因子分析和时间序列分析

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1、第十二章因子分析因子分析是一种在许多变量中提取出隐藏的具有代表性的共性因子、构造因子模 型的统计技术。因子分析模型设m个可能存在相关关系的观测变量Z1,Z2,Zm(经过标准化后)含有p个 独 立的公共因子F1,F2,Fp(m却)，观测变量Zi含有独特因子Ui(i=l.m),诸Ui间互 不相关，且与Fj(j=1 p)也互不相关，每个Zi可由p个公共因子和自身对应的独特因 子Ui线性表出：Zi =aF +如 2 厲+ +C&】Z =o 2】歼 +a22A2 + + 5pFp +C2U2(模型1)Z 加+%&+ + % +5 几ZF,C2U22+2 2)mxp -7迅丿简记为Z = AF+CU(模型

2、2)Onxl) (/nxp) (px|) (/nxl)A称为因子负荷矩阵(即模型1中各方程的系数aq的矩阵)，ay表示第i个变 量石 在第 j 个公共因子 Fj 上的负荷，简称因子负荷。因子负荷反映了某一变量与 某个因子 的相关关系。每一个因子也可以表示各观测变量的线性组合：Fj=WjlZi+ Wj2Z2+ Vj3Z3+ WjmZmWji :权重或因子得分系数，用于计算因子得分。因子分析步骤：一、形成问题二. 基于原始数据构造相关矩阵Correlation MatrixVIV2V3V4V5V6Correlatio n VI1.000-.053.873-.086-.858.004V2-.0531

3、.000-.155 572.020.640V3873-.1551.000-.248-.778-.018V4-.086572-.2481.000-.007.640V5-.858 020-.778-.0071.000-.136V6.004.640-.018.640-.1361.000KMO and Bartletts TestKaiser-Meyer-OIki n Measure of Sampli ng Adequac y.660Bartletts Test ofApprox Chi-Square111.314Sphericitydf15Sig.000三. 确定因子分析方法主成分分析法(Prin

4、cipal components analysis简称PCA)和主因子分析法(Principal factor analysis 简称 PFA, 也称 common factor analysis )o主成分解释了变量的总方差，主因子解释了协方差。当主要LI的是要减少变量 时，采用主成分分析；当为了寻找对协方差有贡献的潜在因子时，采用主因子分析。 常用主成分分析法。四、提取因子提取因子原则：按照能够解释方差的大小逐序提取因子。所有公因子(与其他变量所共有)能够解释某个变量方差的比例称为公因子 方差 (communality),记作h。公因子方差反映了各个因子对该变量的解释程度。某变量的用 越大

5、，说明这些因子对该变量的解释程度越强，用这些因子来描述该变量就越有效。Ini tialExtractio nVI1.000.926V21.000.723V31.000.894V41.000.739V51.000.878V61.000.790Coni munalitiesExtraction Method: Principal Co mpone nt An a lysis.因子的特征值揭示了各个因子能够解释总方差的多少,反映了因子的重要程度 可作为提取因子的依据。Total Variance ExplainedComp onentInitial Eigen 旳 luesTotal% of Var

6、ia neeCumulative %12.73145.52045.52022.21836.96982.48834427.36089.8484.3415.68895.5365垢33.04498.58068.521E-021.420100.000Extracti on Method: Pri ncipal Comp on ent An alysis.五. 确定因子的数量 方法一：依据经验知识确定。 方法二：选择特征值大于 1的因子。方法三：scree检验，即将各因子的特征值用折线图表示出来，寻找平滑递减的特 征值在图的右边停止不前的位置。Scree PlotComponert Number六、旋转

7、因子若确定两个因子，得出因子/成分矩阵图如下，展示了两个因子与6个变量之间的 相关关系，即因子负荷，体现了因子对变量的解释作用。但是，山于公因子是从多个变 量中提取出来的，很有可能出现很多变量其至所有变量在一个因子上的负荷都较大的情 形，从而难以将变量归类和解释因子。故此，将因子矩阵进行正交旋转，采用方差最大 正交旋转法，使得每个因子只和少数变量之间显著相关，或者每个变量都只和个别因子 （最好是一个）强相关。旋转不会影响公因子方差，但每一个因子能够解释的方差会发 生变化，从而使得因子负荷发生变化。Component MatrixComp onent12VI928.253V2-.301.795V

8、3936.131V4-.342.789V5-.869-.351V6-.177.871Ex tract io n Method: Principal Co mpo nentA nalysis. a 2 components extractedRotated Component MatrixComp one nt12VI.962-2.66E-02V2-5.72E-02.848V3.934-.146V4-9.83E-02.854V5-.933-8.40E-02V68.337E-02.885Extract! on Method: Prin cipalComp orient An a lysis Rot

9、ation Method: Varimax with Kaiser Normaization.a. Rotatio n con verged in 3 iterations 六、 解释因子 基于旋转后的因子矩阵进行解释。变量1、3、5和因子1相关，变量2、4、6 和因子 2 相关。七、计算因子得分 可根据研究需要计算因子得分：即每一个样本在每一个因子上的得分。计算 方 法：对于每个样本，用其各个标准化变量值乘以相应的因子得分系数Wij,再加总。Component Score Coefficient MatrixComp one nt12VI.358.011V2-.001.375V3.345-.

10、043V4-.017.377V5-.350-.059V6.052.395Extractio n Method: Prin cipalComp orient An a lysis Rotation Method: Varimax with KaiserNormaization. Component Scores授i恥xxx八、模型评估 即评估模型的拟合程度。因子分析的原假设：变量之间的相关关系可以由一个共 同的因子来描述，即变量间的相关程度可以转化为变量与因子间的相关程度 /可山变量 与因子间的相关关系来反映变量间关系。把通过变量与因子的关系反映出的变量间关 系称为再生相关系数，初始的变量间相关

11、系数与再生相关系数之间的差异反映了模型 的拟合效果。Reproduced CorrelationsVIV2V3V4V5V6Reproduced Correlation VI.926b-7.76E-02-902-.117-.8955.662E-02V2-7.76E-02-.177-730-1.79E-02.746V3-902-.177-.217-.859-5.13E-02V4-.117-730-.2171.999E-02.748V5-.895-1.79E-02-.8591.999E-02878-.152V65.662E-02-746-5.13E-02.748-.152ResidualVI2.44

12、0E-02-2.92E-023.115E-023.770E-02-5.25E-02V22.440E-022.224E-02-.1583.763E-02-.105V3-2.92E-022.224E-02-3.13E-028.138E-023.327E-02V43.115E-02-.158-3.13E-02-2.66E-02-.107V53.770E-023.763E-028.138E-02-2.66E-021.574E-02V6-5.25E-02-.1053.327E-02-.1071.574E-02Extraction Method: Principal Conponent Analysis.

13、a Residuals are computed between observed and reproduced correlations， There are 5 (33.0%) nondundant residuals with absolute values greater than 0.05b Reproduced corrmunalities第十三章时间序列分析时间序列分析是对于按时间顺序观测的系列数据进行分析的方法。例 1:表 1 为中国海关出口商品总额的有关数据(亿美元)，计算环比、定基、 平均发展 速度和增长速度。年份出总额逐期增长量环比发展 速度环比增长 速度定基发展 速度定

14、基增长 速度1990620.91100.001991718.4397.52115.7115.71115.7115.711992849.40130.97118.2318.23136.8036.801993917.446&04108.018.01147.7647.7619941210.06292.62131.9031.90194.8894.8819951487.80277.74122.9522.95239.62139.6219961510.6622.86101.541.54243.30143.3019971827.92317.26121.0021.00294.39194.3919981837.09

15、9.17100.500.50295.87195.8719991949.31112.22106.116.11313.94213.9420002492.03542.72127.8427.84401.35301.3520012661.55169.52106.806.80428.65328.6520023255.96594.41122.3322.33524.39424.39例 2：某地区国内生产总值 1999-2001年间平均每年递增 12%, 2002-2005年间 平均每年递增 10%, 2006-2008年平均每年递增8%。请计算：(1) 该地区国内生产总值在这 10年间(19992008)的总发展速度；(2) 该地区国内生产总值在这 10年间(19992008)的平均增长速度；(3) 若该地区 2008年的国内生产总值为500亿元，以后平均每年增长6%,则 到 2010 年可达到多少？(注：可编辑下载，若有不当之处，请指正，谢谢!)