高等数学曲率2

《高等数学曲率2》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高等数学曲率2（20页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第七节曲线的弯曲程度与切线的转角有关与曲线的弧长有关机动 目录 上页 下页 返回 结束 主要内容主要内容:一、一、弧微分弧微分 二、二、曲率及其计算公式曲率及其计算公式 三、三、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径 MMM 平面曲线的曲率 第三三章 一、一、弧微分弧微分)(xfy 设在(a,b)内有连续导数,其图形为 AB,弧长)(xsAMsxsMMMMxMMMMMMxyx22)()(MMMM2)(1xyxsxsx0lim)(2)(1yxAB)(xfy abxoyxMxxMy1lim0MMMMx机动 目录 上页 下页 返回 结束 则弧长微分公式为tyxsdd22)(xs2)(1yxysd)(1d2

2、或22)(d)(ddyxsxxdxdxoyxMydT几何意义几何意义:sdTM;cosddsxsinddsy若曲线由参数方程表示:)()(tyytxx机动 目录 上页 下页 返回 结束 二、曲率及其计算公式二、曲率及其计算公式在光滑弧上自点 M 开始取弧段,其长为,s对应切线,定义弧段 上的平均曲率ssKMMs点 M 处的曲率sKs0limsdd注意注意:直线上任意点处的曲率为 0!机动 目录 上页 下页 返回 结束 转角为例例1.求半径为R 的圆上任意点处的曲率.解解:如图所示,RssKs0limR1可见:R 愈小,则K 愈大,圆弧弯曲得愈厉害;R 愈大,则K 愈小,圆弧弯曲得愈小.sRMM

3、机动 目录 上页 下页 返回 结束 有曲率近似计算公式,1时当 yytan)22(设y arctan得xyd)arctan(d xyyd12 xysd1d2故曲率计算公式为sKdd23)1(2yyK yK 又曲率曲率K 的计算公式的计算公式)(xfy 二阶可导,设曲线弧则由机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明说明:(1)若曲线由参数方程)()(tyytxx给出,则23)1(2yyK(2)若曲线方程为,)(yx则23)1(2xxK 23)(22yxyxyxK 机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例2.我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线,处的曲率.)6,(,)0,0(2RllB

4、O点击图片任意处播放暂停说明说明:铁路转弯时为保证行车平稳安全,求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 结束 且 l R.其中R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,离心力必须连续变化,因此铁道的曲率应连续变化.例例2.我国铁路常用立方抛物线361xlRy 作缓和曲线,且 l R.处的曲率.)6,(,)0,0(2RllBO其中R是圆弧弯道的半径,l 是缓和曲线的长度,求此缓和曲线在其两个端点机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:,0时当lxRl20 xlRy1 yK xlR1显然;00 xKRKlx1221xlRy RByox361xlRy l例例3.求椭圆tbytaxsi

5、ncos)20(t在何处曲率最大?解解:故曲率为 ba23)cossin(2222tbta;sintax;costby taxcos tbysin 23)(22yxyxyxK K 最大tbtatf2222cossin)(最小机动 目录 上页 下页 返回 结束 ttbttatfsincos2cossin2)(2tba2sin)(22求驻点:的导数数表示对参tx,0)(tf令,0t得,2,232,设tbatf2sin)()(22t)(tf022322b2b2a2b2a从而 K 取最大值.这说明椭圆在点,0ab 时则2,0t)0,(a处曲率机动 目录 上页 下页 返回 结束 计算驻点处的函数值:yx

6、baba,)(取最小值tf最大.三、三、曲率圆与曲率半径曲率圆与曲率半径Tyxo),(DR),(yxMC设 M 为曲线 C 上任一点,在点在曲线KRDM1把以 D 为中心,R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的曲率圆(密切圆),R 叫做曲率半径,D 叫做曲率中心.在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:(1)有公切线;(2)凹向一致;(3)曲率相同.M 处作曲线的切线和法线,的凹向一侧法线上取点 D 使机动 目录 上页 下页 返回 结束 设曲线方程为,)(xfy 且,0 y求曲线上点M 处的曲率半径及曲率中心),(D设点M 处的曲率圆方程为222)()(R故曲率半径公式为KR1 23)1(2yy

7、满足方程组,222)()(Ryx),(在曲率圆上yxM)(MTDM yyx的坐标公式.机动 目录 上页 下页 返回 结束 TCyxo),(DR),(yxM由此可得曲率中心公式yyyx)1(2yyy 21(注意y与y 异号)当点 M(x,y)沿曲线)(xfy 移动时,的轨迹 G 称为曲线 C 的渐屈线渐屈线,相应的曲率中心Cyxo),(yxM),(DRT曲率中心公式可看成渐曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线渐伸线.机动 目录 上页 下页 返回 结束 屈线的参数方程(参数为x).点击图中任意点动画开始或暂停例例4.设一工件内表面的截痕为一椭圆,现要用砂轮磨削其内表面,问选择多大的砂轮比较合适?解解:

8、设椭圆方程为tbytaxsincos),20(abx由例3可知,椭圆在)0,(aoyx处曲率最大,即曲率半径最小,且为 R23)cossin(2222tbtaba0tab2显然,砂轮半径不超过ab2时,才不会产生过量磨损,或有的地方磨不到的问题.ab例3 目录 上页 下页 返回 结束(仍为摆线)sin(a)cos1(a例例5.求摆线)cos1()sin(tayttax的渐屈线方程.解解:xyy,cos1sinttxyyt)(dd 2)cos1(1ta代入曲率中心公式,)sin(tta)1(cos ta得,t令aa2摆线 目录 上页 下页 返回 结束 yoxMo摆线摆线半径为 a 的圆周沿直线无

9、滑动地滚动时,点击图中任意点动画开始或暂停Moyxta其上定点 M 的轨迹即为摆线.)sin(ttax)cos1(tay参数的几何意义摆线的渐屈线点击图中任意点动画开始或暂停机动 目录 上页 下页 返回 结束 内容小结内容小结1.弧长微分xysd1d2或22)(d)(ddyxs2.曲率公式sKdd23)1(2yy 3.曲率圆曲率半径KR1yy 23)1(2曲率中心yyyx)1(2yyy 21机动 目录 上页 下页 返回 结束 思考与练习思考与练习1.曲线在一点处的曲率圆与曲线有何密切关系?答答:有公切线;凹向一致;曲率相同.2.求双曲线1yx的曲率半径 R,并分析何处 R 最小?解解:,12xy,23xy 则 R23)1(2yy 234)1(1x32x232)(1221xx 利用baba2222.21为最小值显然xR机动 目录 上页 下页 返回 结束 11yox作业作业第八节 目录 上页 下页 返回 结束 P175 4；5；7；8；9