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1、一、填空题 共10题，每题2分，共20 分1只于自身合同的矩阵是零矩阵。2二次型的矩阵为_。3设是实对称矩阵，那么当实数_充分大_,是正定矩阵。4正交变换在标准正交基下的矩阵为_正交矩阵_。5标准正交基下的度量矩阵为_。6线性变换可对角化的充要条件为_。7在中定义线性变换为： ，写出在基下的矩阵_。8设、都是线性空间的子空间，且，假设，那么_。9表达维数公式_。10向量在基1与基2下的坐标分别为、，且从基1到基2的过渡矩阵为，那么与的关系为_。二、判断题 共10 题，每题1分，共10分1线性变换在不同基下的矩阵是合同的。 2设为维线性空间上的线性变换，那么。 3平面上不平行于某一向量的全部向量
2、所成的集合，对于向量的加法和数量乘法，构成实数域上的线性空间。 4设与分别是齐次线性方程组与的解空间，那么 5为正定二次型。 6数域上任意一个矩阵都合同于一对角矩阵。 7把复数域看作复数域上的线性空间，令，那么是线性变换。 8假设是正交变换，那么的不变子空间的真正交补也是的不变子空间。 9欧氏空间中不同基的度量矩阵是相似的。 10假设为 ()中的微分变换，那么不可对角化。 三、计算题 共3题，每题10分，共30分1设线性变换在基下的矩阵为，求的特征值与特征向量，并判断是否可对角化？2取什么值时，以下二次型是正定的？3设三维线性空间上的线性变换在基下的矩阵为：,求在基，下的矩阵。四、证明题 共4
3、题，每题10分，共40分1证明：与相似，其中是的一个排列。2证明：和是直和的充要条件为：。3设是级实对称矩阵，且，证明：存在正交矩阵，使得： 4证明： 与 合同，其中是的一个排列。答案一1 2 3.充分大 4.正交矩阵 5. 6.有个线性无关的特征向量7. 8. 9.10.二1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 三1.解： 3分 所以，的特征值为二重和。把代入方程组得： 根底解系为 因此，属于得两个线性无关得特征向量为： 因而属于的全部特征向量就是 ，、取遍中不全为零的全部数对 6分，再用代入得：根底解系，因此，属于5的全部特征向量是， 是中任意不等于零的数。 9分 因为有三个线性无关的特征向量，所以可能对角化。 10分2.解：的矩阵为：， ， 。得：当时，是正定的。3解： 2.5分 2.5分 2.5分在基下的矩阵为 2.5分四1.证：任意维向量空间，的基，那么唯一使 3分即在基下的矩阵为6分与相似1分2证：是直和 3分 2分令 3分，同理是直和。 2分3证：设是的任一特征值 ，使 ，或实对称矩阵正交矩阵，使4证：、对应的二次型分别为令 ， 所以，与合同。
最新高等代数试卷及答案(二)
