外接球与内切八大模型—老师专用

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1、外接球与内切八大模型老师专用类型一、墙角模型（三条线两个垂直，不找球心的位置即可求出球半径）(3)题-1(3)题-2方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2二a2 + b2 + c 2,即2 R = ,；a2 + b2 + c2 ,求出R例1（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4 ，体积为16，则这个球的表面积是（ C ）A. 16兀B. 20kc. 24兀D. 32兀（2）若三棱锥的三个侧面两垂直，且侧棱长均为，则其外接球的表面积是 9k解：(1) V = a2h = 16, a = 2 , 4R2 = a2 + a2 + h2 = 4 + 4 +16 = 24 , S =

2、 24k，选 c；(2) 4R2 = 3 + 3 + 3 = 9 , S = 4kR2 = 9k（3）在正三棱锥S - ABC中，M、N分别是棱SC、BC的中点，且AM丄MN，若侧棱SA = 2打，则正三棱锥S -ABC外接球的表面积是。36k解：引理： 正三棱锥的对棱互垂直。证明如下：如图（3）-1,取AB,BC的中点D,E，连接AE,CD , AE,CD交于H，连接SH，则H是底面正三角形ABC的中心，SH丄平面ABC ,SH丄AB ,AC = BC , AD = BD, . CD 丄 AB , . AB 丄平面SCD ,. AB 丄 SC ，同理： BC 丄 SA ， AC 丄 SB ，

3、即正三棱锥的对棱互垂直 本题图如图(3) -2, AM 丄MN , SB/MN ,.AM 丄 SB , AC 丄 SB , . SB 丄平面SAC ,.SB 丄 SA, SB 丄 SC , SB 丄 SA, BC 丄 SA,.SA 丄平面 SBC , . SA 丄 SC,故三棱锥S - ABC的三棱条侧棱两两互相垂直,.(2R)2 = (23)2 + (23)2 + (.-3)2 = 36 ,即 4R2 = 36 ,正三棱锥S - ABC外接球的表面积是36k(4)在四面体S - ABC中，SA丄平面ABC , ABAC二120。, SA二AC二2, AB二1,则该四面体的外接球的表面积为(D

4、 ) A.11兀B7C.10 “3d.40 “(5)如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3，那么它的外接球的表面积 (6)已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，贝y该几 何体外接球的体积为解析：(4)在 AABC 中，BC2 = AC2 + AB2 2AB -BC -cos 120 = 7，BC =、订，AABC的外接球直径为2r =BCsin ABAC(2R)2 二(2r)2 + SA2 二34C类型二、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)a = bsin A sin B001=2PAPCADB(5)三条侧棱两两生直，设三条侧棱长分

5、别为a,b,c ( a,b,c g R + )，则ab = 12 bc = 8 ， /. abc = 24， /. a = 3， b 二 4， c 二 2， (2R)2 = a2 + b2 + c2 = 29， S = 4兀R2 = 29兀，ac = 6(6) (2R)2 = a2 + b2 + c2 = 3，1.题设：如图5, PA丄平面ABC解题步骤：第一步：将AABC画在小圆面上，A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接PD，则PD必过球心O ；第二步：O为AABC的外心，所以00丄平面ABC，算出小圆O的半1 1 1径01D=r (三角形的外接圆直径算法：利用正弦定理，得第三步：

6、利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 = PA2 + (2r)2 O 2R = (PA2 + (2r)2 ； R2 = r2 + OO2 O R = vr2 + 00 21X12.题设：如图6, 7, 8, P的射影是AABC的外心O三棱锥P - ABC的三条侧棱相等O 三棱锥P - ABC的底面AABC在圆锥的底上，顶点P点也是圆锥的顶点第一步：确定球心O的位置,取AABC的外心O1，则p,o, O1三点共线;第二步：先算出小圆Oi的半径AOi - r，再算出棱锥的高POi - h （也是圆锥的高）；第三步：勾股定理：OA2 - O1A2+O1O2 nR2 - (h-R)2+r2 解

7、出R方法二：小圆直径参与构造大圆。例2 一个几何体的三视图如右图所示,1鼠C. -则该几何体外接球的表面积为（）CD.以上都不对解：选 C, (.3 R)2 +1 R2, 3 2、：3R + R2 +1 R2, 4 2 3R 0,16兀3类型三、切瓜模型(两个平面互相垂直)1. 题设：如图9-1,平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC (即AC为小圆的直径)第一步：易知球心O必是APAC的外心，即APAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径AC二2r ；abc第二步：在APAC中，可根据正弦定理=2R，求出Rsin A sin B sin C2. 如图9-2，平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC (

8、即AC为小圆的直径)OC2 = O C2 + O O2 o R2 = r2 + O O2 o AC 二 2、；R2 O O2iii、13. 如图9-3,平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC (即AC为小圆的直径)，且P的射影是AABC的 外心O三棱锥P ABC的三条侧棱相等O三棱P ABC的底面AABC在圆锥的底上，顶点P点也是 圆锥的顶点解题步骤：第一步：确定球心O的位置，取AABC的外心O，则P, O, O三点共线；11第二步：先算出小圆O的半径AO = r，再算出棱锥的高PO = h (也是圆锥的高)；1 1 1第三步：勾股定理：OA2 二 O A2 + OO2 n R2 二(h R)2

9、 + r2 ,解出 R114. 如图9-3,平面PAC丄平面ABC，且AB丄BC (即AC为小圆的直径)，且PA丄AC，贝y利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2二PA2 + (2r)2 o 2RPA2 + (2r)2 ； R2 = r2 + OO2 o R = Jr2 + OO 21 、 1例3 (1)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1,底面边长为2訂，则该球的表面积为。(2)正四棱锥S ABCD的底面边长和各侧棱长都为厅，各顶点都在同一个球面上，则此球的体积为一解：(1)由正弦定理或找球心都可得2R = 7 , S = 4兀R2 = 49兀,4兀(2)方法一：找球心的位置

10、，易知r = 1, h = 1, h = r ,故球心在正方形的中心ABCD处，R = 1, V = 丁 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是ASAC的外接圆，此处特殊，RtASAC的斜边是球半径，4兀2 R = 2 , R = 1, V =（3）在三棱锥P - ABC中，PA = PB = PC = j3 ,侧棱PA与底面ABC所成的角为60 ,则该三棱锥外接球的体积为（ ）兀A兀B.亍C. 4兀解：选D,圆锥A,B,C在以r二的圆上,（4）已知三棱锥S - ABC的所有顶点都在球O的求面上，AABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC = 2，则此棱锥的体积为（）AABD解：

11、00 = ： R2 r2 =1i1 辭、6 7 2J6 ；1亍=h =2屈迈题设：如图10-1，图10-2，图10-3，直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形） 第一步：确定球心0的位置，01是AABC的外心，则00丄平面ABC ；:r 2 + (- )22，解出 R第二步：算出小圆01的半径a01=r，001=2 AA1=2h（ AA1=h也是圆柱的高）；第三步：勾股定理：0A2 = 0 A2 + 0 02 n R2 =11例4（1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上9且该六棱柱的体积为6，底面周长为3，则这个

12、球的体积为81解：设正六边形边长为a，正六棱柱的咼为h，底面外接圆的关径为r，则a = 2，底面积为S = 6 -2 =空，V8柱=Sh=子h=8，二h=訂，R 2=()2+G)2=L4兀R = 1，球的体积为V = 3EC的表面积为160兀31 - 解析：BC2 16 + 36 2 - 4 - 6 - 28，BC 2胡，24訂2訂(竺)2 空 + 4 - 40，S -233160兀3类型五、折叠模型第一步：先画出如图所示的图形，将ABCD画在小圆上，找出ABCD和AABD的外心H和H ；12(2)直三棱柱ABC- ABC的各顶点都在同一球面上，若AB二AC二AA二2 , ZBAC二120。，

13、则此1 1 1 1球的表面积等于。解：BC = 2 叮 3， 2r = 4， r = 2， R = x/5， S 二 20sin120(3)已知AEAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂直，EA EB = 3, AD = 2, ZAEB = 60。，则多面体 E ABCD 的外接球的表面积为。16兀解析：折叠型，法一：AEAB的外接圆半径为r -运，00 1，1 1, 问.133 13R i：l + 3 2 ；法二：O M ， r O D ， R2 + 4， R 2， S 161 22 2 24 4兀(4)在直三棱柱ABC ABC中，AB 4, AC 6, A , AA 4则直三棱柱AB

14、C ABC的外接球1 1 1 3 1 1 1 1第二步：过H和H分别作平面BCD和平面ABD的垂线，两垂线的交点即为球心O,连接OE, OC ； 12第三步：解AOEH，算出OH，在RtAOCH中，勾股定理：OH2 + CH2 OC21 1 1 1 1例5三棱锥P- ABC中，平面PAC丄平面ABC， PAC和厶ABC均为边长为2的正三角形，则三棱 锥P ABC外接球的半径为.解析：2r = 2r122sin 60。2r = r =12-3O2日=占145R2 = OH2 + r2 =+= , R =2133315法二：O2H =13R2 = AO2 = AH2 + OH2 + OO2 = 5

15、 , R =空i i 33类型六、对棱相等模型（补形为长方体） 题设：三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（ AB = CD ，AD = BC ，AC =BD） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c, AD = BC = x , AB = CD = y , AC = BD = z ,列方程组,a 2 + b2 = x2X 2 + y 2 + z 2 b2 + c2 = y2 = (2R)2 = a2 + b2 + c2 =,c2 + a2 = z 2补充： V = abc - abc x 4 =丄abcA-BCD63

16、第二步：根据墙角模型，2R = t：a2 + b2 + c2 =X 2 + y 2 + z 21 x 2 + y 2 + z 2R2 = - y -，R =、一 y -，求出R，例如,正四面体的外接球半径可用此法。例6（1）棱长为2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上,个截面如图，贝惬中三角形（正四面体的截面）的面积是（2） 个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（3B. 133C 4其中底面的三个顶点12解：（1）截面为APCO,面积是迈；（2）高h = R = 1,底面外接圆的半径为R = 1，直径为2 R = 2,设底面边长为a，则2R =

17、一0农=2，a =爲，S = a2 =孚,sm 60。44（1）题解答图1J3三棱锥的体积为卩=3 Sh =(3)在三棱锥A-BCD中，AB = CD = 2, AD = BC = 3, AC = BD = 4,则三棱锥A-BCD外接球的表29面积为O 兀 解析：如图12,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c ,则a2 + b2 = 9 ,b2 + c2 = 4， c2 + a2 = 16 2(a2 + b2 + c2)二 9 + 4 +16 = 29， 2(a2 + b2 + c2)二 9 + 4 +16 = 29，292929a 2 + b 2 + c 2

18、=， 4 R 2 =， S = 兀222（4）如图所示三棱锥A一BCD，其中AB = CD = 5, AC = BD = 6, AD = BC = 7,则该三棱锥外接球的 表面积为.解析：同上，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c，2(a2 + b2 + c2) = 25 + 36 + 49 = 110， a2 + b2 + c2 = 55， 4R2 = 55， S = 55兀【55兀；对称几何体；放到长方体中】（5）正四面体的各条棱长都为，则该正面体外接球的体积为解析：这是特殊情况，但也是对棱相等的模式，放入长方体中，2R =込，类型七、两直角三角形拼接在一起

19、（斜边相同,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型）125C.兀64 4 125兀3386（2）在矩形ABCD 中, AB = 2, BC = 3,沿BD将矩形ABCD折叠，连接AC ,所得三棱锥A BCD 的外接球的表面积为.125D.兀3125兀，选C题设：ZAPB = ZACB = 90 ,求三棱锥P - ABC外接球半径（分析：取公共的斜边的中点O，连接OP,OC，则OA = OB = OC = OP = 2 AB , . O为三棱锥P ABC外接球球心，然后在OCP中求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都为定 值。例7（1）在矩

20、形ABCD中，AB = 4, BC = 3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B AC D , 则四面体ABCD的外接球的体积为（125125A.兀B.兀1295解：（1） 2R = AC = 5 , R = , V =兀R3 =23解析：（2） BD的中点是球心O , 2R = BD =、：13， S = 4兀R2 = 13兀；类型八、锥体的内切球问题1.题设：如图14,三棱锥P - ABC上正三棱锥，求其外接球的半径。第一步：先现出内切球的截面图， E,H 分别是两个三角形的外心；第二步：求 DH = 3 BD , PO = PH r , PD 是侧面 AABP 的高;第三步：OE PO

21、由APOE相似于APDH，建立等式：= ，解出rDH PDACB图142.题设：如图15,四棱锥P - ABC上正四棱锥，求其外接球的半径第一步：先现出内切球的截面图， P,O,H 三点共线；第二步：求 FH = 2BC , PO = PH r , PF 是侧面 APCD 的高;第三步：OG PO由APOG相似于APFH，建立等式：= ，解出HF PF图153.题设：三棱锥P ABC是任意三棱锥，求其的内切球半径 方法：等体积法，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为r，建立等式：VP ABCV =1S - r

22、+1S - r +1S - r +1SP ABC3 AABC3 PAB3 PAC3 PBC二 V + V + VO ABCOPABOPAC-r = 1( S + S + S + S ) - r3A ABCA PABPACA PBC3V第三步：解出r =p abcS + S + S + SOABCOPABOPACOPBC习题：1. 若三棱锥S - ABC的三条侧棱两两垂直，且SA 2 ,A. 3B. 6C. 36D. 9解：【A】(2R)2 、；4 +16 +16 6 , R 3【三棱锥有一侧棱垂直于底面，且底面是直角三角形】+ VO-PBCSB = SC = 4,则该三棱锥的外接球半径为()共

23、两种】2. 三棱锥S ABC中，侧棱SA丄平面ABC，底面ABC是边长为謳的正三角形，SA = 2勇，则该三32兀棱锥的外接球体积等于a/3432兀解析：2r 二=2 , (2R)2 = 4 +12 = 16 , R2 = 4 , R = 2，外接球体积三兀 8 =sin 60。33【外心法(加中垂线)找球心；正弦定理求球小圆半径】3.正三棱锥S - ABC中，底面ABC是边长为訂3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱锥的外接球体积等 于.解析：AABC外接圆的半径为，三棱锥S ABC的直径为2R = 2 =，外接球半径R 亠,sm60。 J3v32448 32或R2 （R ：3）2 +1, R

24、= ，外接球体积V =兀R3 =兀*乜 333 3/24.三棱锥P- ABC中，平面PAC丄平面ABC , PAC边长为2的正三角形，AB丄BC，则三棱锥 P - ABC外接球的半径为.242解析：ApAC的外接圆是大圆，2 R ，R ，sm60 寸3羽5.三棱锥P ABC中，平面PAC丄平面ABC， AC 2， PA PC 3， AB丄BC，则三棱锥 P ABC外接球的半径为.卄 /D PA2 + PC 2 AC29 + 9 47 /D 1 昇、16 - 2. /D 4 迈解析：cos ZP = ， sm2 ZP 1 ()2 ， sin ZP 2 PA - PC2 - 3 - 3 998192 R亠=2 -薛，R -密4j2 2J24896.三棱锥P ABC中，平面PAC丄平面ABC，AC 2，PA丄PC，AB丄BC，则三棱锥P ABC 夕卜接球的半径为.解：AC是公共的斜边，AC的中点是球心O，球半径为R 1