高考数学圆锥曲线小题解题技巧

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1、-WORD 格式 -可编辑 -专业资料 -圆锥曲线高考小题解析一、 考点分析1. 点、直线、斜率和倾斜角之间的关系；2. 直线与圆的位置关系判断，以及圆内弦长的求法；3. 掌握椭圆、双曲线、抛物线基础内容，特别是参数之间的计算关系以及独有的性 质；4. 掌握圆锥曲线内弦长的计算方法（弦长公式和直线参数方程法）；5. 通过研究第二定义，焦点弦问题，中点弦问题加深对图形的理解能力；6. 动直线过定点问题和动点过定直线问题；7. 定值问题；8. 最值问题。二、 真题解析1. 直线与圆位置关系以及圆内弦长问题1. 【 2018 全国 1 文 15 】直线 y =x +1 与圆 x2+y2+2 y -3

2、 =0 交 于 A, B 两 点 ，则| AB |=_解析：x 2 +y 2 +2 y -3 =0 x 2 +( y +1)2 =4，圆心坐标为 (0, -1)，半径 r =2圆心到直线 y =x +1的距离d =2，由勾股定理得| AB |=2 r 2 -d 2 =2 22.【2018 全国 2 理 19 文 20】设抛物线C : y2=4 x的焦点为 F，过 F且斜率为 k ( k 0)的直线l 与 C 交于 A, B 两点， | AB |=8 （1）求 l 的方程；（2）求过点 A, B且与C的准线相切的圆的方程。-完整版学习资料分享-0 -WORD 格式 -可编辑 -专业资料 -解析：

3、（1）直线过焦点，因此属于焦点弦长问题，可以利用焦点弦长公式来求根据焦点弦长公式可知 | AB |=2 psin 2 q=8，则sinq=22，tan q =1则l的直线方程为 y =x -1（ 2 ） 由 （ 1 ） 知 AB的 中 点 坐 标 为 (3,2) ， 所 以 AB的 垂 直 平 分 线 方 程 为y -2 =-(x -3) ，即 y =-x +5设所求圆的圆心坐标为( x , y ) 0 0，则y =-x +50 0( y -x +1)2( x +1)2 = 0 02+16解得 x =3 x =11 0 或 0y =2 y =-6 0 0因此所求圆的方程为( x -3) 2 +

4、( y -2) 2 =1或( x -11)2 +( y +6) 2 =1通过这个题目注意一个在抛物线中不常用的结论：在抛物线中以焦点弦为直 径的圆与准线相切，证明过程如下：-完整版学习资料分享-y =3 - t y =3 - t -WORD 格式 -可编辑 -专业资料 -在上图中过焦点的直线与抛物线交于 A, B 两点，取 AB 的中点 M ，三点分别向准线作 垂 线 ， 垂 足 分 别 为 C , D , N1， 因 为 MN = ( AC +BD )2， AC =AF , BD =BF， 所 以MN =1 1 ( AF +BF ) = AB2 2，所以 AB为直径的圆与准线相切。3.【20

5、18 北京理 10】在极坐标中，直线rcosq+rsinq=a ( a 0)与圆r=2cosq相切，则a=_.解析： rcos q+rsin q=a ( a 0) x +y =ar=2cos q ( x -1)2 +y 2 =1直线与圆相切时d =|1 -a |2=r =1，解得a =1 + 24.【2018 天津理 12】已知圆x2+y2-2 x =0 的圆心为 C ，直线 2 x =-1+ t 2 2 2（t 为参数）与该圆相交于 A, B两点，则DABC的面积为_.解析：x 2 +y 2 -2 x =0 ( x -1)2 +y 2 =1 2 x =-1+ t 2 2 2 x +y =2圆

6、心 (1,0) 到直线 x +y -2 =0 的距离为 d =22，所以| AB |=2 r2-d2= 2-完整版学习资料分享-WORD 格式 -可编辑 -专业资料 -所以 SDABC1 1 = | AB | d =2 25.【2018 天津文 12】在平面直角坐标系中，经过三点 (0,0),(1,1)(2,0)的圆的方程为_.解析： (0,0),(1,1) 两点的中垂线方程为 x +y -1 =0 ， (0,0),(2,0) 两点的中垂线方程为 x =1 ，联立 x +y -1 =0 x =1解得圆心坐标为 (1,0)，半径 r =1所以圆的方程为( x -1)2+y2=16. 【 2018

7、 江苏选修 C 】在极坐标中，直线 l 的方程为rsin(p6-q)=2 ，曲线 C 的方程为r=4cosq，求直线l被曲线C截得的弦长。解析：rsin(p6-q)=2 x - 3 y -4 =0r=4cos q ( x -2) 2 +y 2 =4，设直线与圆相交于 A, B两点圆心 (2,0) 到直线 x - 3 y -4 =0 的距离 d = | AB |=2 r 2 -d 2 =2 322=12. 椭圆，双曲线，抛物线中基础性的计算问题7.【2018 全国 1 文 4】已知椭圆 C :x 2 y 2+a2 4=1的一个焦点为(2,0) ，则 C 的离心率为_. 解析： c =2, b =

8、2所以 a 2 =b 2 +c 2 =8c 2 2 ， e = = =a 2 2 2x 2 y 28.【2018 全国 2 理 5 文 6】双曲线 - =1a2 b2的离心率为 3，则其渐近线方程为_.解析：e2c 2= =3a2，则令 c2=3, a2=1则 b2=2b，所以渐近线方程为 y = x = 2 xa9.【2018 全国 3 文 10】已知双曲线 C :x 2 y 2- =1a2 b 2的离心率为 2，则点 (4,0)到 C的渐近线的距离为_.解析：ce = =a2，渐近线 bx -ay =0所以点 (4,0)到渐近线的距离为d =a4b2 +b2=4bc令 c =2, a =1

9、，则b = c2-a2=1, d =4b a 2 +b 24b= =2 2c-完整版学习资料分享-c 2 2 -WORD 格式 -可编辑 -专业资料 -因为求的是比值，因此没必要求出 b, c 具体的数字，因为无论 b, c 是多少，其比值都是 相同的。10.【2018 北京 文 10】已知直线l过点 (1,0)且垂直于 x轴，若l被抛物线 y2=4 ax截得的线段长为 4，则抛物线的焦点坐标为_.解析：l : x =1，代入到y2=4 ax得 y =2 a ，所以 4 a =4 ， a =1 （ a 只能为正数）x 2 y 211.【2018 北京文 12】若双曲线 -a 2 4=1(a 0

10、)的离心率为52，则 a=_.解析：c 2 a 2 +b 2 a 2 +4 5b =2, e 2 = = = =a 2 a 2 a 2 4，解得 a =4x 2 y 212.【2018 天津理 7】已知双曲线 - =1a2 b2的离心率为 2，过右焦点且垂直于 x 轴的直线与双曲线交于 A, B 两点，设 A, B 到双曲线的同一条渐近线的距离分别为 d +d =6，则双曲线的方程为_.1 2d , d12，且解析：如上图，d +d12为右焦点 F 到渐近线 y =bax的距离的 2 倍，故2bc a 2 +b 2=d +d =61 2，又因为e = = ，解得 a a2=3, b2=9x 2

11、 y 2所以双曲线的方程为- =13 913.【2018 江苏 8】在平面直角坐标系 xoyx 2 y 2中，若双曲线 - =1(a 0, b 0)a2 b 2的右焦点F ( c,0)到一条渐近线的距离为32c，则其离心率的值是_.解析：双曲线的渐近线为 bx -ay =0c 2 c 2所以e = = =2 a 2 c 2 -b 2，d =bc 3=b = c a 2 +b 2x 214.【2018 浙江 2】双曲线 -y32=1的焦点坐标是_.-完整版学习资料分享-1 12 2 -WORD 格式 -可编辑 -专业资料 -解析：a2=3, b2=1, c2=a2+b2=4，且焦点在 x轴上，所

12、以焦点坐标为 ( -2,0),(2,0)15.【2018 上海 1】设 P 为椭圆x 2 y 2+ =15 3上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为_.解析： a 2 =5, a = 5 ，P 到该椭圆的两个焦点的距离之和为 2 a =2 5x 216.【2018 上海 6】双曲线 -y42=1的渐近线方程为_.解析：a2=4, b2=1b 1，所以渐近线方程为 y = x = xa 217.【2018 全国 1 理 8】设抛物线 C : y2=4 x的焦点为 F ，过点 ( -2,0)且斜率为23的直线与 C 交于 M , N 两点，则 FM FN =_.2 2 4解析：F (1,

13、0) ，过点 ( -2,0) 且斜率为 的直线方程为 y = x + ，设 M ( x , y ), N( x , y ) ，3 3 3联立y2 =4 x 2 4y = x + 3 3 x 2 -5 x +4 =0 x +x =5, x x =41 2 1 2所以 FM FN =x x -( x +x ) +1 +4 x x =81 2 1 2 1 218.【2018 江苏 12】在平面直角坐标系 xoy 中， A 为直线 l : y =2 x上在第一象限内的点，B (5,0) 以 AB 为直径的圆 C 与直线 l 交于另一点 D 。若 AB CD =0 ，则点 A 的横坐标为 _.解析：因为

14、 AD BD，所以| BD |为点 B到直线 y =2 x的距离，所以BD =105=2 5，因为 DABD为等腰直角三角形，所以AB =2 BD =2 10-完整版学习资料分享-WORD 格式 -可编辑 -专业资料 -设 A( m,2 m) m =3解得，所以 ( m -5) 2 +(2 m ) 2 =2 10，且m 03. 圆锥曲线的离心率问题19.【2018 全国 2 理 12】已知 F , F1 2是椭圆C :x 2 y 2+ =1a2 b 2的左右焦点， A是C的左顶点，点 P 在过点 A 且斜率为36的直线上，DPF F1 2为等腰三角形， F F P =1201 2，则 C 的离

15、心率为_.解析：如上图， PF =F F =2c, PF Q =602 1 2 2 F Q =c, PQ = 3c 2所以 P (2 c, 3c)，因为 A( -a,0)所以KAP=3c 3 1= e = 2c +a 6 420.【2018 全国 2 文 11】已知F , F1 2是椭圆C的两个焦点， P是C上的一点，若PF PF1 2，且 PF F =60 2 1，则C的离心率是_.解析：因为| F F |=2c 1 2,PF PF1 2且 PF F =60 2 1，则| PF |=c,| PF |= 3c 2 1所以| PF | +| PF |=(1+ 3)c =2a ，解得 e = 1

16、2ca= 3 -121.【2018 全国 3 理 11】设F , F 是双曲线 C : 1 2x 2 y 2- =1a2 b 2的左右焦点，O 是坐标原点，过 F 作1-完整版学习资料分享- 2 P ( , ) 1 -WORD 格式 -可编辑 -专业资料 -C的一条渐近线的垂线，垂足为 P ，若 | PF |=16 | OP |，则双曲线的离心率为_.解析：由题意知： PF : y =-2ab( x -c ) a a 2y =- ( x -c ) x = b c a ab 联立 ，解得 ，即b ab c cy = x y = a ca2 ab a 2 ab| PF |= 6 | OP | (

17、+c ) 2 +( ) 2 =6( ) 2 +( ) 2 c c c ce = 3解得22.【2018 北京理 14】已知椭圆M :x 2 y 2 x 2 y 2 + =1(a b 0) ，双曲线 N : - =1a2 b 2 m 2 n 2.若双曲线N的两条渐近线与椭圆 M 的四个交点及椭圆 M 的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆 M 的离心率为_;双曲线的 N 的离心率为_.-完整版学习资料分享-d -WORD 格式 -可编辑 -专业资料 -解 析 ： 如 上 图 ， 点 P 在 椭 圆 上 ， 也 在 以F F1 2为 直 径 的 圆 上 ， 所 以F PF =90 1 2, PF

18、 F =302 1，PF =c, PF = 3c1 2所以PF +PF =(1+ 3) c =2a 1 2，解得e = 3 -1在上图中， QOF =602，所以ba= 3 e =24. 最值和范围问题23.【2018 全国 3 理 6 文 8】直线 x +y +2 =0 分别于 x 轴， y轴交于 A, B两点，点 P在圆解( x -2) 2 +y 2 =2上，则 DABP析 ：面积的取值范围是_.A( -2,0), B (0, -2), P (2 + 2 cos q, 2 sin q)，AB =(2, -2), AP =(4 + 2 cosq, 2 sinq)此处用到了三角函数方法和向量法

19、求三角形面积的公式24.【2018 北京理 7】在平面直角坐标系中，记d为点 P (cosq,sinq) 到直线 x -my -2 =0的距离，当 q, m 变化时， 的最大值为_.解析：题目中如果是按照常规的点到直线距离来算，则要同时面对两个变量，点 P在单位圆上，则d最大时等于圆心 (0,0)到直线的距离加半径，这样就可以不用考虑q的变化对最值的影响。-完整版学习资料分享- 0 0 0 -WORD 格式 -可编辑 -专业资料 -P (cosq,sinq) 是圆 x2+y2=1上的点，所以d =1 +2m 2 +1325. 【2018 浙江 17 】点 P (0,1)，椭圆x 24+y2=m

20、 ( m 1)上两点 A, B满足 AP =2 PB，则当m=_时，点 B横坐标的绝对值最大。分析：若设 B点横坐标为x0，则题目转化为当m为何值时，x0最大因此可将 x 和 m 放在同一个等式中且将 x 单独分离到一边，含有 m 的式子放到另 0 0一边，此时含有 x 的部分类似于关于 m 函数的值域，因此题目的关键是找到一个包含0m和x0的等式， A, B两点的坐标通过共线产生关联，且 A, B均在椭圆上，因此将 A, B两点坐标代入椭圆方程，消去 y即可得到关于m和x0的等式。解析：设B ( x , y ) 0 0，因为 AP =2 PB，则A( -2x ,3 -2 y ) 0 0x 2

21、0 +y 2 =m 4联立 4 x 20 +(3 -2 y ) 2 =m 4 消去x 4 y 2 -(3 -2 y ) 2 =3m0 0 0解得 y =03 +m4所以x 2 3 +m -(m -5) 2 +16 0 +( ) 2 =m ，化简得 x 2 =4 4 4所以当 m =5 时， x 取得最大值。026.【2018 浙江 21】如图，已知点 P 是 y轴左侧（不含 y轴）一点，抛物线C : y 2 =4 x上存在不同的两点 A, B满足 PA, PB的中点均在C上。-完整版学习资料分享-2 0 01 1y +y0 4 y +y0 4 x 2 +0 2 2 2 0 1 20 1 20

22、0 1 20 0 0 -WORD 格式 -可编辑 -专业资料 -（1） 设 AB 中点为 M ，证明： PM 垂直于 y轴；（2） 若 P 是半椭圆x2+y 24=1(x 0)上的动点，求 DPAB 面积的取值范围。1 1解析：（1）设 P ( x , y ), A( y , y ), B( y4 42 , y )2 2AP中点满足： (y 2x 2 + 10 1 ) 2 =4(2 2)BP中点满足： BP : (y 2x 2 + 20 2 ) 2 =4(2 2)所以y , y1 2是方程 (y +y 0 0 ) 2 =4(2 2y 24) 即 y2-2 y y +8 x -y 0 0 02=

23、0的两个根，所以y +y1 2 =y ，故 PM 垂直于 y 轴。 2（2）由（1）可知 y +y =2 y , y y =8 x -y1 2 0 1 2 002所以| PM |=1 3( y +y ) -x = y -3 x , | y -y |=2 2( y 8 42-4 x )0因此，SDPAB=1 3 2| PM | |y -y |= ( y 2 -4 x ) 2 432因为x02y 2+ 0 =1(x 0) ，所以 y 402-4 x =-4x 0 02-4 x +4 4,5 0-完整版学习资料分享- -WORD 格式 -可编辑 -专业资料 -因此， DPAB面积的取值范围是6 2,

24、15 1045. 距离型问题27.【2018 全国 1 理 11】已知双曲线C :x23-y 2 =1，O为坐标原点， F为C的右焦点，过 F的 直 线 与C的 两 条 渐 近 线 的 交 点 分 别 为 M , N， 若DOMN为 直 角 三 角 形 ， 则| MN |=_.解析：如上图所示，可得kMN= 3,MN所在直线方程为 y = 3( x -2)联立y = 3( x -2) 3y = x 3 M (3, 3)y = 3( x -2) 联立 3 y =- x 3解得 | MN |=3 6.定值问题3 3 N ( , - )2 228.【2018 全国 3 理 16】已知点 M ( -1,1)和抛物线C : y 2 =4 x，过C的焦点且斜率为k的直线与抛物线交于 A, B 两点，若 ABM =90，则 k =_.-完整版学习资料分享-ABA-WORD 格式 -可编辑 -专业资料 -解析：用到结论：在抛物线中以焦点弦为直径的圆与准线相切所 以y =yNM=1， 设N ( x ,1)0， 根 据 焦 点 弦 斜 率 公 式 可 得kABkONp 1 2= k = k =2 x x x0 0 0-完整版学习资料分享-