高中高一数学各篇知识点总结

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1、第一章 集合与函数概念一、集合有关概念一、集合的含义：某些指定的对象集在一路就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。二、集合的中元素的三个特性： 1.元素的肯定性； 2.元素的互异性； 3.元素的无序性 。说明： (1)对于一个给定的集合，集合中的元素是肯定的，任何一个对象或是或不是那个给定的集合的元素。 (2)任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时，仅算一个元素。 (3)集合中的元素是平等的，没有前后顺序，因此判定两个集合是不是一样，仅需比较它们的元素是不是一样，不需考查排列顺序是不是一样。 (4)集合元素的三个特性使 集合本身具有了肯定性和整体性。3、集合

2、的表示： 如我校的篮球队员，太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋 。(1)用拉丁字母表示集合：A=我校的篮球队员,B=1,2,3,4,5 。 (2)集合的表示方式：列举法与描述法。注意： 常常利用数集及其记法：非负整数集（即自然数集）记作： N ；正整数集 N*或 N+ ； 整数集 Z ；有理数集 Q ； 实数集 R 。关于“属于”的概念：集合的元素通常常利用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素， 就说 a 属于集合 A 记作 aA ，相反，a 不属于集合 A 记作 a A。集合的表示方式：列举法：把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上。 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来

3、，写在大括号内表示集合的方式。用肯定的条件表示某些对象是不是属于那个集合的方式。 语言描述法：例：不是直角三角形的三角形 数学式子描述 法：例：不等式 x-32 的解集是x | x-32 且 xR 。4、集合的分类：(1)有限集：含有有限个元素的集合 (2)无穷集：含有无穷个元素的集合 (3)空 集：不含任何元素的集合，例：x|x2=5二、集合间的大体关系1、“包括”关系 子集 注意： 有两种可能（1）A 是 B 的一部份；（2）A 与 B 是同一集合。反之: 集合 A 不包括于集合 B，或集合 B 不包括集合 A，记作 A 2、“相等”关系 “元素相同”B 或 B A 。对于两个集合 A 与

4、 B，若是集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素，同时,集合 B 的任何一个元素都是集合 A 的元素，咱们就说集合 A 等于集合 B，即：A=B 。 任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集：若是 AB 且 AB，那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 (或 ) 若是 A B，B C ，那么 A C 若是 A B ，同时 B A 那么 A=B3、 不含任何元素的集合叫做空集，记为。 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合 的真子集。三、集合的运算1、交集的概念：一般地，由所有属于A 且属于 B 的元素所组成的集合，叫做 A 与 B 的交集。记作A A A= CAB(读作“

5、A 交 B”)，即 AB=x |xA,且 xB。二、并集的概念：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A 与 B 的 并集。记作：AB(读作“A 并 B”)，即 AB=x |xA,或 xB。3、交集与并集的性质：AA = A, A= , AB = BA, AA = A, A= A ,AB = BA. 4、全集与补集（1）补集：设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合，叫做S 中子集 A 的补集（或余集）记作：CA ， 即 C A S S=x xS 且 x A（2）全集：若是集合 S 含有咱们所要研究的各个集合的全数元

6、素，那个集合就可以够看做一个全集。通常常利用 U 来表示。（3）性质：CCUU=A CA AU UA=U 。四、函数的有关概念1、函数的概念：设 A、B 是非空的数集，若是依照某个肯定的对应关系 f，使对于集合 A 中的任意 一个数 x，在集合 B 中都有唯一肯定的数 f(x)和它对应，那么就称 f 为从集合 A 到集合 B 的一个函 数。记作： y=f(x)，xA。其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的概念域；与 x 的值相 对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)| xA 叫做函数的值域。注意：若是只给出解析式 y=f(x)，而没有指明它的概念域，则函数的概念域即是指能

7、使那个式子成心义的实数的集合；函 数的概念域、值域要写成集合或区间的形式。概念域概念：能使函数式成心义的实数 x 的集合称为 函数的概念域，求函数的概念域时列不等式组的主要依据是：(1)分式的分母不等于零； (2)偶次方 根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必需大于零；(4)指数、对数式的底数必需大于零且不等 于 1； (5)若是函数是由一些大体函数通过四则运算结合而成的，那么它的概念域是使各部份都成心 义的 x 的值组成的集合； (6)实际问题中的函数的概念域还要保证明际问题成心义。（又注意：求出 不等式组的解集即为函数的概念域）2、组成函数的三要素：概念域、对应法则和值域 再注意：（

8、1）组成函数三个要素是概念域、对应 关系和值域。由于值域是由概念域和对应关系决定的，所以若是两个函数的概念域和对应关系完全 一致，即称这两个函数相等（或为同一函数）（2）两个函数相等当且仅当它们的概念域和对应关系 完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。相同函数的判断方式：表达式相同；概念域 一致 (两点必需同时具有) (见讲义 21 页相关例 2)值域补充 (1)函数的值域取决于概念域和对应法则，不论采取什么方式求函数的值域都应先考 虑其概念域。 (2)应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求 解复杂函数值域的基础。3、 函数图象知识归纳(1)概念：在平面直

9、角坐标系中，以函数 y=f(x) , (xA)中的 x 为横坐标，函数值 y 为纵坐标的 点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x)，(x A)的图象。C 上每一点的坐标(x , y)均知足函数关系 y=f(x)， 反过来，以知足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x 、 y 为坐标的点 (x , y) ，均在 C 上 。即记为 C= P(x,y) | y= f(x) , xA 图象 C 一般是一条滑腻的持续曲线(或直线)，也可能是由与任意平行与 Y 轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。(2) 画法：A、描点法：按照函数解析式和概念域，求出 x,y 的一些对应值并列表，以

10、(x,y)为坐 标在座标系内描出相应的点 P(x, y)，最后用光滑的曲线将这些点连接起来。B、图象变换法（请参 考必修 4 三角函数） 常常利用变换方式有三种，即平移变换、伸缩变换和对称变换。(3)作用：直观的看出函数的性质；利用数形结合的方式分析解题的思路，提高解题的速度， 发觉解题中的错误。4 、区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间；（2）无穷区间；（3 ）区间的 数轴表示5、什么叫做映射 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，若是按某一个肯定的对应法则 f，使对于 集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一肯定的元素 y 与之对应，那么就称对应“f:A

11、B” 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f:AB”，给定一个集合 A 到 B 的映射，若是 aA，b1 21 21 21 21 2 1 21 21 21 21 21 21 21 21 2B，且元素 a 和元素 b 对应，那么，咱们把元素 b 叫做元素 a 的象，元素 a 叫做元素 b 的原象 说 明：函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，集合 A、B 及对应法则 f 是肯定的；对 应法则有“方向性”，即强调从集合 A 到集合 B 的对应，它与从 B 到 A 的对应关系一般是不同的； 对于映射 f：AB 来讲，则应知足：（）集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，而且象

12、是唯一的；（）集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象能够是同一个；（）不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。6、常常利用的函数表示法及各自的长处： 函数图象既能够是持续的曲线，也能够是直线、折线、 离散的点等等，注意判断一个图形是不是是函数图象的依据； 解析法：必需注明函数的概念域； 图象法：描点法作图 要注意： 肯定函数的概念域；化简函数的解析式；观察函数的特征； 列 表法：选取的自变量要有代表性，应能反映概念域的特征。注意：解析法：便于算出函数值。列表 法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值。补充一：分段函数 （参见讲义 P24-25） 在概念域的不同部份上有不

13、同的解析表达式的函数。 在不同的范围里求函数值时必需把自变量代入相应的表达式。分段函数的解析式不能写成几个不同 的方程，而就写函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并别离注明各部份的自变量的 取值情形。（1）分段函数是一个函数，不要把它误以为是几个函数；（2）分段函数的概念域是各段 概念域的并集，值域是各段值域的并集。补充二：复合函数 若是 y=f(u),(uM),u=g(x),(xA),则 y=fg(x)=F(x)，(xA) 称为 f、g 的复 合函数。 例如: y=2sinX y=2cos(X2+1)7、函数单调性（1）增函数 设函数 y=f(x)的概念域为 I，若是对于概念域 I

14、 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x ，x ，当 x x 时，都有 f(x )f(x )，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的单 调增区间（清楚讲义单调区间的概念）。若是对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x ，x ，当 x x 时， 都有 f(x )f(x )，那么就说 f(x)在那个区间上是减函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间。注意： 函数的单调性是在概念域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 必需是对于区间 D 内 的任意两个自变量 x ，x ；当 x x 时，总有 f(x )f(x ) 或 f(x )f(x )。（2） 图象的

15、特点 若是函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上 具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减函数的图象从左到右是下 降的。（3）函数单调区间与单调性的判定方式(A) 概念法：任取 x ，x D，且 x 1，且 *当 是奇数时，正数的 次方根是一个正数，负数的 次方根是一个负数现在， 的 次方根用符号 表 示式子 叫做根式（radical），这里 叫做根指数（radical exponent），叫做被开方数（radicand） 当 是 偶数时，正数的 次方根有两个，这两个数互为相反数现在，正数的正的 次方根用符号 表示，负 的

16、次方根用符号 表示正的 次方根与负的 次方根能够归并成 （ 0）由此可得：负数没有偶 次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 。注意：当 是奇数时， ，当 是偶数时，2分数指数幂正数的分数指数幂的意义，规定： 0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数 幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂3实数指数幂的运算性质（1） ；（2） ；（3） （二）指数函数及其性质1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数（exponential function），其中 x 是自变量，函数 的概念域为 R 注

17、意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 12、指数函数的图象和性质 a1 0a1 0a 0 ,w 0 , T =2 pwuy = ACosy = ASin(w(wxx+jj), A 0 , w 0 , T =, A 0 , w 0 , T =2 pwpwy =ACos(wx+j), A 0 , w 0 , T =pwy =ASin(wx+j)+b , A 0 , w 0 , b 0 , T =2 pwy =ACos(wx+j)+b , A 0 ,w 0 , b 0 , T =2 pwy = A tan(wx+j), A 0 ,w 0 , T =pwy = A cot(wx+j),

18、A 0 ,w 0 , T =pwy = A tan(wx+j), A 0 ,w 0 , T =pwy = A cot (wx+j), A 0 , w 0 , T =pw规律总结上面这些诱导公式能够归纳为：对于 k/2(kZ)的个三角函数值，当 k 是偶数时，取得 的同名函数值，即函数名不改变；当 k 是奇数时，取得 相应的余函数值，即 sincos;cossin;tancot,cottan. （奇变偶不变）然后在前面加上把 看成锐角时原函数值的符号。（符号看象限） 例如：sin(2)sin(4/2)，k4 为偶数，所以取 sin。当 是锐角时，2(270，360)，sin(2)0，符号为“”。

19、所以 sin(2)sin记忆口诀是：奇变偶不变，符号看象限。公式右边的符号为把 视为锐角时，角 k360+（kZ），-、180，360-所在象限的原三角函数值的符号可记忆水平诱导名不变；符号看象限。各种三角函数在四个象限的符号如何判断，也可以记住口诀“一全正；二正弦；三为切；四余弦” 这十二字口诀的意思就是说：第一象限内任何一个角的四种三角函数值都是“”；第二象限内只有正弦是“”，其余全部是“”；第三象限内切函数是“”，弦函数是“”；第四象限内只有余弦是“”，其余全部是“” 三角函数的性质性 质定义域值 域周期性奇偶性单调性y =Sin xR-1,12p奇函数 p p2kp- ,2kp+ ,

20、k z, 增函数 2 2 p 3p2kp+ ,2 kp+ , k z, 减函数 2 2 y =Cos xR-1,12p偶函数2kp-p,2kp,kz,增函数 2kp,2kp+p,kz,减函数对称中心(kp,0 ),kzpkp+ ,02,k z 对称轴x =kp+p2, k zx =kp, k z图像2 x x kpkz, 性 质定义域值 域周期性奇偶性y =tan x p x x kp+ , kz Rp奇函数y =cot x Rp奇函数单调性kpp p - , k p + 2 2 , k z , 增函数(kp,kp+p),kz,增函数对称中心(kp,0 ),k zkp+p2,0, k z对称轴

21、图无无y像0x怎样由y =Sinx变化为y =ASin(wx+j)+k？振幅转变：y =Sinx y =ASinx左右伸缩转变：y =ASin wx左右平移转变y =ASin (wx +j)上下平移转变y =ASin (wx +j)+k平面向量共线定理：一般地，对于两个向量( )a, a 0 , b, 如果有( )一个实数l,使得b =la, a 0 , 则b与a是共线向量；反之如果b与a是共线向量 那么又且只有一个实数l,使得b =la. 线段的定比分点点P分有向线段P P 所成的比的定义式 P P =lPP 1 2 1 2线段定比分点坐标公式.线段定比分点向量公式x =y =x +lx1

22、21 +ly +ly11 +l2.OP =OP +lOP11 +l2 不 共面的向量2 2 2 1 2 2 2当 l=1时线段中点坐标公式当 l=1时线段中点向量公式x =x + x122y =y + y122.OP =OP +OP122向量的一个定理的类似推行 向量共线定理：b =la( )a 0推行平面向量大体定理：a =le + l e1 1 2 2,其中 e , e 为该平面内的两个 1 2不共线的向量推行空间向量大体定理：a =l e +l e +l e ,1 1 2 2 3 3其中 e , e , e 为该空间内的三个 1 2 3 一般地，设向量a =(x,y ),b=(x,y )

23、且a0,如果a 1 1 2 2b那么x y -x y =0 1 2 2 1反过来，若是x y -x y =0, 则a b . 1 2 2 1一般地，对于两个非零向量a , b 有 a b = a b Cosq， 其中为两向量的夹角。Cosq=a ba b=x1x x + y y 1 2 1y x+2+y22特别的，a a =a = a或者 a = a a如果 a =(x,y ), b =(x,y1 1 2 2特别的 , a b x x +y y =01 2 1 2)且a 0 , 则a b =x x +y y1 2 12若正n边形A A A的中心为O , 则OA +OA +OA=0 1 2 n

24、1 2 n三角形中的三角问题A + B +C =p,A + B +C p A + B p C= , = - 2 2 2 2 2Sin (A+B )=Sin (C)Cos (A+B )=-Cos (C)SinA + B2 C =Cos 2 CosA + B2 C = Sin 2 u 两角的和与差公式：( a +b)( )1 CosSin 正弦定理：a b c a +b +c= = =2 R =SinA SinB SinC SinA +SinB +SinC余弦定理：a2=b2+c 2 -2bcCosA , b 2 =a c 2 =a 2 +b 2 -2 abCosC2+c2-2 acCosB变形：

25、CosA =b 2 +c 2 -a 2 a 2 +c 2 -b 2, CosB =2bc 2 ac a 2 +b 2 -c 2CosC =2abwtan A +tan B +tan C =tan A tan B tan C三角公式和恒等变换Sin (a+b)=SinaCos b + Cos aSin b Sin (a-b)=SinaCos b - Cos aSin bCos(a+b)=CosaCosb-SinaSinb,C, S, S(aa+-bb)Cos(a-b)=CosaCosb+SinaSinb,C( a-b)tan a+tan btan a+b= , T1 -tan atan b (

26、a+b)变形：tantantana +tana -tana +tanb =tanb =tanb +tan(a+b)(1-tanatanb (a-b)(1+tanatanb c =tan a tan btan c)tan(a-b)=tan a-tan b 1 +tan atan b, T(a-b)其中 a,b,c为三角形的三个内角 二倍角公式：Sin 2a= 2 SinaCosaCos 2 a = 2 Cos 2 a -1 =1 - 2 Sin 2 a = Cos 2 a - Sin 2 atan 2a=2 tan1 - tana2 aw 半角公式：SinCosa 1 -Cos a =2 2 a

27、 1 +Cos a=2 2tana2=1 -Cos1 +Cosa Sin a 1 -Cos = =a 1 +Cos a Sin aax 降幂扩角公式：Cos 2 a =1 + Cos 22a, Sin 2 a =1 - Cos 22ay 积化和差公式：SinCosaCosaSinbb=1212Sin(a+b)+Sin(a-b) Sin(a+b)-Sin(a-b)CosaCosb= Cos (a+b)+Cos(a-b) 2Sin aSin b = -12Cos (a+b)-Cos(a-b)Sina +Sinb= 2 Sina +2b a -2bz 和差化积公式：Sin a -Sin b = 2

28、Cosa +2b a- Sin 2b（S + S = 2 SC S - S = 2 CS）Cosa +Cosb= 2 Cosa + b a-bCos 2 2C + C = 2 CC C - C = -2 SSCos a -Cos b = -2 Sina +2b a -2b和差化积公式推导第一,咱们明白 sin(a+b)=sina*cosb+cosa*sinb,sin(a-b)=sina*cosb-cosa*sinb 我们把两式相加就得到 sin(a+b)+sin(a-b)=2sina*cosb所以,sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2同理,若把两式相减,就得到 cosa

29、*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2同样的,我们还知道 cos(a+b)=cosa*cosb-sina*sinb,cos(a-b)=cosa*cosb+sina*sinb 所以,把两式相加,我们就可以得到 cos(a+b)+cos(a-b)=2cosa*cosb所以我们就得到,cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2同理,两式相减我们就得到 sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2这样,我们就得到了积化和差的四个公式:sina*cosb=(sin(a+b)+sin(a-b)/2cosa*sinb=(sin(a+b)-sin(a-b)/2

30、cosa*cosb=(cos(a+b)+cos(a-b)/2sina*sinb=-(cos(a+b)-cos(a-b)/2好,有了积化和差的四个公式以后,我们只需一个变形,就可以得到和差化积的四个公式. 我们把上述四个公式中的 a+b 设为 x,a-b 设为 y,那么 a=(x+y)/2,b=(x-y)/2把 a,b 分别用 x,y 表示就可以得到和差化积的四个公式: sinx+siny=2sin(x+y)/2)*cos(x-y)/2)sinx-siny=2cos(x+y)/2)*sin(x-y)/2)cosx+cosy=2cos(x+y)/2)*cos(x-y)/2)cosx-cosy=-2

31、sin(x+y)/2)*sin(x-y)/2) 全能公式:SinCosaa=2 tan1 + tan1 - tan1 + tana2222a2a2a2(S +T -C -+)tan a =2 tan1 - tana2a22附 推 导 ： sin2=2sincos=2sincos/(cos2()+sin2().* ， （ 因 为cos2()+sin2()=1） 再把*分式上下同除 cos2()，可得 sin2 tan2/(1tan2() 然后用 /2 代替 即可。 同理可推导余弦 的全能公式。正切的全能公式可通过正弦比余弦取得| 三倍角公式：Sin 3qCos 3q= 3 Sin q= 4 Co

32、s- 4 Sin 3 q 3 q -3 Cosqtan 3q =3 tan q -tan 3 q 1 -3 tan 2 q“三四立，四立三，中间横个小扁担”三倍角公式推导tan3sin3/cos3(sin2coscos2sin)/(cos2cos-sin2sin)(2sincos2()cos2()sinsin3()/(cos3()cossin2()2sin2()cos) 上下同除以 cos3()，得：tan3(3tantan3()/(1-3tan2()sin3sin(2)sin2coscos2sin2sincos2()(12sin2()sin2sin2sin3()sin2sin2()3sin4

33、sin3()cos3cos(2)cos2cossin2sin(2cos2()1)cos2cossin2()2cos3()cos(2cos2cos3()4cos3()3cos即 sin33sin4sin3()cos34cos3()3cos三倍角公式联想记忆记忆方式：谐音、联想正弦三倍角：3 元 减 4 元 3 角（欠债了(被减成负数)，所以要“挣钱”(音似“正弦”)） 余弦三倍角：4 元 3 角 减 3 元（减完之后还有“余”）注意函数名，即正弦的三倍角都用正弦表示，余弦的三倍角都用余弦表示。1. y = aSina +bCosa =a2+b2Sin(a+j)其中, tanj=ba2. y =

34、aCosa +bSina =a2+b2Sin(a+j)其中, tanj=aba 2 +b 2 Cos (a-j) =3. y = aSin a -bCos a =a 2 +b 2 Sin (a-j)其中其中, tan j =, tan j =baba= - a 2 +b 2 Cos(a+j)其中, tanj=ab4. y = aCosa -bSina =a2+b2Sin(j-a)= - a2+b2Sin(a-j)其中 , tanj=ab=a2+b2Cos(j+a)其中 , tanj=ba注 : 不同的形式有不同的化归 , 相同的形式也有不同的化归 , 进而可以求解最值问题. 不需要死记公式,

35、只要记忆1. 的推导即表达技巧, 其它的就可以直接写出.一般是表达式第一项是正弦的就用两角和与差的正弦来靠 , 第一项是余弦的就用两角和与差的与弦来靠. 比较容易理解和掌握.补充： 1. 由公式tan (a+b)=tan a1 - tan+ tana tanbb, T(a+b)tan (a-b)=tan a1 + tan- tana tanbb, T(a-b)能够推导 ：当a+b=kp+p4时,kz , (1+tana)(1+tanb)=2在有些题目中应用普遍。2.tana+tanb+tan(a+b)tanatanb=tan(a+b)3. 柯西不等式( a2 +b 2 )( c 2 +d 2 ) ( ac +bd ) 2, a , b, c , d R.补充c a b ca b1常见三角不等式：（1）若x (0,p2)，则sin x x tan x.(2) 若x (0,p2) ，则 1 sin x +cos x 2. (3)| sin x | +| cos x |1.2.sin(a+b)sin(a-b) =sin2a-sin2b(平方正弦公式);cos(a+b)cos(a-b) =cos2a-sin2b.a sina+b cosa= a2+b2sin(a+j)(辅助角 j 所在象限由点( a, b )的象限决定,tanj =ba)