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1、 初中数学教学中初中数学教学中 创新性思维培养的案例分析创新性思维培养的案例分析 著名的数学家著名的数学家A赛尔伯格赛尔伯格指出：指出：“数学的内容一定要重新斟酌。数学的内容一定要重新斟酌。应该增加一些涉及如何发现并令人应该增加一些涉及如何发现并令人振奋的内容。振奋的内容。”因此我认为：因此我认为：数学教学不但应该传授数学教学不但应该传授数学知识，还应该培养数学知识，还应该培养学生的创新思维。学生的创新思维。“在数学里，发现真理的主要工具和手段在数学里，发现真理的主要工具和手段是归纳和类比。是归纳和类比。”著名数学家高斯曾说：著名数学家高斯曾说：“我的许多发现都是靠归纳取得的。我的许多发现都是
2、靠归纳取得的。”宋朝数学家杨辉宋朝数学家杨辉1261年写的年写的详解九章算法详解九章算法*就解释了上述系数三角形的构造法，并说贾就解释了上述系数三角形的构造法，并说贾宪用此术。宪用此术。杨辉三角形杨辉三角形.?1197531?97531,47531,3531,231,112222 他的这个发现，后来被刊登在他的这个发现，后来被刊登在春燕春燕杂志上。杂志上。.2nn 个奇数的和等于前33333333436427161514131211103227898765218143210101 按照上述算例找出它们的一般规律，并用适当按照上述算例找出它们的一般规律，并用适当数学式子表示出来，而且试证明它。数
3、学式子表示出来，而且试证明它。，三边形内角和)23()24(四边形内角和问题：下述结论是否成立？问题：下述结论是否成立？?)2(nn边形内角和等于 初中在“用字母代表数”中已学生已经历过用归纳推理的方法探求规律的活动，这时要向学生介绍这种推理方法（1）设计有趣的活动，引导学生在游戏中探索规律简单情形观察归纳一般性结论（2）提出延伸性问题，引导学生进一步探究。2n8n（1）设计有趣的活动，引导学生在游戏中探索规律（2）提出延伸性问题，引导学生进一步探究。（3）引导学生对数学探究中的关键点和方法进行总结，掌握数学探究 的办法。著名天文学、数学家开普勒说：著名天文学、数学家开普勒说：“我我珍视类比胜
4、于任何别的东西，它是我最可信珍视类比胜于任何别的东西，它是我最可信赖的老师它能揭示自然的奥秘赖的老师它能揭示自然的奥秘。”1xyab;1czbyax 222121()()yyxx222212121()()()yyxxzzn ZZ=XX+YY52=32+42Z3=x3+Y3 (X,Y,Z 为正整数)=zxy+公元972年阿拉伯人阿尔科但第（Alkhodjidi)Zn=n+Yn(n2)(Wiles 1994)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理。波利亚：类比是一个伟大的引路人。类比推理大致模式案例6：类比推理根据教学内容设
5、计类比探究活动根据教学内容设计类比探究活动寻找类比对象比较分析猜想验证成解释 教学中应注意：教学中应注意：n（1）不能把数学知识作为预先确定了的东西教）不能把数学知识作为预先确定了的东西教给学生，不应把教育者对数学知识正确性的强调给学生，不应把教育者对数学知识正确性的强调作为学生接受它的理由，学生对数学知识的获取作为学生接受它的理由，学生对数学知识的获取应靠自己的探索和建构来完成，以他自己的经验、应靠自己的探索和建构来完成，以他自己的经验、信念为背景来分析知识的合理性。信念为背景来分析知识的合理性。n（2）通过类比探究的数学活动使学生积累数学）通过类比探究的数学活动使学生积累数学思考的学习经验
6、，进而学会数学化，丰富对数学思考的学习经验，进而学会数学化，丰富对数学知识的情感体验。知识的情感体验。n（3）经历数学发现的过程，学习数学基本的思）经历数学发现的过程，学习数学基本的思维方法。维方法。合情推理的一种。关键是找到两个对象内部属性、关系的具有某些方面相似 维数的类比（距离、重心）教学中注意分析事物研究对象的本质属性，进行有效的比较，教师应具有发散思想，鼓励学生敢于在类比中猜想，培养直觉思维。三、一题多解一题多变 这个定理的重要性在于：1.它是联系“数”与“形”的第一个重要定理；2.它导致了不可公约量的发现（第一次数学危机）；3.它开始把数学由计算与测量的技术扩大到证明与推理的科学；
7、4.它是最早得出完整解的不定方程，并引导到各式各样的不定方程，包括费马大定理。AHKCBDEFGILFBCABD ACKH,CILEGFBA,BDLIFBC,2GFBA正正方方形形矩矩形形正正方方形形矩矩形形正正方方形形矩矩形形 ,ABD2BDLI因此因此同理同理两式相加即得定理。两式相加即得定理。ABCbcaa-b弦图3.ababaabccSABED=2y)(x21DE)AD(AB21SBCE+SABC+SDCE 他证明时他证明时,只是一位议员只是一位议员,是他和其他议员讨论数学是他和其他议员讨论数学问题时想出来的问题时想出来的,发表在发表在新英格兰教育杂志新英格兰教育杂志上上。2z212x
8、y2 思考：思考：他的证明对否？好不好？他的证明对否？好不好？caABBCBD22 cbABACAD22 BD+AD=AB=c 一位老太太有两个女儿。大女儿嫁给一位老太太有两个女儿。大女儿嫁给雨雨伞伞店老板，小女儿当了洗衣作坊的女主管。店老板，小女儿当了洗衣作坊的女主管。于是，老太太整天忧心忡忡，逢上雨天，她于是，老太太整天忧心忡忡，逢上雨天，她担心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她担心洗衣作坊的衣服晾不干；逢上晴天，她怕伞店的雨伞卖不出去，日子过得很忧郁。怕伞店的雨伞卖不出去，日子过得很忧郁。后来有一位聪明的人劝她：后来有一位聪明的人劝她：老太太，你老太太，你真好福气，下雨天，你大女儿家生意
9、兴隆；真好福气，下雨天，你大女儿家生意兴隆；大晴天，你小女儿家顾客盈门，哪一天你都大晴天，你小女儿家顾客盈门，哪一天你都有好消息啊。有好消息啊。这么一说，老太太生活的色这么一说，老太太生活的色彩竟焕然一新。彩竟焕然一新。一则小一则小故事故事:（1）如果遇到某些问题顺推不行，可以考）如果遇到某些问题顺推不行，可以考虑逆推。虑逆推。（2）如果遇到某些问题不能直接解决困难，）如果遇到某些问题不能直接解决困难，想法用间接解决。想法用间接解决。（3）正命题研究过后，研究逆命题。）正命题研究过后，研究逆命题。（4）探讨可能性发生困难时，转而探讨不）探讨可能性发生困难时，转而探讨不可能性。可能性。下面举几个
10、数学中的例子下面举几个数学中的例子:欧几里得欧几里得几何原本几何原本第一卷中给出第一卷中给出了五个公设，其中前四个简单明了，（前了五个公设，其中前四个简单明了，（前三个是作图的规定，第四个是三个是作图的规定，第四个是“凡直角都凡直角都相等相等”），符合亚里士多德公理），符合亚里士多德公理“自明性自明性”的要求，唯独第五公设不仅文字啰嗦，而的要求，唯独第五公设不仅文字啰嗦，而且所肯定的事实也不明显。且所肯定的事实也不明显。而且只有第而且只有第5 5公设涉及到无限公设涉及到无限,这是人们经验之外的东西这是人们经验之外的东西.欧几里得：欧几里得：三角形内角和三角形内角和 =两直角两直角 ,2r=c，
11、a2+b2=c2 罗巴切夫斯基：三角形内角和罗巴切夫斯基：三角形内角和 两直角两直角 ,2rc，a2+b2 两直角两直角 ,2rc ，a2+b2c2 后来许多几何理论都建立在改变和推广欧后来许多几何理论都建立在改变和推广欧几里得几何概念的基础之上。例如：几里得几何概念的基础之上。例如：18441844年格年格拉斯曼建立的拉斯曼建立的n n维仿射空间和度量空间几何。维仿射空间和度量空间几何。在在16世纪之前，数学家们就成功地找到世纪之前，数学家们就成功地找到了一般的一次、二次、三次、四次以及某些了一般的一次、二次、三次、四次以及某些特殊的五次及五次以上代数方程的根式解法。特殊的五次及五次以上代数
12、方程的根式解法。如：如：aacbbxcbxax24,022,12 那么，一般五次及五次以上的代数方程是那么，一般五次及五次以上的代数方程是否也存在根式解法呢？否也存在根式解法呢？这个问题吸引着众多的数学家，他们相这个问题吸引着众多的数学家，他们相信这种解法一定存在，包括：卡当信这种解法一定存在，包括：卡当（Cardano）、韦达）、韦达(Viete)、笛卡儿、牛顿、笛卡儿、牛顿、莱布尼茨、拉格朗日等等，但相继经历了莱布尼茨、拉格朗日等等，但相继经历了两百多年的努力都未能找到解法。两百多年的努力都未能找到解法。近世代数方程 从已有思路的反方向去思考问题。顺推不从已有思路的反方向去思考问题。顺推不
13、行，考虑逆推；直接解决不行，想办法间接行，考虑逆推；直接解决不行，想办法间接解决解决;正命题研究过后，研究逆命题；探讨正命题研究过后，研究逆命题；探讨可能发生困难时，考虑探讨不可能性。它有可能发生困难时，考虑探讨不可能性。它有利于克服思维定势的保守性，它对解放思想、利于克服思维定势的保守性，它对解放思想、开阔思路、发现新生事物，开辟新的方向，开阔思路、发现新生事物，开辟新的方向，往往能起到积极作用。往往能起到积极作用。(“36计”中的第2计)桂陵（今长垣县西边），大梁（今开封）。桂陵（今长垣县西边），大梁（今开封）。大梁大梁 若关于x的不等式（a-1）xa2-2的解集为x2，求a的值。分析：根
14、据不等式性质3，从反方向进行分析，得：a-10，且a2-2=2（a-1）所求a值为a=0.n培养统计推断能力应注意的问题n 收集数据（将现实问题数学化的问题）n 分析数据（抽样的随机性，统计图的误读）影响创新的原因n（1）外界对上海中学生pisa测试夺冠评价 应试教育“剥夺中国孩子的创造力”（2）眼界不宽，没有创新的思路，找不到创新的入口 “阻止市场中买卖双方有效配对的障碍分析”获奖的启示 研究：“60岁以后情商会增加”的启示 （1）解放学生的手，多种感官参与学习 案例16：拼图04年中考 拼图09年中考 （2）解放学生的思想 案例17：决策方案 （3）组织学生多看课外书（如“阅读与思考”），将学生从习题中解放出来 （4）组织学生做“课题学习”，辅导学生写小论文 案例18：可能性的大小 案例19：关于学生平时零用钱主要用途的调查统计课题学习.doc 创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学过程中，学生自己发现问题和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括和类比概括得到的猜想和规律，并加以验证是创新的重要方法。创新教育的载体：教材中创新思维的素材，课题学习 不当之处,敬请谅解并指正.谢谢大家!安徽省教科院 徐子华 0551-2635547
初中数学创新思维能力培养案例分析.12
