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1、第二讲 参数方程 椭圆的参数方程 如下图，以原点 O为圆心，分别以 a， b（ a b 0） 为半径作两个同心圆，设 A为大圆上的任意一点，连 接 OA,与小圆交于点 B ，过点 A作 AN ox，垂足为 N， 过点 B作 BM AN，垂足为 M，求当半径 OA绕点 O旋 转时点 M轨迹的参数方程 . O A M x y N B 分析：设 M点的坐标为（ x,y) 点 A 的横坐标与 M点的横坐 标相同 , 点 B 的纵坐标与 M点的纵坐标 相同 . 而 A、 B的坐标可以通过 引进参数建立联系 . O A M x y N B 解： 设 XOA=, 则 A: (acos, a sin), B:
2、 (bcos, bsin), 由此 : 即为 点 M轨迹的 参数方程 . s i nby c o sax ( 为 参 数 ) 消去参数得 : , b y a 12 2 2 2 x 即为 点 M轨迹的 普通 方程 . 如下图，以原点 O为圆心，分别以 a， b（ a b 0） 为半径作两个同心圆，设 A为大圆上的任意一点，连 接 OA,与小圆交于点 B ，过点 A作 AN ox，垂足为 N， 过点 B作 BM AN，垂足为 M，求当半径 OA绕点 O旋 转时点 M的轨迹参数方程 . 1 .参数方程 是椭圆 的参数方程 . c o sxa sinyb 2 .在椭圆的参数方程中，常数 a、 b分别是
3、椭 圆的长半轴长和短半轴长 . ab 另外 称为 离心角 ,规定参数 的取值 范围是 0 , 2 ) c o s , s in . xa X yb 焦 点 在 轴 c o s , s in . xb Y ya 焦 点 在 轴 ( 为 参 数 ) y a ab 22 22 1（. 0 ) x b O A M x y N B 归纳比较 椭圆的标准方程 : 12 2 2 2 b y a x 椭圆的参数方程中参数 的几何意义 : )( s i nby c o sa 为参数 x x y O 圆的标准方程 : 圆的参数方程 : x2+y2=r2 )( s i ny c o s 为参数 r rx 的几何意义
4、是 AOP=，是旋转角 P A 椭圆的参数方程 : 是 AOX=,不是 MOX=.称离心角 【 练习 1】 把下列普通方程化为参数方程 . 22 1 49 xy 2 2 1 16 yx (1) (2) 3 c o s 5 sin x y 8 c o s 1 0 s in x y (3) (4) 把下列参数方程化为普通方程 2 c o s( 1 ) 3 sinxy c o s( 2 ) 4 s i nxy 22 6 4 1 0 0( 4 ) 1 yx 22 9 2 5( 3 ) 1 yx 练习 2： 已知椭圆的参数方程为 ( 是参数 ) ，则此椭圆的长轴长为（ ）， 短轴长为（ ），焦点坐标是（
5、 ）， 离心率是（ ）。 2 co s s i n x y 4 2 3 2 ( , 0) 3 例 1、 如图，在椭圆 x2 9+y2 4=1上求一点 M， 使 M到直线 l： x+2y-10=0的距离最小 . x y O P 分析 1 平移直线 l 至首次与椭圆相切，切点即为所求 . 22 20 4 9 3 6 x y m xy 00 0 , M ( , ) 消 元 ， 利 用 ， 求 出 进 而 求 得 切 点 m x y M设 ( 3 c o s , 2 s i n )是 椭 圆 上 任 一 点 . | 3 c o s 4 s in - 1 0 | 5d 则 小结： 借助椭圆的参数方程，可
6、以将椭圆上的任意一 点的坐标用三角函数表示，利用三角知识加以解决 . 例 1、 如图，在椭圆 x2 9+y2 4=1上求一点 M，使 M 到直线 l： x+2y-10=0的距离最小 . 分析 2 3 c o s ()2 s inxy 椭 圆 参 数 方 程 为 ： 为 参 数 34| 5 c o s s in - 1 0 | 55 5 （ ） 0| 5 c o s - 1 0 | 5 （ ） 0 0 0 34c os , sin 55 其 中 满 足0 5d当 =0 时 , 取 最 小 值 ， 00 98c os c os , 2 si n 2 si n 55 此 时 33 98M ( , )
7、 2 10 0 5 55 M x y 时 ， 点 与 直 线 的 距 离 取 最 小 值 。 例 2.已知椭圆 ,求椭圆内接矩形 面积的最大值 . 22 22 1 ( 0) xy ab ab 解：设椭圆内接矩形的一个顶点坐标为 ( c o s , s i n )ab 4 c o s s i nS a b矩 形 ( ) 24k k Z S a b 矩 形当 时 ， 最 大 。 所以椭圆内接矩形面积的最大值为 2ab. 2 s i n 2ab 2ab 例 3:已知 A,B两点是椭圆 与坐标轴正半轴的两个交点 ,在第一象限的椭圆弧上 求一点 P,使四边形 OAPB的面积最大 . 22 94 1 yx
8、 : 解 由 椭 圆 参 数 方 程 ， 设 点 P ( 3 c o s , 2 s i n ) P A B即 求 点 到 直 线 的 距 离 的 最 大 值 。 , A B C A B PS 面 积 一 定 需 求 S 最 大 即 可 132xy直 线 AB 的 方 程 为 ： 22 | c os sin 6 | 23 d 66 6 2 s i n ( ) 1 413 ,d 当 = 时 有 最 大 值 面 积 最 大 .4 32 2P这 时 点 的 坐 标 为 ( , 2 ) 2 3 6 0 xy 练习 1、动点 P(x,y)在曲线 上变化 ，求 2x+3y的最 大值和最小值 149 22
9、yx ., 2626 最小值最大值 2、 取一切实数时，连接 A(4sin,6cos)和 B(-4cos, 6sin)两点的线段的中点轨迹是 . A. 圆 B. 椭圆 C. 直线 D. 线段 B 设中点 M (x, y) x=2sin-2cos y=3cos+3sin 22y 2 49 x 3 c o s , 2 s i n设 xy 2 3 6 c o s 6 sinxy 6 2 sin( )4 小结 （ 1）椭圆的参数方程（ ab0） 12 2 2 2 byax )(s in c o s 为参数 by ax 注意：椭圆参数与圆的参数方程中参数的几何意 义不同 . （ 2）椭圆与直线相交问题 y 22 22 1 x ab cos ( 为 参 数 ) sin xb ya
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