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1、孤岛疾病问题的探讨摘要建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律， 探索制止传染病蔓延的手段等，一直是各国有关专家和官员关注的课题。本文是一个孤岛疾病传播问题。首先根据孤岛的自身特征方面的条件解决问题 a:列出假设1、2,问题b:根据模型建立的被感染人数X与时刻t的关系，利用 mat lab软件画出dX/dt关于X的图像。问题c:又假设感染的人数X10 为常数：dX=kX (N - X)dt(a) 列出这个模型所隐含的两条主要假设，说明这些假设有什么依据？(b) 画出dX /dt关于X的图形(c) 若初始被感染的人数X N/2，画出X关于t的图形；若初始被感染人1数为
2、X N/2，画出X关于t的图形。1(d) 把X作为t的函数，解出前面给出的模型。(e) 由(d),当t趋于无穷时求X的极限。(f) 设岛上的人口有 5000人，在传染期的不同时刻被感染人数如下表天数t2610被感染人数X188740874853ln(X/(N-X)-0.51.53.5问这些数据能否支持所给的模型？(g) 利用的结果估计模型中的常数，并预测t=12天时被感染的人数。(h) 分析上述模型的优缺点，试给出改进方案。二、模型假设1、人口数量 N 不变，因为是孤岛。2、人口分为健康人和被感染的病人，数量分别为 X ,N-X。3、在规定的时刻内人口变化 X 取整数，因为人口为整数三、符号定
3、义说明X(t)： t时刻被感染的人数S (t)： t时刻未被感染的人数k :常数Cl、C2:皆为参数N :孤岛上的人口总数，即N=X (t) +S (t)四、模型的建立与求解4.1 模型的建立依据(a) 列出这个模型所隐含的两条主要假设，说明这些假设有什么依据？假设1人口数量N不变，因为是孤岛。假设2人口分为健康人和被感染的病人数量分别为X ,N-X。4.2 模型的建立与求解(b)画出dX/dt关于X的图形设 k=0.1X=0:0.1:l;ezplot(0.1*X*(l-X),0,l);(c)若初始被感染的人数X N/2，画出X关于t的图形。11、取 X 二 N/4，贝y1y=dsolve(D
4、y=0.1*y*(1-y),y(0)=0.25,x);ezplot(y,0,50);2、X1 3N/4，贝V y=dsolve(Dy=0.1*y*(l-y),y(0)=Q.X); ezplot(y,0,50);(d)把X作为t的函数，解出前面给出的模型。dx=kX (N - X) dtsyms N k:X=dsolve(DX=k*X* (N-X)X =N /(I + exp(-k * N * t)* Cl* N)即 X =11 + (C1N - N )e - kt(e) 由(d),当t趋于无穷时求X的极限。lim X = lim= Nt T8t T8 1 + (C1N N )e - kt(f)
5、 设岛上的人口有5000 人，在传染期的不同时刻被感染人数如下表天数t2610被感染人数X188740874853ln(X/(N-X)-0.51.53.5问这些数据能否支持所给的模型？由 X = 1 +(C1N 一 N)e-k-艮-1 =(C1N - NZUN XN X-1 = (C1N N)e-k n In= In(C1N N)e-kt nXXXIn= kt - C 2N - XX可以看出In为线性变化的，所以可以认为这些数据支持该模型。(g)利用的结果估计模型中的常数，并预测t=12天时被感染的人数。XIn= kt - C2 得到 k=0.5N - X再代入k值，得C1.5，而N=5000
6、, 当t=4+10=14时，可以解出X的值： X= 4979确定参数C1=N/X0，则有X =- N )e- kt五、模型评估及改进5.1 模型的优点(1)用假设分析、微分求导导数、线性相关等方法，解决问题，方法简单易懂，过程清晰且准确。(2)又利用matlab软件处理数据简单、准确、而且具有科学性，得到的结果更具说 服力。5.2 模型的缺点(1)在问题a的问题假设1没有考虑人口的流动量(2)在问题a的问题假设2没有考虑治愈问题等情况改进： 将对象分为三类：病人，健康人与治愈的人。符号说明：s(t)：健康者在总人数N中占的比例i (t)：病人在总人数N中占的比例r (t)：病愈免疫的移出者在总
7、人数N中占的比例模型假设：1.总人数 N 不变。人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出三类，时刻 t 三类人在总 人数 N 中占的比例分别记为 s(t)、 i(t)、 r(t).2病人的日接触率为九，日治愈率为卩，传染期接触数为。=入/卩模型构成：由假设 1 可得知 s(t)+i(t)+r(t)=1(1)对于病愈免疫的移出者有drN=卩 Ni(2)dt再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是s0(s00)和i0 (i0 0)(1) 、 (2) 模型的方程可以写成=九si - pi, i(0) = idt0ds=一九 si, s (0) = sI dt0-1我们在数值计算和图形观察的基础上，利用相轨
8、线讨论解i (t) ,s (t)的性质。 D = (s，i) |s0， i0 ， s + i 1/qt i(t)先升后降至0二传染病蔓延P2: s0vl/b T i(t)单调降至0二传染病不蔓延1/q阈值i.提高阈值i/q=降低（=“）=九J, pT 九（日接触率）/=卫生水平T 卩（日治愈率）T=医疗水平T2.降低sO=提高rO=群体免疫Q 的估计 s + i + r二1000忽略i0Ins Insb = o第s s0g1ss + i s + In = 0o ob s0参考文献：数学模型，姜启源编，高等教育出版社数学分析,陈纪修，于崇华,金路,高等教育出版社 附录：function y=ill(t,x)a=1;b=0.3; y=a*x(1)*x(2)-b*x(1);-a*x(1)*x(2);ts=0:50; x0=0.20,0.98;t,x=ode45(ill,ts,x0); plot(t,x(:,1),t,x(:,2)pauseplot(x(:,2),x(:,1)
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