与球有关的切、接问题(有答案)

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1、.For personal use only in study and research; not forcommercial use与球有关的切、接问题41球的表面积公式：S4R2；球的体积公式 V R332与球有关的切、接问题中常见的组合：(1)正四面体与球：如图，设正四面体的棱长为 a，切球的半径为 r，外接球的半径为 R，取 AB 的中点为 D，连接 CD，SE 为正四面体的高，在截面三角形 SDC 作一个与边 SD 和 DC 相切，圆心在高 SE 上的圆因为正四面体本身的对称性，切球和外接球的球心同为 O.此时，COOSR，OEr，SEa2 6 62a，则有 Rra，R2r2|CE|

2、2 ，解得 R a，r a.33 4 1223a，CE33(2)体与球：体的切球：截面图为形 EFHG 的切圆，如图所示设体的棱a长为 a，则|OJ|r (r2为切球半径)与体各棱相切的球：截面图为形 EFHG 的外接圆，则|GO|R2a.2Word 专业资料112122.体的外接球：截面图为形 ACC A 的外接圆，则|A O|R1 1 13a.2(3)三条侧棱互相垂直的三棱锥的外接球：如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等，则可以补形为一个体，体的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心即三棱锥 A AB D 的外1 1 1接球的球心和体 ABCD A B C D 的外接球的球心重合如图，设AA

3、 a，1 1 1 1 1则 R3a.2如果三棱锥的三条侧棱互相垂直但不相等，则可以补形为一个长方体，长方体的外a2接球的球心就是三棱锥的外接球的球心R2b24c2 l2 (l 为长方体的体对角线长) 4角度一：正四面体的切球S1(2015模拟)若一个正四面体的表面积为 S ，其切球的表面积为 S ，则 _. S2解析：设正四面体棱长为 a，则正四面体表面积为 S 4134a2 3a2，其切球半径1 1 6 6 a2 S 3a2为正四面体高的 ，即 r a a，因此切球表面积为 S 4r2 ，则 4 4 3 12 6 S a2663.角度二：直三棱柱的外接球2(2015统考)如图，直三棱柱 AB

4、C A B C 的六个顶点都在半径为1 1 11 的半球面上， AB AC，侧面 BCC B 是半球底面圆的接形，则侧面1 1Word 专业资料11 .ABB A 的面积为( )1 1A2 B1 C. 2D.22解析：选 C 由题意知，球心在侧面 BCC B 的中心 O 上，BC 为截1 1面圆的直径，BAC90，ABC 的外接圆圆心 N 是 BC 的中点，同理A B C 的外心 M 是 B C 的中心设形 BCC B 的边长为 x，RtOMC 1 1 1 1 1 1 1 1x x x x 中，OM ，MC ，OC R1(R 为球的半径)，222 2 2 2即 x 2，则 ABAC1，S 矩形

5、 ABB A 21 2.1 11，角度三：体的外接球3一个体削去一个角所得到的几何体的三视图如图所示(图中三个四边形都是边长为 2 的形)，则该几何体外接球的体积为_解析：依题意可知，新的几何体的外接球也就是原体的外接球，要求的直径就是体的体对角线；2R23(R 为球的半径)，R43，球的体积 V R3433.答案：4 3角度四：四棱锥的外接球4(2014大纲卷)正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为4，底面边长为 2，则该球的表面积为( )81 27A. B16 C9 D.4 4解析：选A 如图所示，设球半径为 R，底面中心为 O且球心为 O，正四棱锥 P ABCD 中 AB2，AO

6、2.PO4，在 AOO中，AO2AO2OO2，R2(2)2(4R)2，解得 RWord 专业资料球.9 9 81，该球的表面积为 4R242 ，故选 A.4 4 4类题通法“切”“接”问题的处理规律1“切”的处理解决与球的切问题主要是指球切多面体与旋转体，解答时首先要找准切点，通过作截面来解决如果切的是多面体，则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作 2“接”的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题解决这类问题的关键是抓住 外接的特点，即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径牛刀小试1(2015一检)如果一个空间几何体的正视图、侧视图、俯视图都是半径等于 5 的圆， 那么这个空间

7、几何体的表面积等于( )100 25A100 B. C25 D.3 3解析：选 A 易知该几何体为球，其半径为 5，则表面积为 S4R2100.2(2014高考)已知底面边长为 1，侧棱长为 上，则该球的体积为( )2的正四棱柱的各顶点均在同一个球面32A.3B4 C24D.3解析：选 D 因为该正四棱柱的外接球的半径是四棱柱体对角线的一半，所以半径 r121212(2)24 41，所以 V 13 .故选 D.3 33已知正六棱柱的 12 个顶点都在一个半径为 3 的球面上，当正六棱柱的底面边长为 Word 专业资料3 球A, B O.6时，其高的值为( )A3 3 B. 3 C2 6 D2

8、3解析：选 D 设正六棱柱的高为 h，则可得( 6)2h2 324，解得 h23.4(2015四校联考)将长、宽分别为 4 和 3 的长方形 ABCD 沿对角线 AC 折起，得到 四面体 A BCD，则四面体 A BCD 的外接球的体积为_解析：设 AC 与 BD 相交于 O，折起来后仍然有 OAOBOCOD，外接球的半径 r3242 5 4 5 125 ，从而体积 V 3 .2 2 3 2 65一个圆锥过轴的截面为等边三角形，它的顶点和底面圆周在球 O 的球面上，则该 圆锥的体积与球 O 的体积的比值为_1解析：设等边三角形的边长为 2a，则 V a2圆锥3a3a3；又 R2a2( 332a

9、R)2，所以 R3 4 2 3 32 3 9 a，故 V a 3 a3，则其体积比为 .3 3 3 27 32高考全国课标卷真题追踪1（15 课标 1 理）已知 是球 的球面上两点， AOB =900,C为该球面上的动点，若O -ABC三棱锥体积的最大值为 36，则球O的表面积为（ C ）(A)36p(B)64p(C)144p(D)256p2.（13 课标 1 理）如图，有一个水平放置的透明无盖的体容器,容器高 8cm,将一个球放在容器口 ,再向容器注水 ,当球面恰好接触水面时测得水深为 6cm,如不计容器的厚度,则球的体积为( A )Word 专业资料.500 866（A） cm3 （B）

10、cm 3 3 31372 2048 （C） cm 3 （D） cm3 333.（12 课标理）已知三棱锥 S -ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, DABC 是边长为 1 的 正三角形, SC 为球 O 的直径,且 SC =2 ,则此棱锥的体积为（ A ）(A)2 3 2 2(B) (C) （D）6 6 3 24.（12 课标文）平面a截球O的球面所得圆的半径为 1,球心O到平面a的距离为2,则此球的体积为 （ B ）（A） 6 （B）4 3 （C）4 6 （D）6 35.（10 新课标理）设三棱柱的侧棱垂直于底面,所有棱长都为 a ,顶点都在一个球面上,则该 球的表面积为( B )(A

11、) pa2(B)73pa2(C)113pa2(D)5pa26.（10 新课标文）设长方体的长、宽、高分别为 表面积为( B )2a , a , a,其顶点都在一个球面上,则该球的（A） 3pa2（B） 6pa 2（C） 12pa 2（D） 24pa 27 （07 新课标文）已知三棱锥S -ABC的各顶点都在一个半径为r的球面上 ,球心O在AB 上, SO底面 ABC , AC = 2r,则球的体积与三棱锥体积之比是（）.2.3.48.（13 新课标 2 文）已知正四棱锥 O -ABCD 的体积为3 22,底面边长为 3 ,则以 O 为球心,OA为半径的球的表面积为24p。Word 专业资料p.

12、9.（13新课标1文）已知 H 是球 O 的直径 AB 上一点, AH : HB =1: 2 , AB 平面 a, H 为垂足, a截球 O所得截面的面积为 ,则球O的表面积为_。10. （ 11 新 课 标 理 ） 已 知 矩 形 ABCD 的 顶 点 都 在 半 径 为 4 的 球 O 的 球 面 上 , 且 AB =6, BC =2 3 ,则棱锥 O -ABCD 的体积为 8 3 .10. （11 新课标文）已知两个圆锥有公共底面,且两圆锥的顶点和底面的圆周都在同一球3面上.若圆锥底面面积是这个球面面积的 ,则这两个圆锥中,体积较小者的高与体积较161大者的高的比值为 .312.（08

13、新课标理）一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直底面.已知该六棱柱的顶点9 4都在同一个球面上,且该六棱柱的体积为 ,底面周长为 3,那么这个球的体积为 p8 3Word 专业资料.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fr den persnlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden. Pour l tude et la recherche un

14、iquement des fins personnelles; pas des fins commerciales. , , .以下无正文.仅供个人用于学习、研究；不得用于商业用途。 For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur fr den persnlichen fr Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden. Pour l tude et la recherche uniquement des fins personnelles; pas des fins commerciales. , , .以下无正文