高三数学第一轮复习单元讲座 第30讲 数列求和及数列实际问题教案 新人教版

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1、普通高中课程标准实验教科书数学 人教版高三新数学第一轮复习教案（讲座 30）数列求和及数列实际问题一课标要求：1探索并掌握一些基本的数列求前 n 项和的方法；2能在具体的问题情境中，发现数列的数列的通项和递推关系，并能 用有关等差、等比数列知识解决相应的实际问题。二命题走向数列求和和数列综合及实际问题在高考中占有重要的地位，一般情况 下都是出一道解答题，解答题大多以数列为工具，综合运用函数、方程、 不等式等知识，通过运用逆推思想、函数与方程、归纳与猜想、等价转化、 分类讨论等各种数学思想方法，这些题目都考察考生灵活运用数学知识分 析问题和解决问题的能力，它们都属于中、高档题目。有关命题趋势：1

2、数列是一种特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的有效 工具，三者的综合题是对基础和能力的双重检验，在三者交汇处设计试题， 特别是代数推理题是高考的重点；2数列推理题是将继续成为数列命题的一个亮点，这是由于此类题目 能突出考察学生的逻辑思维能力，能区分学生思维的严谨性、灵敏程度、 灵活程度；3数列与新的章节知识结合的特点有可能加强，如与解析几何的结合 等；4有关数列的应用问题也一直备受关注。预测 2007 年高考对本将的考察为：1可能为一道考察关于数列的推导能力或解决生产、生活中的实际问 题的解答题；2也可能为一道知识交汇题是数列与函数、不等式、解析几何、应用 问题上等联系的综合题，以及数

3、列、数学归纳法等有机结合。三要点精讲1数列求通项与和（1）数列前 n 项和 S 与通项 a 的关系式：a =n n ns -sn n -1s1n 2n =1。n 1 n n1（2）求通项常用方法作新数列法。作等差数列与等比数列；累差叠加法。最基本的形式是：a =(a a )+(a +a )+(a n n n1 n1 n2 2a )+a ；1 1归纳、猜想法。（3）数列前 n 项和重要公式：1+2+n=12n(n+1)；12+22+n2=16n(n+1)(2n+1)；13+23+n3=(1+2+n)2=14n2(n+1)2；等差数列中，S =S +S +mnd；m+n m n等比数列中，S =S

4、 +qnS =S +qmS ；m+n n m m n裂项求和将数列的通项分成两个式子的代数和，即 a =f(n+1)f(n)，然后累加n抵消掉中间的许多项，这种先裂后消的求和法叫裂项求和法。用裂项法求 和 ， 需 要 掌 握 一 些 常 见 的 裂 项 ， 如 ：a =n1n +11 1 1 1 1 1 = ( - ) 、 = ( An +B )( An +C ) C -B An +B An +C n( n +1) nn 1 1、nn！=(n+1)!n!、C r1=C rC r、 = 等。( n +1)! n! ( n +1)!错项相消法对一个由等差数列及等比数列对应项之积组成的数列的前 n

5、项和，常用错项相消法。a =b c n n n, 其中bn是等差数列，cn是等比数列，记S =b c +b c + +b n 1 1 2 2c n -1 n -1+b cn n，则qS =b c +b c +b c n 1 2 n -1 n n n +1，并项求和把数列的某些项放在一起先求和，然后再求 S 。n数列求通项及和的方法多种多样，要视具体情形选用合适方法。通项分解法： 2递归数列a =b c n n nn 1 n n n n + + L+数列的连续若干项满足的等量关系 a =f(a ,a ,a )称为数列n+k n+k1 n+k2 n的递归关系。由递归关系及 k 个初始值可以确定的一

6、个数列叫做递归数列。如由 a =2a +1，及 a =1，确定的数列 n+1 n 12n-1即为递归数列。递归数列的通项的求法一般说来有以下几种：（1）归纳、猜想、数学归纳法证明。（2）迭代法。（3）代换法。包括代数代换，对数代数，三角代数。（4）作新数列法。最常见的是作成等差数列或等比数列来解决问题。 四典例解析题型 1：裂项求和例 1已知数列an为等差数列，且公差不为 0，首项也不为 0，求和：i =11a ai i +1。解 析 ： 首 先 考 虑a a i =1 i i +1=n 1 1 1( - )d a a i =1 i i +1， 则i =11a ai i +1=1 1 1 n(

7、 - ) =d a a a a 1 n +1 1 n +1。点评：已知数列an为等差数列，且公差不为 0，首项也不为 0，下列求和i =11a + ai i +1=i =1a - ai +1 id也可用裂项求和法。例 2求1 1 1 11+ + ,(nN*) 1+2 1+2+3 1+2+3+4 1+2+3+L+n。解析：Q a = k1 2=1 +2 +k k ( k +1)，S =2n1 1 1 + + + 1 2 2 3 n(n +1) 1 1 1 1 1 =21- +- +- 2 2 3 n n +1 1 =21- = n +12nn +1点评：裂项求和的关键是先将形式复杂的因式转化的简

8、单一些。 题型 2：错位相减法例 3设 a 为常数，求数列 a，2a2，3a3，nan，的前 n 项和。解析：若 a=0 时，S =0；n若 a=1，则 S =1+2+3+n=n12n(n -1)；若 a1，a0 时，S -aS =a（1+a+an-1-nan），n nS =na(1 -a)21 -(n +1)a n +na n +1。例 4已知a 0, a 1 ，数列 an是首项为 a，公比也为 a 的等比数列，令b =a lg a ( n N ) n n n，求数列bn的前n 项和 S 。n解析：a =ann, b =n a nnlg a，-得：(1 -a ) S =( a +a 2 +

9、+a n -na n +1) lg an，点评：设数列an的等比数列，数列bn是等差数列，则数列abn n的前n项和Sn求解，均可用错位相减法。题型 3：倒序相加例 5求S =3C 1 +6C 2 + +3nC n n n n n。解析：S =0 C 0 +3C 1 +6C 2 + +3nC n n n n n n。 又S =3nCnn +3( n -1) C n -1 n n+ +3C1n+0 C0n。 所以S =3n 2 nn -1。点评：S 表示从第一项依次到第 n 项的和，然后又将 S 表示成第 n 项 n n依次反序到第一项的和，将所得两式相加，由此得到 S 的一种求和方法。n2 n

10、 例 6设数列an是公差为 d ，且首项为a =d0的等差数列，求和：Sn +1=a C00n+a C11n+L +a C nnn解析：因为Sn +1=a C00n+a C11n+L +a C nnn，Sn +1=a C n +a C n -1 +L +a C 0 =a C 0 +a C 1 +L +a C n n n -1 n 0 n n n n -1 n 0nn，n -1 S=( a +a ) 2。0 nn +1点评：此类问题还可变换为探索题形：已知数列an的前n项和S =( n -1)2 n +1 n，是否存在等差数列b使得a =b C1 +b C 2 +L+bC nn n 1 n 2

11、n n n对一切自然数 n 都成立。题型 4：其他方法例 7求数列 1，3+5，7+9+11，13+15+17+19，前 n 项和。 解析：本题实质是求一个奇数列的和。在该数列的前 n 项中共有1+2 +n =n(n +1) 2个 奇 数 ，故n(n +1)1 +1 +( -1) 2n(n +1) n 2 (n +1) S = =2 2 42。1 1 1例 8求数列 1，3 ，32 ，3n 的各项的和。3 32 3n解 析 ： 其 和 为 (1 3 3n) (1 1+3 32 13n+1 -1 1-3-n 1)= + = (3n13-n)。 2 2 23n题型 5：数列综合问题例 9（ 200

12、6 年浙江卷）已知函数f ( x )x3+x2，数列 | x | （x 0）n n的 第 一 项 x 1 ， 以 后 各 项 按 如 下 方 式 取 定 ： 曲 线 y 1f ( x )在( xn +1f ( x ) n +1处的切线与经过（0，0）和（x ，f（x ）两点的直线平行n nn n 1 n 1 n n n n （如图）。求 证 ： 当 n N * 时 ：（ I ）xn2+x =3 x n n -12+2 xn +1；（ II ）1 1 ( ) n -1 x ( )2 2n -2。解析：（I）因为f ( x ) =3 x 2+2 x,所 以 曲 线y = f ( x) 在 ( xn

13、 +1, f ( x ) n +1处 的 切 线 斜 率kn +1=3 x2n +1+2 x .n +1因为过(0,0)和( x , f ( x ) n n两点的直线斜率是x 2n+x ,n所以x 2 +x =3 x 2 +2 x n n n +1n +1.（II）因为函数h ( x) =x2+x当x 0时单调递增，而x2n+x =3 x n2n +1+2 xn +14 x2n +1+2 xn +1=(2 xn +1)2+2 xn +1所以x 2 xn n +1，即x 1 n +1 , x 2n因此x x x 1 x = n n -1 2()n-1.x x x 2 n -1 n -2 1又因为

14、x 2 +x 2( x 2 +x n n n +1n +1),令y =x 2 +x , n n n则y 1 n +1 . y 2n因为y =x 21 11+x =2, 所以 y ( )2n -11 y =( ) n -2 .2因此1x x 2 +x ( )2n -2,故1( )2n -11 x ( )2n -2.点评：数列与解析几何问题结合在一块，数列的通项与线段的长度、0 k 点的坐标建立起联系。例 10 （2006 年辽宁卷）已知 k n ( n, k N )+F ( x ) =C 0 f ( x 2 ) +C 1 f ( x 2 ) +. +Cn 0 n 1knf ( x )f ( x)

15、 =x n , f ( x ) = k -1 , 其中f (1)k -1, 设 f ( x 2 ) +. +C n f ( x 2 ) , x -1,1k n n。(I) 写 出f (1)k； (II) 证 明 : 对 任 意 的x , x -1,1 1 2, 恒 有F ( x ) -F ( x ) 21 2n -1( n +2) -n -1。解 析 ： (I) 由 已 知 推 得 f (1) =n -k +1 ；k-1x 1(II) 证法 1:当时，f ( x) =( n -k +1) x kn -k, 从 而 有当 x0 时,F (x) 0 ,所以 F ( x)在0,1上为增函数。因函数F

16、 ( x )为偶函数所以F ( x )在1,0上为减函数，所以对任意的x , x -1,1F(x) -F ( x ) F (1)-F (0) 1 2 1 2，因此结论成立。证法 2：当-1x 1时,当 x0 时,F (x) 0 ,所以 F ( x)在0,1上为增函数。因函数F ( x )为偶函数所以F ( x )在-1,0上为减函数所以对任意的x , x -1,1F(x) -F ( x ) F (1)-F (0) 1 2 1 2又因F (1) -F (0) =2C1n+3C2n+. +kCk -1n+. +nCn -1n+C0n所以2 F (1) -F (0) =( n +2) C 1 +C

17、2 +. +C k -1 +. +C n -1 +2C 0n n n n n因此结论成立。证法 3：当-1x 1时,当 x0 时,F (x) 0 ,所以 F ( x)在0,1上为增函数。因为函数F ( x )为偶函数所以F ( x )在1,0上为减函数。所以对任意的x , x -1,1F(x) -F ( x ) F (1)-F (0) 1 2 1 2由对上式两边求导得：因此结论成立。点评：数列与函数、导数结合在一块，考察数列是一种特殊的函数的 性质，其中还要用到数列的函数性质来解释问题。题型 6：数列实际应用题例 11某企业进行技术改造，有两种方案，甲方案：一次性贷款 10万元，第一年便可获利

18、 1 万元，以后每年比前一年增加 30%的利润；乙方案：每年贷款 1 万元，第一年可获利 1 万元，以后每年比前一年增加 5 千元；两种方案的使用期都是 10 年，到期一次性归还本息. 若银行两种形式的贷款都按年息 5%的复利计算，试比较两种方案中，哪种获利更多？（取1.0510=1.629,1.310=13.786,1.510=57.665）解析：甲方案是等比数列，乙方案是等差数列，甲方案获利 ：1 +(1 +30%) +(1 +30%) 2 +L+(1 +30%) 9 =1.310 -10.342.63（万元），银行贷款本息：10(1 +5%) 10 16.29（万元），故甲方案纯利：42

19、.63 -16.29 =26.34（万元），乙方案获利 ：1 +(1 +0.5) +(1 +2 0.5) +L+(1 +9 0.5) =10 1 + =32.50（万元）；10 920.5银行本息和：1.05 1 +(1 +5%) +(1 +5%) 2 +L +(1 +5%) 9 1.0510 -1=1.05 13.210.05（万元）故乙方案纯利：32.50 -13.21 =19.29（万元）；综上可知，甲方案更好。点评：这是一道比较简单的数列应用问题，由于本息金与利润是熟悉 的概念，因此只建立通项公式并运用所学过的公式求解。例 12（2005 湖南 20）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，

20、为持续 利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用 x 表示某鱼群在第 n 年年初的总量，nN*，且 x 0.不考虑其它因素，n 1设在第 n 年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与 x 成正比，死亡量与 x 2 成正比，n n这些比例系数依次为正常数 a，b，c。（）求 x 与 x 的关系式；n+1 n（）猜测：当且仅当 x ，a，b，c 满足什么条件时，每年年初鱼群的1总量保持不变？（不要求证明）（）设 a2，b1，为保证对任意 x （0,2），都有 x 0，nN*，1 n则捕捞强度 b 的最大允许值是多少？证明你的结论。解析：（I）从第 n 年初到第 n+1 年初，鱼群

21、的繁殖量为 ax ，被捕捞量n为 bxn， 死 亡 量 为cx2n, 因此xn +1-x =ax -bx -cx n n n2n, n N *.(*)即xn +1=x ( a -b +1 -cx ), n N *.(*) n n（II）若每年年初鱼群总量保持不变，则 x 恒等于 x ， nN*，n 1从而由（*）式得：因为 x 0，所以 ab。 1猜测：当且仅当 ab，且 x =1a -bc时，每年年初鱼群的总量保持不变。（）若 b 的值使得 x 0，nN*n由 x =x (3bx ), nN*, 知 0x 3b, nN*, 特别地，有 0x 3 n+1 n n n 1b. 即 0b0。k又因

22、为 x =x (2x )=(x 1)2+11 a 时，a = a a a 1（n3）； n-1 n-2 n n-1 n-2 n-1当 a a ), 2 n -1 2 n -1 2 na ( a a ), 2 n 2 n -1 2 nn=1，2，3，则 0c c 1（n=2，3，4）.n n-1由于 c 是确定的正整数，这样减少下去，必然存在某项 c 0 1 1 n（n=1，2，3）矛盾.从而a 必有零项。n若第一次出现的零项为第 n 项，记 a =A（A0），则自第 n 项开始，n-1没三个相邻的项周期地取值 O，A，A，即 a =0,n +3ka =A, k =0,1,2,3, n +3k

23、+1a =A,n +3k +2所以绝对等差数列a 中有无穷多个为零的项。n点评：通过设置“等差数列”这一概念加大学生对情景问题的阅读、 分析和解决问题的能力。例 14（2005 江苏 23）设数列a 的前 n 项和为 S ，已知 a 1，an n 1 26，a 11，且 3(5n -8) Sn +1-(5n +2) S =An +B, n =1,2,3, ，其中 A,Bn为常数。（）求 A 与 B 的值；（）证明数列a 为等差数列；n（）证明不等式5amn- a a 1 m n对任何正整数 m、n 都成立分析：本题是一道数列综合运用题，第一问由 a 、a 、a 求出 s 、s 、1 2 3 1

24、 2s 代入关系式，即求出 A、B；第二问利用 3a =s -s n nn -1( n 1)公式，推导得证数列a 为等差数列。n解答：（1）由已知，得 S =a =1,S =a +a =7,S =a +a +a =18。1 1 2 1 2 3 1 2 3由(5n8)S (5n+2)S =An+B 知：n+1 n -3S -7 S =A +B , A +B =-28. 2 1 即2S -12 S =2 A +B, 2 A +B =-48. 3 2。解得 A=20，B=8。（）方法 1由（1）得，（5n-8）S -(5n+2)S =-20n-8, n+1 n所以 (5n-3)S -(5n+7)S

25、=-20n-28, n+2 n+1-,得, (5n-3)S (10n-1)S +(5n+2)S =-20, n+2- n+1 n所以 (5n+2)S -(10n+9)S +(5n+7)S =-20.n+3 n+2 n+1-,得 (5n+2)S -(15n+6)S +(15n+6)S -(5n+2)S =0.n+3 n+2 n+1 n因为 a =S -Sn+1 n+1 n所以 (5n+2)a -(10n+4)a +(5n+2)a =0.n+3 n+2 n+1又因为 (5n+2) 0 ,所以 a -2a +a =0,n+3 n+2 n+1即 a -a =a -a ,n+3 n+2 n+2 n+1又

26、 a -a =a -a =5,3 2 2 1n 1.所以数列方法 2.a n为等差数列。由已知，S =a =1,1 1又(5n-8)S -(5n+2)S =-20n-8,且 5n-8 n+1 n0,所以数列s 是惟一确定的 ， 因而数列a n n是惟一确定的。设 b =5n-4,则数列 nb n为等差数列，前 n 项和 T =nn(5n -3) 2,于是(5n-8)T -(5n+2)T =(5n-8)n+1 n( n +1)(5n +2) n (5n -3)-(5n +2)2 2=-20n -8,由惟一性得 b =a,即数列na n为等差数列。（）由（）可知，a =1+5(n-1)=5n-4.

27、n要证了5amn- a a 1,m n只要证 5a 1+a a +2mn m na amn因为 a =5 -4,a a =(5m-4)(5n-4)=25 -20(m+n)+16,mn mn m n mn n n 1 n故只要证 5（5 -4）1+25 -20(m+n)+16+2mn mna a ,m n因2 a a a +a =5m +5n -8 5m +5n -8 +(15m +15n -29) m n m n=20m+20n-37,为所以命题得证。点评：本题主要考查了等差数列的有关知识，不等式的证明方法，考 查了分析推理、理性思维能力及相关运算能力等。五思维总结1数列求和的常用方法（1）公

28、式法：适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数 列； c （2）裂项相消法：适用于 a an n +1其中 a 是各项不为 0 的等差 n数列，c 为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等；（3）错位相减法：适用于abn n其中an是等差数列，bn是各项不为 0 的等比数列。（4）倒序相加法：类似于等差数列前 n 项和公式的推导方法. （5）分组求和法（6）累加（乘）法等。2常用结论n( n +1)（1） k = 1+2+3+.+n =2k =1（2） (2 k -1) =1+3+5+.+(2n-1) = k =1n2n（3） kk =13=13 +2 3 +L+n 3 = n ( n +

29、1)22（4） kk =12=12 +2 2 +3 2 +L+n 2 =16n( n +1)(2 n +1)（5）1 1 1 1 1 1 1 = - = ( - )n( n +1) n n +1 n( n +2) 2 n n +2（6）1 1 1 1= ( - ) ( p q ) pq q -p p q3数学思想（ 1 ） 迭 加 累 加 （ 等 差 数 列 的 通 项 公 式 的 推 导 方 法 ） 若a -ann -1= f ( n ),( n 2)，则；（ 2 ） 迭 乘 累 乘 （ 等 比 数 列 的 通 项 公 式 的 推 导 方 法 ） 若an =g ( n )( n 2) an -1，则；（3）逆序相加（等差数列求和公式的推导方法）； （4）错位相减（等比数列求和公式的推导方法）。