量子力学必考题

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1、量子力学必考题第二章微扰理论3.5一刚性转子转动惯量为I,它的能量的经典表示式隔=L2 ,L为角动量，求与此对应的量子体系在下列情况下的定态能量及波函 数：（1）转子绕一固定轴转动：（2）转子绕一固定点转动：（考一问） 解：（1）设该固定轴沿Z轴方向，则有L2 = L2Z 哈米顿算符H = L2 =-邑吐21 Z 21 d 9 2其本征方程为（H与：无关，属定态问题）d 2e（9）2 IE、=-e（9）d 9 2力2令m 2 = 2E，则力2d 2e（9）、八+ m2 e（9） = 0d 9 2取其解为e（9 ） = Aem9（m可正可负可为零）由波函数的单值性，应有e（9 + 2 兀）=e（

2、9）n e im （9 + 2兀、=e im 9e i 2 m 兀=1m= 0,1,2,转子的定态能量为E =沁！（m= 0,1,2,）m 21可见能量只能取一系列分立值，构成分立谱。定态波函数为e = Ae im 9A为归一化常数，由归一化条件1 = J 2e * e d9 = A2 J d90 m m 0iI 1=A = y2冗转子的归一化波函数为丄I 19 =eim 9m 2兀 综上所述，除m=0外，能级是二重简并的。(2)取固定点为坐标原点，则转子的哈米顿算符为A AH =L 2H与t无关，属定态问题，其本征方程为1 L2Y (0 ,9 ) = EY (0 ,9 )(式中Y(0 ,9)

3、设为H的本征函数，E为其本征值)L2Y (0 ,9 ) = 2IEY (0 ,9 )令2IE =九h2，则有L2Y (0 ,9 )=九h 2Y (0 ,9 )此即为角动量L2的本征方程，其本征值为L2 =入 h2 = ( + 1) h2( = 0, 1,2,)其波函数为球谐函数Y (0 9 ) = N pm l(cos 0 ) eim 9转子的定态能量为E J(0 + 1)h221可见，能量是分立的，且是(20 + 1)重简并的。第七章自旋与全同粒子73求Shr 01、 h及s =r o - i、x2J0丿y 2i 0 丿的本征值和所属的本征函数。(考Sf y的本征值和本证函数)S的久期方程为

4、xh_2一九解:一九九2 - (2)S的本征值为土空。2设对应于本征值h的本征函数为咒1/2，得2由本征方程S咒=空咒x 1/221/2r a )1b1 Jiaj ib 丿由归一化条件b = aiiX+ X =1得1/2 1/2(a*, a*)1 12|a |2 = 11=石10QL0 一砂 0=0a 0创解得：E=0, a .简并完全消除求能级的一级近似和波函数的0级近似口HO的本征值问题是三重简并的，这是一今简并微扰问题(1求本征能量由久期方程1田-E!二0得：E（E）2 - a2 = 0=2 a:E2=Eo +EV =2E,=E.+E = l + a(2)求解0级近似波函数将首=-口代入

5、方程，得:由归一化杂件=I(c/ 0 勺由)0=2|q|2=lE丿将E2 = 0代入方程，得=*0 00 0严 0由归一化条件=(0 屮 0)取实解=陀=丄=1如法炮制得：(1第三章 量子力学中的力学量1、动量算符的本征值方程:-i 力屮（r ）二 p 屮（r ）p p2、两个表示力学量的算符之间的关系:（1）对易：有组成完全系的共同本征态（2）不对易：若0D丰DO,则称0与D不对易。3、量子力学中的算符表示对波函数（量子态）的一种运算如动量算符6 三-站能量算符E = i力=E”d t动能算符厂=-AL v 2动能平均值T =屮 *（r）T （r）d 3r2 mg角动量算符l = r x p

6、角动量平均值厂=丁屮*（r）l屮（r）d 3rgd力2薛定谔方程i力肝屮江）=亦v 2 + V（r，t）屮（r，t）力2h = - v 2 + v（ r）算符 2m，被称为哈密顿算符，（求算符的对易）第五章微扰理论1、定态微扰理论适用范围：求分立能级及所属波函数的修正，适用条件H，kE（o）一 E（0）nk=I屮（0） +乙nnk H nH kn一I屮En0） - Ek0） k（大题不会 写公式4分）第七章自旋与全同粒子 施特恩-格拉赫实验一一证明电子具有自旋 2、光谱线精细结构：钠原子光谱中的一条亮黄线5893A，用高分辨率的光谱仪观测，可以看到该谱线其实是由靠的很近的两条谱线组成。其他原子

7、光谱中也可以发现这种谱线由更细的一些线组成的现象，称之为光谱线的精细结构。该现象只有考虑了电子的自旋才能得到解释（填空or选择）1、自旋角动量斤2平方算符的本征值：/ / / /S 2 = S 2 + S 2 + S 2 = 3 力2xyz 4S 2 = s （ s + 1）力 2 = 3 力 2T s =丄424. （1）简单塞曼效应：在强磁场作用下，光谱线的分裂现象。（2 ）复杂塞曼效应：当外磁场较弱，轨道自旋相互作用不能忽略 时，将产生复杂塞曼效应。（填空or选择）5、泡利不相容原理：如果n个单粒子齣,中有两个单粒子态i jk相同，则（7713 ）行列式中有两行相同，而行列式等于零。这表

8、示不能有有两个或两个以上的费米子处于同一状态这结果成为泡利 不相容原理（填空or选择）6、（1 ）玻色子：凡自旋为整数倍（s = 0,1，2）的粒子，其多粒子波函数对于交换2个粒子总是对称的，称为Bose子。（2）费米子：凡自旋为 半奇数倍（s =1/2，3/2）的粒 子，其多粒子波函数对于交换2个粒子总是反对称的，称为Fermi子。（填空or选择）于是得到Pauli算符的矩阵形式为（大;,填空or选择不确定）01 (0- i、(10、Q =x10丿Q =y i0丿Q =z0-1丿从自旋算符与Pauli矩阵的关系自然得到自旋算符的矩阵表示:h（01、h(0- i、hV 0、S =S =S =x 210丿y 2i 0丿z 2 0 - 1 丿