrishnan和Stroud】设计并实现了在线性离子阱中构建一位和两位多值逻辑量子基本门（quantumprimitivegate）的方案，有力论述并证明了多值逻辑量子门物理实现的可行

29、性。2003年Daboul等人【48】提出量子混合门（quantumhybridgate的概念，即所涉及的各量子位分别在不同的逻辑空间中的量子门，TS门是已经物理实现的混合二值、三值逻辑量子置换门【49】。2009年Lanyon等人【50】利用线性光子系统实现了三值逻辑Toffoli门，这是量子电路物理实现上的一项重大突破，因为Toffoli门和Hadamard1可构成量子计算的一个通用门集。酉性限制是对量子门的惟一限制，每个酉矩阵都可定义一个有效的量子门【51】。酉矩阵是量子门的数学模型，可清晰的反映出量子门的数学性质，并可检验量子门物理实现的正确性，因此研究量子门的酉矩阵具有一定的意义。于

30、多值逻辑量子置换门实现的置换功能，王东和陈汉武提出了一种多值逻辑量子置换门的酉矩阵构造方法，利用此方法可以简便的构造出多值逻辑量子置换门的酉矩阵。在此基础之上，又给出了混合多值逻辑量子置换门的酉矩阵构造框架，利用此框架可以构造任何混合逻辑量子置换门的酉矩阵。量子门酉矩阵构造方法的给出有助于分析量子态的演化过程，验证量子门及量子电路的正确性和可靠性【52】。4总结多值逻辑研究正与其他科学技术的联系越来越紧密地结合起来，并为其他学科的研究和实践提供了新途径。多值逻辑有着许多独特的功能和广阔的应用前景，例如在电子科学技术的速度和功耗方面，多值逻辑无疑表现得二值逻辑更优秀。多值逻辑研究近年来发展迅速，

31、取得了一系列不错的成果。由于多值逻辑的诸多优点，可以预见在不久的将来，多值逻辑肯定会大放异彩。作为一名多值逻辑的初学者，我认为多值逻辑的研究应抓住两个重要方面：一方面要开展多值逻辑与计算机科学技术等各前沿学科紧密联系的各种研究，另一方面要重视多值逻辑实用化的各种研究，把多值逻辑研究推进到一个新的高度。参考文献1 胡谋多值逻辑与电子科学技术J电子学报，1986,(5):104-105.2 张明义.多值逻辑与计算机科学J.贵州大学学报，1989,(4):227-236罗铸楷多值逻辑理论及应用研究M国防科技大学出版社，2004:2-15.3 ELPost.Introductiontoagenaral

32、theoryofelementarypropositionM.Amer:Macmillan,1995:4 163-182ADBooth&JringroseAthreestateflip-flopMLondon:Elect,2001:62-67GFriederAbalancedternarycomputerMProc:ISMVL,1993:68-88MStarkTwobitspercellROMMUrbana:Spring,2001:209-212ZGVranesicAmany-valuedalgebraforswitchingsystemsCIEEETrans,VolC-29,No10,199

33、0:964-970CMAllenAminimizationtechniqueformultiple-valuedlogicsystemsC,IEEETrans,VolC-27,No2,1998:182-184SLHurstThelogicalprocessingofdigitalsignalsJNewYork:Grane-Russak,2009SMcCall(ed):PolishLogic:1920-1939ClarendonPress,Oxford,2007,40-65AlanRoseandJBarkleyRosser:FragmentsofMany-valuedStatementCalcu

34、li,TransactionsoftheAmericanMathematicalSociety,87,1998,1-53RMcNaughton:Atheroemaboutinfinite-valuedsententiallogic,TheJournalofSymbolicLogic16,2001,1-13CCChang:Algebraicanalysisofmany-valuedlogics,TranoftheAmericanMathSoc88,2006,467-490CCChang:ANewProofoftheCompletenessoftheLukasiewiczAxioms,Transa

35、ctionsoftheAmericanMathematicalSociety93,2009,74-90DMundici:AconstructiveproofofMcNaughtonsTheoremininfinite-valuedlogics,TheJournalofSymbolicLogic59,2004,596-602GPanti：AgeometricproofofthecompletenessoftheLukasiewiczcalculus，JournalofSymboliclogic60，2005，563-578RCignoli，DMundici：Anelementaryproofof

36、ChangscompletenesstheoremfortheinfinitevaluedcalculusofLukasiewicz，StudiaLogica58，2008，79-97SiegfriedGottwald，Many-ValuedLogic，StanfordEncyclopediaofPhilosophy，http：PPplatostanfordeduPentriesPlogic-many-va-luedP，2006SchroterandGRousseau：SequentsinMany-valuedLogic：I，FundamentaMathematica，Vol60，1997，2

37、3-33JBRosserandARTurquette：AxiomSchemesForM-ValuedFunctionalCalculiofFirstOrder，PartI，TheJournalofSymbolicLogic，Volume13，Number4，Dec，1998JBRosserandARTurquette：AxiomSchemesForM-ValuedFunctionalCalculiofFirstOrder，PartII，TheJournalofSymbolicLogic，Volume16，Number1，March，2001JBRosser，ATuequette：Many-va

38、luedLogicsNorth-Holland，Amsterdam，2002OAnshakovandSRychkov：OnFinite-ValuedPropositionalLogicalCalculi，NotreDameJournalofFormalLogic，Volume36，Number4，Fall，2004DavidCRine：Computerscienceandmultiple-valuedlogictheoryandapplications，ElsevierSciencePublishers，2004WalterACarnielli：Systematizationoffinitem

39、any-valuedlogicsthroughtheMethodofTableaux，TheJournalofSymbolicLogic，Volume52Number2，June，2007LAZadeh：Fuzzysets，InformationandControl8，2005，338-353JPavelka：OnfuzzylogicI，II，III，ZeitschriftfurMathLogikundGrundlagenderMath25，1999，45-52，119-134，447-464SGottwald：Atreatiseonmany-valuedlogicResearchStudie

40、sPressLtd，2009，352PetrH?jek，JeffParisandJohnShepherdson：RationalpavelkapredicatelogicisaconservativeextensionofLukasiewiczpredicatelogic，JournalofSymbolicLogicNo2，Jun，2007，669-682VBoicescu，AFilipoiu，GGeorgescu，SRudeanu：Lukasiewicz-MoisilAlgebras，ElsevierSciencePublishersBV，2011RobertoLOCignoli，Itala

41、MLDOttavianoandDanieleMundici：AlgebraicFoundationsofMany-ValuedReasoningDordrecht：KluwerAcademicPublishers，2000霍书全.一类函数完全的n值逻辑联结词及其特点J.哲学研究伸刊），2003:67-96.5 罗铸楷线性函数集和环的极大封闭性J吉林大学自然科学学报，1963(2).6 罗铸楷关于保分划函数集的极大封闭性J吉林大学自然科学学报，1963(2)罗铸楷，刘叙华在多值逻辑中二项关系所确定的极大封闭集J吉林大学自然科学学报，1963-5-25(4)罗铸楷，胡谋，陈廷槐多值逻辑的理论及应用

42、M科学出版社，1992霍书全.现代多值逻辑的主要技术成果和语义哲学基础J.自然辩证法通讯，2007,(29):31-35NatsuiM，ArimitsuT，HanyuTLow-energypipelinedmultiple-valuedcurrent-modecircuitbasedoncurrent-levelcontroltechniqueJJapan:TohokuUniversity,2011YuminakaY,OkuiMEfficientdatatransmissionusingmultiple-valuedpulse-positionmodulationJJapan:GunmaUni

43、versity,2012ParasaV,PerkowskiMQuantumpseudo-fractionalfouriertransformusingmultiple-valuedlogicJ,UnitedStates:PortlandStateUniversit,2012刘艳玉,李德良,甘霖基于多值逻辑的双向工频自动通信系统J微计算机信息,2006(22):7 32-96全零三,全凯,钱博森多值可编程逻辑阵列的优化设计技术J微电子学,2000(30):406-429邱建林，王波，管致锦等用二值逻辑对多值逻辑进行优化J计算机辅助设计与图形学学报，2004(16):682-686王冬，陈汉武，朱

44、皖宁等.多值逻辑量子置换门的酉矩阵表示J.计算机学报，2012(35):639-645Benett.C.H.Logicalreversibilityofcomputation.IBMJournalofReasearchandDevelopment,2003(6):525-532MuthukrishnanA,StroudCRMultivaluedlogicgatesforquantumcomputationPhysicalReviewA,2000,62(5):1-8DaboulJ,WangX,SandersBCQuamtumgatesonhybridquditsJournalofPhysicsA

45、:MathemticalandGeneral,2003:535-537LanyonBP,BarbieriM,AlmeidaMPetalQuantumcomputingusingshortcutsthroughhigherdimesionsarXivQuantumPhysics,2008,0272:1-7NidlsenMA,ChuangILQuantumComputationandQuantumInformationCambrideUniversityPress,2008:178-183李志强，李文骞，陈汉武.量子可逆逻辑综合的关键技术及其算法J.软件学报，2009(9):332-343.8 方保镕,周继东,李医民等矩阵论M北京:清华大学出版社,2004