中国海洋大学实变函数复习题总汇

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1、中国海洋大学实变函数复习题总汇 - 教育文库 第一章重点: ? 集合的交、并、差、余运算，对偶定理 ? 上、下限集的定义、求法 ? 有关函数集合的表示 ? 对等的断定建立、定理 ? 可数集的性质、断定 ? 基的断定 ? 详细集合的基 习题：12,20,21，22，26,28,29 第二章重点: ? 边界点、内点、聚点、边界、导集、闭包等的含义和求法 ? 稠密集、疏朗集、孤立集的定义、性质 ? 开集、闭集的定义、性质、断定、构造 ? Cantor集的性质 习题：5,6,7,13,16,28 第三章重点: ? 外测度的性质非负性、单调性、次可加性、次可数可加性、条件可加性、平移不变形 ? 测度的性

2、质非负性、单调性、可加性、可数可加性、平移不变形、上下连续性 ? 可测集全体M关于交、并、差、余的可列运算及极限封闭，是?代数。 ? 可测集全体M的构成、构造与开集闭集的关系 习题：1，2，13,25,33 第四章重点: ? 可测函数的定义、性质、断定 ? 可测函数全体是线性空间，关于极限封闭，与简单函数的关系 ? 依测度收敛，几乎处处收敛，一致收敛的定义，它们之间的关系(Egoroff, Lebesgue, Riesz定理)。 ? 可测函数的构成与连续函数的关系，Lusin定理 习题：4，7，12，18,20,26 第五章重点: ? 积分与可积的定义、性质、运算 ? 极限定理Levi定理,

3、Fatou引理, Vitali定理,Lebesgue控制收敛性定理 ? 积分的绝对连续性。 ? R-积分和L-积分间的关系 习题：1，2，10，12，14 12 设实函数列?fn(x)?在E上定义，又设h(x)?infn?1?fn(x)?. 证明对?a?R，成立 Eh?a-n?1E?fn?a?. ?证明：因h(x)?fn(x)(?n)，故当fn(x)?a时，必有h(x)?a，这说明 E?fn?a-Eh?a(?n)，因此Eh?a-n?1E?fn?a?. ?另一方面，任取x?Eh?a，由下极限的定义，知存在n，使fn(x)?a假设否，那么对任意的n，有fn(x)?a，这说明inffn(x)?h(x

4、)?a，矛盾. 当然有x?故Eh?a-?n?1E?fn?a?，-n?1E?fn?a?. 综上，左等于右. 20 空间中坐标为有理数的点的全体K成一可数集. 证明：显然K-(a,b,c):a,b,c?Q-Q?Q?Q是三个可数集的乘积，从而是可数集. 21 R中以互不相交的的开区间为元素的集合为至多可数集. 证明：设该集合为K. 因为对任意的开区间(a,b)?K，存在有理数rab?(a,b). 这样，可作一映射f:K?Q，使得f?(a,b)-rab. 由于K中的开区间是互不相交的，所以这一映射是一单射. 因此Kf(K)?Q，也就说明了K是一至多可数集. 22 R上单调函数f(x)的不连续点的全体A

5、为至多可数集. 证明：不妨设函数单增. 任取断点x0?A. 由于函数单调，所以在x0点的左极限f?(x0)和右极限f?(x0)都存在，且f?(x0)?f?(x0). 让断点x0对应于开区间f?(x0),f?(x0)，由于函数单增，所以不同断点所对应的开区间是不相交的. 再利用21题即得. 26 0,1中无理数的全体成一不可数集. 证明：反证法. 假设0,1中无理数的全体K是至多可数集，而0,1中有理数的全体Q0是可数集，这样K?Q0?0,1是可数集可数集和至多可数集的并是可数集. 这与0,1是不可数集矛盾. 28 证明2?c，其中a为可数基数，c为连续基数. 证明：设A?r1,r2,?,rn,

6、?，即证明A的所有子集的全体2的势为c. 作从2到二进位小数全体K的映射f:2?K为f(B)?0.a1a2?an?，其中当rn?B时，an?1；AAA11-a当rn?B时，an?0. 因为不同的集合的元素不完全一样，所以该映射是单射，故2A?K?c. 另一方面，作映射g:K?2A为g(0.a1a2?an?)?B，其中B-ri:假设ai?1,i?1,2,-，该映射也是单射，因此2A?K?c. 综上，有2A?K?c. 29 0,1上连续函数的全体C0,1的基数是c. 证明：因常函数都是连续函数，故C0,1?R?c. 设Q0?Q?0,1，那么它是可数集. 不妨设Q0-r?. 对任意的f?C0,1，让

7、其对应于R中的实数组 1,r2,.,rn,-?f(r1),f(r2),.,f(rn),-，那么这个对应是从C0,1到R?的一个单射. 事实上，假设f,g是对应于同一数组的两个连续函数，即f(ri)?g?ri?,i?1,2,. 对任意的实数a?0,1，存在有理数序列rik?0,1，使得rik?a(k-). 这样由函数的连续性得到-f(a)?limk-f(rik)?limk-g(rik)?g(a)，也即f?g，也就是说该对应是一个单射. ?因此C0,1和R的某子集对等，故有C0,1?R?c. 综上，C0,1?c. ?5. 证明：A?B?A?B. 证明：因为?A?B?A?B，所以有 A?B-A?B-

8、?A?B?-A?B-?A?B-?A?A-?B?B-A?B. 6. 在R中，设E?Q?0,1，求E,E. 解： E?E?0,1 2227. 在R中，设E?(x,y):x?y?1，求E,E. 1-22解： E?E?(x,y):x?y?1 -11. 证明以下三个命题等价:(1) E是疏朗集.(2) E不含任何邻域.(3) (E)c是稠密集. 证明： (1)?(2)：反证法 假设存在O(x,r)?E, 按闭包的等价定义, O(x,r)中任意点的任意邻域中都含有E中的点, 与疏朗集的定义矛盾. (2)?(3)：由假设, 对?x, -?0, 有O(x,?)?E, 从而O(x,?)?E-c-，即任一点的任一

9、邻域中都有(E)c中的点，也即(E)c是稠密集. (3)?(1)：反证法 假设E不是疏朗集，那么存在O(x,?)，使得O(x,?)中没有子邻域与E不相交. 这实际上意味着对任意的O(y,r)?O(x,?)都有O(y,r)?E-, 由r的任意小性知道y?E, 再由y的任意性知道O(y,r)?E, 由此知道E不是稠密的. 由这个命题知道疏朗集的余集是稠密的, 但稠密集的余集不一定是疏朗的, 如Q. 13. 证明：疏朗集的余集必是稠密集，但稠密集的余集未必是疏朗集. 证明：由第11题知假设E是疏朗集，那么(E)c是稠密集. 而由于E?E，故E从而由(E)c是稠密集得到E是稠密的. 反例：Q和Qc都是

10、稠密集. c-c-c?Ec，16. 孤立集E?R必是至多可数集. 证明：令Ek?E?O(0,k)，那么?Ek?是有界集列，且E?n-k?1Ek，故只需要证明每个Ek是至多可数集即可. 注意到Ek也是孤立集并且有界，方便起见，不妨仍记Ek为E. 这样，问题转为证明：有界的孤立集E是至多可数集. 任取x?E，由孤立性，存在?(x)?0使得 O(x,?(x)?E-x?. * 得到满足*式开球族?O(x,?(x):x?E-K. 明显的，E和开球族K对等. 对K中的球按半径分类. ?1的球的全体. 那么K-n?1Kn，假设能证明每个Kn都是有限集，n就得到K是至多可数集，从而E是至多可数集. 1 下证明

11、：Kn都是有限集. 注意到Kn中每个球的半径大于，且每个球的球心不在其他n1的球中由*式，这说明各个球心之间的间隔 大于. 另一方面，这些球心是一致有界n 令Kn是K中半径大于的. 再结合有界的无限集必有收敛的子列这一命题，知Kn中只能有有限个球. 28. 证明：R中既开又闭的集合只能是R或?. 证明：设A是非空的既开又闭集. 它必有构成区间，不妨设(a,b)是A的一个构成区间.假设a有限, 那么a?A; 另一方面，由A是闭集得a?a,b?(a,b)?A?A, 得到矛盾. 所11以a-?，同理得b-?. 因此A?R，所以R中既开又闭的集或是空集或是R. 实际上：R中既开又闭的集或是空集或是R.

12、 n证明: 反证法. 设A?R是既开又闭的非空又非R的集合. 那么必存在x?R，但111nnnnx?A. 一方面因为A是非空闭集, 所以存在y?A, 使得-x,A-x,y-0. 另一方面, 因为A又是开集, 所以y是内点，而获得非零间隔 的点绝不能是内点只能在边界上到达非零的间隔 ，就导出了矛盾, 所以R中既开又闭的集或是空集或是R. 1假设E有界，那么mE-. 证明：因E有界，故存在M?0，使得x?M,?x?E. 因此E包含在开区间 *nnI-(x1,x2,?,xn):xi?M,i?1,2,?,n?中. 取开覆盖为I,I1,I2,?，其中从第二项开场全是空集. 那么有mE?I?2可数点集的外

13、测度为零. . 证明：设可数点集E-a1,a2,?,an,-，那么E?单点集的外测度为零得到0?mE?m*?I?I-2M-?. i?1?n-a?. 由外测度的次可数可加性和n?1n-?*-?mE?0. a?ma?0，于是?nnn?1n?113 设E1可测且mE1-. 证明：假设E1?E2,m*E2?mE1，那么E2可测. 证明：因E1可测，在可测性的Caratheodory条件中取T?E2得 m*E2?m*?E2?E1-m*?E2E1?. 因E2?E1，所以E2?E1?E1，又mE2?mE代入上等式得到m?E2E1-0. 1-，*这说明E2E1是零测集，故是可测集. 而E2?E1-E2E1?，右边是两个可测集的并，故E2可测. 25 E可测的充要条件是：对-?0，存在开集G?E和闭集F?E，使得m?GF-?. 证明：必要性：因为E可测，所以对任意的-0, 存在开集G?E, 使得m?GE-?2，同时存在闭集F?E, 使得m?EF-?2，此时 第 10 页 共 10 页