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1、11111 第六章第 41 炼 指对数比较大小第 41 炼 指对数比较大小不等式在填空选择题中我们会遇到一类比较大小的问题，通常是三个指数和对数混在一起，进行排序。这类问题如果两两进行比较，则花费的时间较多，所以本讲介绍处理此类问题的方 法与技巧一、一些技巧和方法1、如何快速判断对数的符号？八字真言“同区间正，异区间负”，容我慢慢道来：判断对数的符号，关键看底数和真数，区间分为(0,1)和(1,+)（1）如果底数和真数均在 (0,1)中，或者均在(1,+)中，那么对数的值为正数（2）如果底数和真数一个在(0,1)中，一个在(1,+)中，那么对数的值为负数例如：log 0.5 0,log 3 0
2、2等2、要善于利用指对数图像观察指对数与特殊常数（如 0,1）的大小关系，一作图，自明了 3、比较大小的两个理念：（1）求同存异：如果两个指数（或对数）的底数相同，则可通过真数的大小与指对数函数的单调性，判断出指数（或对数）的关系，所以要熟练运用公式，尽量将比较的对象转化为 某一部分相同的情况1 1 1例如： 33 ,4 4 ,5 2 ，比较时可进行转化，尽管底数难以转化为同底，但指数可以变为相同13 3=(34)12,44=(43)12,52 =(56)12，从而只需比较底数的大小即可（2）利用特殊值作“中间量”：在指对数中通常可优先选择“0,1”对所比较的数进行划分，然后再进行比较，有时可
3、以简化比较的步骤（在兵法上可称为“分割包围，各个击破”，也有 一 些 题 目 需 要 选 择 特 殊 的 常 数 对 所 比 较 的 数 的 值 进 行 估 计 ， 例 如 log 3 ， 可 知21 = l og12 l og 0,a 1, N 0 a a)aa23333111111第六章第 41 炼 指对数比较大小不等式（4）换底公式：log blog b = clog ac进而有两个推论：log b =a1log ab（令c =b）log Na mnn= log Nm二、典型例题：例 1：设a =log3p, b =log23, c =log32 ，则 a , b, c的大小关系是_思路
4、：可先进行 0,1 分堆，可判断出a 1,0 b 1,0 c 1 ，从而 a 肯定最大，只需比较b, c即可，观察到b, c有相同的结构：真数均带有根号，抓住这个特点，利用对数公式进行变换：b =log21 13 = log 3, c =log 2 = log 2 2 2，从而可比较出log 2 1 log 3 3 2，所以c b答案：c b a例 2：设a =log 2, b =ln 2, c =5 3-12，则a , b, c的大小关系是_思路：观察发现a , b, c均在(0,1)内，a , b的真数相同，进而可通过比较底数得到大小关系：a b，在比较和 c 的大小，由于 c 是指数，很
5、难直接与对数找到联系，考虑估计a , b, c值得大小：c =5-12=1 1 1log 3 =2 2，进而a 12c，所以大小顺序为b a c答案：b a c例 3：设a =ln2 ln3 ln5 , b = , c = ,2 3 5则a , b, c的大小关系为（ ）A.a b cB.a c bC.b a cD.b c a思路：观察到a , b, c都是以e为底的对数，所以将其系数“放”进对数之中，再进行真数的比较。a =ln 2 ln3 ln5=ln 2 2 , b = =ln3 3 , c = =ln5 2 3 515,发现真数的底与指数也不相同，所以依然考虑“求同存异”，让三个真数的
6、指数一致：212=(215)30,313=(310)30,55 =(56)30，通过比较底数的大小可得：b a c答案：C小炼有话说：（1）本题的核心处理方式就是“求同存异”，将三个数变形为具备某相同的部111322 5 5 5 第六章第 41 炼 指对数比较大小不等式分，从而转换比较的对象，将“无法比较”转变为“可以比较”（2）本题在比较指数幂时，底数的次数较高，计算起来比较麻烦。所以也可以考虑将这三个 数 两 两 进 行 比 较 ， 从 而 减 少 底 数 的 指 数 便 于 计 算 。 例 如 可 以 先 比 较a , b : 212= (23)6,33 = (32)6，从而a b aB
7、.b c aC.a c bD.a b c思路：观察可发现：a =log (32)=1+log2, b =log (52)=1+log2, c =log (72)=1+log23 3 5 5 7 7log 2 log 2 log 2 3 5 7答案：D，所以可得：a b c例 5：设2 3 2a = , b = , c = , 5 5 5 则a , b, c的大小关系为（ ）A.a b cB.a c bC.b a cD.b c a思路：观察可发现 b, c 的底数相同， a , c 的指数相同，进而考虑先进行这两轮的比较。对于b, c，两者底数在 (0,1)，则指数越大，指数幂越小，所以可得b
8、c ，综上： 答案：Ba c b例 6：已知三个数a =30.5 , b =log 2, c =cos332，则它们之间的大小关系是（ ）A.c b aB.c a bC.a b cD.b c 1，0 b, c cos log333 =1 1 ，从而 c b2 2，大小顺序为c b a答案：A小炼有话说：在寻找中间量时可以以其中一个为入手点，由于非特殊角的三角函数值可用特 殊角三角函数值估计值的大小，所以本题优先选择 c 作为研究对象。b +a b22b c 11第六章第 41 炼 指对数比较大小不等式例 7：（2015 甘肃河西三校第一次联考）设a =log 7, b =21.1 , c =0
9、.8 3.1 3，则（ ）A.b a cB.a c bC.c b aD.c a b思路：首先进行 0,1 分组，可得c 1 2, a =log 7 log 9 =2 ，所以 a 2 b ，从而 c a b 0, a +b =1且1 x = , y =log a 1 1 ab, z =log a1b，则x, y, z的大小关系是（ ）A.y x zB.z y xC.y z xD.x y b 0, a +b =1可得：0 b 12a 0，y, z 0 ，则 x 为最大，只需要比较 y , z 即可，由于 y , z 的底数与真数不同，考虑进行适当变形并寻找中间量。y =log1 1+a bab =
10、logab =log ab =-1 a +b 1ab ab，而z =log a =-log1bab，因为0 b 1，所以log a -1=y b b b，所以顺序为y z x答案：C例 9：下列四个数：a =(ln2)2,b =ln (ln2 ),c=ln 2, d =ln2的大小顺序为_思路：观察发现b =ln (ln2)0，其余均为正。所以只需比较a , c, d，考虑ln2 (0,1)，所以a d，而c =ln 2 =12ln2 0，所以a c ，综上所述， 大小顺序为b c a d答案：b c a d例 10：已知a, b, c均为正数，且1 1 2a =log a, =log b,2 2 2 2=log c2，则（ ）A.a b cB.c b aC.c a bD.b a 1，只需比较 a , b 大小即可。观察到2a1 12b，从而log a log b a b 1 12 2答案：A，所以顺序为a b c小炼有话说：本题也可用数形结合的方式比较大小，观察发现前两个等式右侧为y =log x12的形式，而第三个等式也可变形为1 - =-log c =log c 2 2，从而可以考虑视a , b, c分别为两个函数的交点。先作出y =log x12图像，再在这个坐标系中作出y =2x1 1 , y = , y =-2 2 ，比较交点的位置即可。
2020高考数学---指对数比较大小
