《点、直线与圆锥曲线的位置关系》教案(公开课)

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1、点、直线与圆锥曲线的位置关系教案一、教学目标(一)知识教学点使学生掌握点、直线与圆锥曲线的位置及其判定，重点掌握直线与圆锥曲线 相交的有关问题(二)能力训练点通过对点、直线与圆锥曲线的位置关系的研究，培养学生综合运用直线、圆 锥曲线的各方面知识的能力(三)学科渗透点通过点与圆锥曲线的位置及其判定，渗透归纳、推理、判断等方面的能力 二、教材分析1重点：直线与圆锥曲线的相交的有关问题(解决办法：先引导学生归纳出直线与圆锥曲线的位置关系，再加以应用) 2难点：圆锥曲线上存在关于直线对称的两点，求参数的取值范围(解决办法：利用判别式法和内点法进行讲解)3疑点：直线与圆锥曲线位置关系的判定方法中=0 不

2、是相切的充要条件 (解决办法：用图形向学生讲清楚这一点)三、 活动设计四、 教学过程(一)问题提出1点 P(x0，y0)和圆锥曲线 C：f(x，y)=0 有哪几种位置关系？它们的条件 是什么？引导学生回答，点 P 与圆锥曲线 C 的位置关系有：点 P 在曲线 C 上、点 P 在曲线 C 内部(含焦点区域)、点 P 在曲线的外部(不含焦点的区域)那么这三种 位置关系的条件是什么呢？这是我们要分析的问题之一2直线 l：Ax+By+C=0 和圆锥曲线 C：f(x，y)=0 有哪几种位置关系？第 1 页 共 7 页引导学生类比直线与圆的位置关系回答直线 l 与圆锥曲线 C 的位置关系可 分为：相交、相

3、切、相离那么这三种位置关系的条件是什么呢？这是我们要分 析的问题之二(二)讲授新课1点 M(x0，y0)与圆锥曲线 C：f(x，y)=0 的位置关系的焦点为 F1、F2，y2=2px(p0)的焦点为 F，一定点为 P(x0，y0)，M 点到 抛物线的准线的距离为 d，则有：(由教师引导学生完成，填好小黑板)上述结论可以利用定比分点公式，建立两点间的关系进行证明2直线 lAxBxC=0 与圆锥曲线 Cf(x，y)0 的位置关系：直线与圆锥曲线的位置关系可分为：相交、相切、相离对于抛物线来说， 平行于对称轴的直线与抛物线相交于一点，但并不是相切；对于双曲线来说，平 行于渐近线的直线与双曲线只有一个

4、交点，但并不相切这三种位置关系的判定 条件可引导学生归纳为：第 2 页 共 7 页注意：直线与抛物线、双曲线有一个公共点是直线与抛物线、双曲线相切的 必要条件，但不是充分条件3应用求 m 的取值范围解法一：考虑到直线与椭圆总有公共点，由直线与圆锥曲线的位置关系的充 要条件可求由一名同学演板解答为：由椭圆方程及椭圆的焦点在 x 轴上，知：0m5又 直线与椭圆总有公共点，即(10k)2-4x(m+5k2)5(1-m)0，亦即 5k21-m 对一切实数 k 成立1-m0，即 m1故 m 的取值范围为 m(1，5)解法二：由于直线过定点(0，1)，而直线与椭圆总有公共点，所以定点(0， 1)必在椭圆内

5、部或边界上，由点与椭圆的位置关系的充要条件易求另解：由椭圆方程及椭圆的焦点在 x 轴上知：0m5又直线与椭圆总有公共点 直线所经过的定点(0，1)必在椭圆内部或边界上第 3 页 共 7 页120故 m 的取值范围为 m(1，5)，小结：解法一由直线与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路易得，但计 算量大；解法二由点与圆锥曲线的位置关系的充要条件求，思路灵活，且简捷称，求 m 的取值范围 解法一：利用判别式法并整理得：直线 l与椭圆 C 相交于两点，解法二：利用内点法设两对称点为 P1(x ，y1)，P2(x ，y2)，P1P2 的中点为 M(x ，y0)，第 4 页 共 7 页2 22y1+y

6、 =3(x1+x )(1)小结：本例中的判别式法和内点法，是解决圆锥曲线上存在两点关于直线的 对称的一般方法，类似可解抛物线、双曲线中的对称问题练习 1：(1)直线过点 A(0，1)且与抛物线 y2=x 只有一个公共点，这样的直 线有几条？(2)过点 P(2，0)的直线 l 与双曲线 x2-y2=1 只有一个公共点，这样的直线 有几条？由学生练习后口答：(1)3 条，两条切线和一条平行于 x 轴的直线；(2)2 条， 注意到平行于渐近线的直线与双曲线只有一个交点，故这样的直线也只有 2 条练习 2：求曲线 Cx2+4y =4 关于直线 y=x-3 对称的曲线 C的方程 由教师引导方法，学生演板

7、完成解答为：第 5 页 共 7 页2设(x，y)是曲线 C 上任意一点，且设它关于直线 y=x-3 的对称点为(x，y)又(x，y)为曲线 C 上的点，(y+3)2+4(x-3)2=4曲线 C 的方程为：4(x-3) +(y+3)2=4(三)小结本课主要研究了点、直线与圆锥曲线的三种位置关系及重要条件 五、布置作业的值2 k 取何值时，直线 ykx 与双曲线 4x2-y2=16 相交、相切、相离？3 已知抛物线 x=y2+2y 上存在关于直线 y=x+m 对称的相异两点，求 m 的取 值范围作业答案：1由弦长公式易求得：k=-4当 4-k2=0，k=2， y=2x 为双曲线的渐近线，直线与双曲线相离 当 4-k20 时，=4(4-k2)(-6)(1) 当0，即-2k2 时，直线与双曲线有两个交点(2) 当0，即 k-2 或 k2 时，直线与双曲线无交点(3) 当=0，即 k=2 时，为渐近线，与双曲线不相切故当-2k2 时，直线与双曲线相交当 k-2 或 k2 时，直线与双曲线相离第 6 页 共 7 页六、板书设计第 7 页 共 7 页