中考培优中考综合题面积平分问题

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1、2018 年 4 月 35 日中考综合题-面积平分问题1问题探究：（1） 请在图中作出两条直线，使它们将圆面四等分；（2） 如图，M 是正方形 ABCD 内一定点，请在图中作出两条直线（要求其中一条直线必须过点 M）使它们将正方形 ABCD 的面积四等分，并说明理由问题解决：（3）如图，在四边形 ABCD 中，ABCD，AB+CD=BC，点 P 是 AD 的中点，如果 AB=a，CD=b ，且 b a，那么在边 BC 上是否存在一点 Q，使 PQ 所在直线将四边形 ABCD 的面积分成相等的两部分？如 若存在，求出 BQ 的长；若不存在，说明理由2探索发现：1 / 9（1） 如图 1，在ABC

2、 中，AD 是 BC 边上的中线，若ABC 的面积为 S，则ACD 的面积为 联系拓展：（2） 在图 2 中，E、F 分别是ABCD 的边 AB、BC 的中点，若ABCD 的面积为 S，求四边形 BEDF 的面 积？并说明理由（3） 在图 3 中，E、F 分别是ABCD 的边 AB、BC 上的点，且 AE= AB，BF= BC，若ABCD 的面积为 S，则四边形 BEDF 的面积为 解决问题：（4）如图 4 中，矩形 ABCD 中，AB=nBC（n 为常数，且 n0）E 是 AB 边上的一个动点，F 是 BC 边 上的一个动点若在两点运动的过程中，四边形 BEDF 的面积始终等于矩形面积的 ，

3、请探究线段 AE、 BF 应满足怎样的数量关系，并说明理由3如果图 1，已知直线 mn，A、B 为直线 n 上两定点，C、D 为直线 m 上两动点，容易证明：ABC 的面积=ABD 的面积；2 / 9问题探究（1） 在图 2 中画出与四边形 ABCD 面积相等且以 AB 为一条边的三角形（2） 在图 3 中，已知正方形 ABCD 的边长为 4，G 是边 CD 上一点，以 CD 为边作正方形 GCEF，当 CG=a 时，求BDF 的面积问题解决（3）李大爷家有一块正方形的果园如图 4 所示，由于修建道路，图中三角形 BCE 区域将被占用，现 决定在 DE 右侧补给一块土地，补偿后，果园将调整为四

4、边形 ABMD ，要求补偿后的四边形 ABMD 的 面积与原来形正方形 ABCD 的面积相等且 M 在射线 BE 上请你在图 4 中通过画图来确定 M 点的位置， 并简要叙述画法和理由；若 AB=4，CE=a，求出上图中 tanMDC 的值4问题提出（1）如图，ABC 是等边三角形，AB=12 ，若点 O 是ABC 的内心，则 OA 的长为 ； 问题探究3 / 9（2）如图，在矩形 ABCD 中，AB=12 ，AD=18，如果点 P 是 AD 边上一点，且 AP=3 ，那么 BC 边上 是否存在一点 Q，使得线段 PQ 将矩形 ABCD 的面积平分？若存在，求出 PQ 的长；若不存在，请说明

5、理由问题解决（3）某城市街角有一草坪，草坪是由ABM 草地和弦 AB 与其所对的劣弧围成的草地组成，如图 所示管理员王师傅在 M 处的水管上安装了一喷灌龙头，以后，他想只用喷灌龙头来给这块草坪浇 水，并且在用喷灌龙头浇水时，既要能确保草坪的每个角落都能浇上水，又能节约用水，于是，他让 喷灌龙头的转角正好等于AMB（即每次喷灌时喷灌龙头由 MA 转到 MB，然后再转回，这样往复喷 灌）同时，再合理设计好喷灌龙头喷水的射程就可以了如图，已测出 AB=24m，MB=10m，AMB 的面积为 96m 2；过弦 AB 的中点 D 作 DE AB 交于点E，又测得 DE=8m 请你根据以上信息，帮助王师傅

6、计算喷灌龙头的射程至少多少米时，才能实现他的想法？为什么？（结 果保留根号或精确到 0.01 米）5 提出问题：爸爸出差回家带了一个分布均匀的等腰三角形蛋糕礼物给儿子（如图 1 ，AB=BC，且 BCAC），在蛋糕的边缘均匀分布着巧克力，双胞胎儿子大毛和小毛决定只切一刀将这块蛋糕平分吃 （要求分得的蛋糕和巧克力质量都一样）4 / 91231 23背景介绍：这条分割直线即平分了三角形的面积，又平分了三角形的周长，我们称这条线为三角形的 “等分积周线”尝试解决：（1） 大毛很快就想到了一条分割直线，而且用尺规作图作出请你帮大毛在图1 中作出这条“等分积 周线”，从而平分蛋糕（2） 小毛觉得大毛的方

7、法很好，所以自己模仿着在蛋糕上过点 C 画了一条直线 CD 交 AB 于点 D你 觉得小毛会成功吗？如能成功，说出确定的方法；如不能成功，请说明理由（用图 2 说明） （3）若 AB=BC=5cm，AC=6cm，如图 3，你能找出几条ABC 的“等分积周线”，请分别画出，并简要 说明确定的方法6（1）请在图中画出与ABC 面积相等的三个三角形：ABC 、ABC 、ABC ，其中点 C 、C 、 C 为ABC 所在平面上异于点 C 的三个不同点；（2）请在图中射线 BC 上通过画图确定一点 E，使得 SABE=S四边形ABCD，并简要叙述画法和理由；5 / 9问题解决（4）李大爷家有一块果园如图

8、中的四边形 ABCD，由于修路，图中三角形 CEF 区域将被占用，现决 定在 DF 的右侧补给他一块土地，要求补偿前后的总面积不变，已知A=135 ，B=60，D=105 ，AB=350m，BE=（100+50）m，CF=300m ，DF=100m，若所补区域为三角形 DFG，且点 G 在射线 EF上，请求出符合条年的 FG 的长度7问题探究（1） 如图 1，点 E 为矩形 ABCD 内一点，请过点 E 作一条直线，将矩形 ABCD 的面积分为相等的两部 分；（2） 如图 2，在矩形 ABCD 中，AB=8，BC=6 ，P 为对角线 AC 上一点，且 AC=3AP，请问在边 CD 上是6 /

9、9否存在一点 E，使得直线 PE 将矩形 ABCD 的面积分为 2：3 两部分，如果存在求出 DE 的长；如果不 存在，请说明理由；解决问题（3）如图 3，现有一块矩形空地 ABCD，AB=80 米，BC=60 米，P 为对角线 AC 上一点，且 PC=3AP ， 计划在这块空地上修建一个四边形花园 AECF，使得 E、F 分别在线段 AD、AB 上，且 EF 经过点 P，若 每平方米的造价为 100 元，请求出修建该花园所需费用的范围（其他费用不计）8平面上有三点 M、A、B，若 MA=MB ，则称点 A、B 为点 M 的等距点7 / 9问题探究：（1）如图，在ABC 中，AB=AC ，点

10、P 为 AB 上一点，试在 AC 上确定一点 Q ，使点 P、 Q 为点 A 的等距点；（2）如图，平行四边形 ABCD 的对角线 AC 、BD 交于点 O，点 P 是 AD 边上一定点，试在 BC 边上 找点 Q，使点 P、Q 为点 O 的等距点，并说明理由问题解决：（3）如图，在正方形 ABCD 中，AB=1，点 P 是对角线 AC 上一动点，在边 CD 上是否存在点 Q，使 点 B、Q 为点 P 的等距点，同时使四边形 BCQP 的面积为正方形 ABCD 面积的一半？若存在这样的点 Q， 求出 CQ 的长；若不存在，说明理由9提出问题在一个图形上画一条直线，若这条直线既平分该图形的面积，

11、又平分该图形的周长，我们称这条直线8 / 9为这个图形的“等分积周线”探究问题（1） 如图，在 RtABC 中，ACB=90，ABC=45，AB=4，请你过点 C 画出ABC 的一条“等分 积周线”，与 AB 交于点 D，并求出 CD 的长；（2） 如图，在ABC 中，AB=BC，且 BCAC，过点 C 画一条直线 CE，其中点 E 为 AB 上一点，你 觉得 CE 可能是ABC 的“等分积周线”吗？请说明理由；解决问题（3）西安市区的环境越来越美，随处可见的街心花园成为人们休闲的好去处在某地的街心花园中 有一块如图所示的空地 ABCD，其中A=B=90 ，AB=4，BC=6，CD=5，现要在这块空地上修建一 条笔直的水渠（渠宽不计），使这条水渠所在的直线既平分四边形 ABCD 的周长，又平分四边形 ABCD 的面积，且要求这条水渠必须经过 BC 边请你画出所有满足条件的水渠，说明理由，并求出该水渠 与 BC 边的交点到点 B 的距离9 / 9