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1、 61 面积矩与形心位置 62 惯性矩、惯性积、极惯性矩 63 惯性矩和惯性积的平行移轴定理 第六章 截面的几何性质 64 惯性矩和惯性积的转轴定理 * 截面的主惯性轴和主惯性矩 1 6-1 面积矩与形心位置 一、面积（对轴）矩：（于力矩类似）是面积与它到轴的距离 之积。 P n P n W M GI M A N m a x m a x m a x m a x ; ; ydAdSx xdAdS y AA yy AA xx x d AdSS y d AdSS 2 二、形心：（等厚均质板的质心与形心重 合。） )( A Ay y A Ax x ii ii 正负面积法公式累加式 : iix iiy
2、yAyAS xAxAS yx A S A y d A A t d A y t m y dm A S A x d A A t d A x t m x dm x A A m y A A m : 质心 等厚 均质 等厚 均质 x y 等于形心坐标 3 21 21 21 AA AxAx A Axx ii 例 I-1-1 是确定下图的形心。 x y 解 ： 组合图形，用正负面积法解之。 1、用正面积法求解，图形分割及坐标如 图（ a） 3.20108011010 1101035 7.34108011010 1101060 y C1（ 0， 0） C2（ -35， 60） 图（ a） C 2 C 1 4
3、C 1 2、用负面积法求解，图形分割及坐标 如图（ b） 3.201 1 070801 2 0 )1 1 070(5 图（ b） 负面积 C 2 x y C 1 C1（ 0， 0） C2（ 5， 5） 21 21 21 AA AxAx A Axx ii 5 6-2 惯性矩、惯性积、极惯性矩 一、惯性矩：（与转动惯量类似）是面积与它到轴的距离的平方 之积。 A y A x dAxI dAyI 2 2 二、极惯性矩：是面积对极点的二次矩。 yx A P IIdAI 2 三、惯性积：面积与其到两轴距离之积。 A xy x y d AI ！如果 x 或 y 是对称轴，则， Ix y =0 6 6-3
4、惯性矩和惯性积的平行移轴定理 一、平行移轴定理：（与转动惯量的平行移轴定理类似） c c yby xax 以形心为原点，建立与原坐标轴平行 的坐标轴如图 0 cxc yASA b I I x c x 2 a b x c y c C A x d A y I 2 A c d A b y 2 ) ( A c c d A b by y ) 2 ( 2 2 A b b S I x c x c 2 2 7 A b I I x c x 2 A a I I y c y 2 a b A I I x c y c x y A b a I I P c P 2 ) ( 注 意 ! C 点 必 须 为 形 心 8 例 6
5、-3-1 求图示圆对其切线 AB的惯性矩 . 解 ：求解此题有两种方法：一是安 定义直接积分；二是用平行移轴 定理等知识求。 B 建立形心坐标如图 ,求图形对形心轴 的惯性矩。 642 4dI II Pyx d 64 5 464 444 2 dddAdII xAB x y x P I I I d I 2 32 4 圆 x y O 9 6-4 惯性矩和惯性积的转轴定理 * 截面的主惯性轴和主惯性矩 c o sys i nxy s i nyc o sxx 1 1 一、 惯性矩和惯性积的转轴定理 x 1 y 1 y 1x 1 ) 2 sin 2 c o s 2 ( 2 1 x y y x y x x
6、 I I I I I I 10 yxyx IIII 11 )2sin2cos 2 ( 21 xyyxyxy I IIII I )2c o s2sin 2 ( 11 xy yx yx I II I 11 二、截面的形心主惯性轴和形心主惯性矩 1、主惯性轴和主惯性矩：坐标旋转到 = 0 时；恰好有 0222 00 00 )c osIs i nII(I xyyxyx 与 0 对应的旋转轴 x 0 y 0 称为 主惯性轴；平面图形对主轴 之惯性矩主惯性矩。 ycxc x c y c II Itg 22 0 22 22 0 0 xy yxyx y x I)II(II I I 主惯性矩： 12 2、形心主
7、轴和形心主惯性矩：主轴过形心时，称其为形心主轴。 平面图形对形心主轴之惯性矩，称为形心主惯性矩 y c x c x c y c I I I t g 2 2 0 2 2 ) 2 ( 2 0 0 x c y c y c x c y c x c y c x c I I I I I I I 形心主惯性矩： 13 3、求截面形心主惯性矩的方法 、建立坐标系。 、计算面积和面积矩 、求形心位置。 、建立形心坐标系；求： Iyc ， Ixc ， Ixcyc ， 、求形心主轴方向 0 、 求形心主惯性矩 A Ay A S y A Ax A S x iix iiy 22 22 0 0 xcyc ycxcycxc
8、 yc xc I)II(II I I ycxc x c y c II I tg 2 2 0 14 例 6-4-1 在矩形内挖去一与上边 内切的圆，求图形的形心主轴。 (b=1.5d) x y O 解 ： 、 建立坐标系如图。 、 求形心位置。 、 建立形心坐标系；求： Iyc ， Ixc ， I x c y c d. d d dd A Ay y AA Ax x ii ii 1 7 70 4 3 42 0 0 2 2 2 x c y c )yd.(AIyAIIII xxxcxcxc 212 50 圆圆矩矩圆矩 42 24 22 3 68501770504641770312251 d.)d.d.(dd)d.(d)d(d. x 1 15 4 43 5 1 3.06412 2)5.1( ddddIII xcxcyc 圆矩 便是形心主惯性矩轴便是形心主轴 ycxccx c y c IIyI 、cx 0 16 17 此课件下载可自行编辑修改，供参考！ 感谢您的支持，我们努力做得更好！ 18
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