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1、高考数学专题七：排列、组合、二项式定理一、高考考试说明计数原理（）理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理，能正确区分“类”和“步”，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题（）理解排列的概念及排列数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题.（）理解组合的概念及组合数公式，并能利用公式解决一些简单的实际问题. （）会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题.二、核心知识点归纳：一、分类加法计数原理与分步乘法计数原理分类加法计数原理完成一件事有两类不同方案，在第类方案中有 m 种不同的方法，在第类方案中有 n 种不同的方 法那么完成这件事共有 Nmn 种不同方法分步乘法计数原理完成一件事需要两个步
2、骤，做第步有 m 种不同的方法，做第步有 n 种不同的方法，那么完成这 件事共有 Nmn 种不同的方法注意：分类加法计数原理在使用时易忽视每类做法中每一种方法都能完成这件事情，类与类之间是独立 的分步乘法计数原理在使用时易忽视每步中某一种方法只是完成这件事的一部分，而未完成这件事， 步步之间是相关联的二、排列与组合排列与排列数（）排列：从 n 个不同元素中取出 m（mn）个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从n 个不同元素中取出m 个元素的一个排列（）排列数：从 n 个不同元素中取出 m（mn）个元素的所有不同排列的个数，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的排列数，记作 A错误!.组合与
3、组合数（）组合：从 n 个不同元素中取出 m（mn）个元素合成一组，叫做从 n 个不同元素中取出 m 个元素的一个组合（）组合数：从 n 个不同元素中取出 m（mn）个元素的所有不同组合的个数，叫做从 n 个不同 元素中取出 m 个元素的组合数，记作 C错误!.排列数、组合数的公式及性质排列数公式组合数公式公A错误!n（n）（n） C错误!错误!式性质备注（nm）错误 !（）A错误!n！； （）0！n，mN错误 !错误 !（）C错误!；（）C错误!C错误 !_；（）C错误 !C错误 ! C错误!*且 mn注意：易混淆排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组
4、 合问题与顺序无关计算 A错误!时易错算为 n（n）（n）（nm）易混淆排列与排列数，排列是一个具体的排法，不是数是一件事，而排列数是所有排列的个数， 是一个正整数排列问题与组合问题的识别方法：k n 识别方法若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题，即排列问题与选取元素 排列顺序有关若交换某两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取元素 组合顺序无关组合数的性质中（）的应用主要是两个方面，一个简化运算，当 m错误!时，通常将计算 C错误 !转化为计算 C错误!.二是列等式，由 C错误!C错误!可得 xy 简化运算三、二项式定理二项式定理或 xyn.性质（）主要用于
5、恒等变形（）定理：公式（ ab） nC错误 !anC错误!anbC错误!ankbkC错误 !bn（ nN*）叫做二项式定理（）通项：T C错误 !ankbk为展开式的第 k项二项式系数与项的系数（）二项式系数：二项展开式中各项的系数 C错误!（k0,，n）叫做二项式系数（）项的系数：项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与二项式系数是两个不同的概念 二项式系数的性质性质对称性增减性最大值内容与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即 C错误!C错误!当 k错误!时，二项式系数逐渐增大；当 k错误!时，二项式系数逐渐减小n当 n 是偶数时，中间一项错误!的二项式系数最大，最大值为 C 2 ；
6、当 n 是奇数时，中间两项错误!错误 !的二项式系数相等，且同时取得最大值，最大值为 Cnn12或 Cnn12各二项式系数的和（ab）n 的展开式的各个二项式系数的和等于n，即 C错误!C错误 !C错误!C错误 ! C错误!n.二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即C错误!C错误 !C错误! C错误!C错误 !C错误!n.注意二项式的通项易误认为是第 k项实质上是第 k项（ab）n 与（ba）n 虽然相同，但具体到它们展开式的某一项时是不相同的，所以公式中的第 一个量 a 与第二个量 b 的位置不能颠倒易混淆二项式中的“项”，“项的系数”、“项的二项式系数”等概念，
7、注意项的系数是指非字母因 数所有部分，包含符号，二项式系数仅指 C错误!（k0,，n）三、典型例题讲解：一、计数原理考点一：分类加法计数原理在所有的两位数中，个位数字大于十位数字的两位数共有（ ）0 个6 个个个解析：选 C 利用分类加法计数原理：8766（个）五名篮球运动员比赛前将外衣放在休息室，比赛后都回到休息室取衣服由于灯光暗淡，看不清 自己的外衣，则至少有两人拿对自己的外衣的情况有（ ）0 种种种0 种解析：选 B 分类：第一类，两人拿对：C错误!0 种；第二类，三人拿对：C错误!0 种； 第三类，四人拿对与五人拿对一样，所以有种故共有00种（0三门峡模拟）有位教师在同一年级的个班中各
8、教一个班的数学，在数学检测时要求 每位教师不能在本班监考，则监考的方法有（ ）8 种0 种9 种种解析：选 B 设四位监考教师分别为 A，B，C，D，所教班分别为 a，b，c，d，假设 A 监考 b，则余下三人监考剩下的三个班，共有种不同方法，同理 A 监考 c，d 时，也分别有种不同方法，由分类 加法计数原理共有9（种）考点二：分布乘法计数原理典例（0本溪模拟）如图所示的几何体是由一个正三棱锥 P ABC 与正三棱柱 ABCA B C 组合而成，现用种不同颜色对这个几何体的表面染色（底面 A B C 不涂色）， 要求相邻的面均不同色，则不同的染色方案共有_种解析 先涂三棱锥 P ABC 的三
9、个侧面，然后涂三棱柱的三个侧面，共有 C错误!C错误 !C错误 ! C错误!种不同的涂法答案 针对训练在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施 6 个程序，其中程序 A 只能出现在第一步或最后一步， 程序 B 和 C 实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有（ ）种96 种8 种种解析：选 C 第一步安排 A 有种方法；第二步在剩余的个位置选取相邻的两个排 B，C，有种排法，而 B，C 位置互换有种方法； 第三步安排剩余的个程序，有 A错误 !种排法，共有 A错误!96 种考点三：两个原理的综合应用典例 （0黄冈质检）设集合 I,选择集合 I的两个非空子集 A 和 B，若集合 B 中最小的元素
10、大于集合 A 中最大的元素，则不同的选择方法共有（ ）0 种8 种9 种7 种解析 从个元素中选出个元素，小的给集合 A，大的给集合 B，有 C错误 !0 种选择方法；从个元素中选出个元素，有 C错误 !0 种选择方法，再把这个元素从小到大排列，中间有个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合 A，一边给集合 B，方法种数是，故此时有00 种选择方法；n n n 从个元素中选出个元素，有 C错误!种选择方法，从小到大排列，中间有个空，用一个隔板将其隔开，一边给集合 A，一边给集合 B，方法种数是，故此时有种选择方法；从个元素中选出个元素，有 C错误 !种选择方法，同理隔开方法有种，故此时有种选择方法
11、根 据分类加法计数原理，总计为009 种选择方法故选答案 B本例中条件若变为“A,，B,6,7，C8,9现从中取出两个集合，再从这两个集合 中各取出一个元素，组成一个含有两个元素的集合”，则可以组成多少个集合？解：（）选集合 A，B，有 C错误!C错误!；（）选集合 A，C，有 C错误 !C错误!8；（）选集合 B，C，有 C错误!C错误!6；故可以组成866 个集合针对训练上海某区政府召集家企业的负责人开年终总结经验交流会，其中甲企业有人到会，其余家企业 各有人到会，会上推选人发言，则这人来自家不同企业的可能情况的种数为_解析：若人中有一人来自甲企业，则共有 C错误!C错误 !种情况，若人中
12、没有甲企业的，则共有C错误!种情况，由分类加法计数原理可得，这人来自家不同企业的可能情况共有 C错误!C错误!C 错误 !6（种）答案：6二、排列组合考点一：排列问题数列a 共有六项，其中四项为，其余两项各不相同，则满足上述条件的数列a 共有（ ）0 个60 个个6个解析：选 A 在数列的六项中，只要考虑两个非的项的位置，即得不同数列，共有A错误 !0 个 不同的数列（0东北三校联考）在数字,与符号“”，“”这五个元素的所有全排列中，任意 两个数字都不相邻的全排列方法共有（ ）6 种8 种种种解析：选 B 本题主要考查某些元素不相邻的问题，先排符号“”，“”，有A错误 !种排列方法，此时两个符
13、号中间与两端共有个空位，把数字,“插空”，有 A错误!种排列方法，因此满足题目 要求的排列方法共有 A错误!A错误 !种（0西安检测）8 名游泳运动员参加男子00 米的决赛，已知游泳池有从内到外编号依次为,6,7,8 的 8 条泳道，若指定的名运动员所在的泳道编号必须是个连续数字（如：,6,7）， 则参加游泳的这 8 名运动员被安排泳道的方式共有（ ）60 种70 种 0 种 60 种解析：选 B 法一：先从 8 个数字中取出个连续的数字共有 6 种方法，将指定的名运动员安排在这个编号的泳道上，剩下的名运动员安排在其他编号的条泳道上，共有 6A错误 !A错误! 0 种安排方式法二：先将所在的泳
14、道编号是个连续数字的名运动员全排列，有 A错误 !种排法，然后把他们捆绑在一起当作一名运动员，再与剩余名运动员全排列，有 A错误 !种排法，故共有 A错误!A错误! 0 种安排方式类题通法求解排列应用题的主要方法直接法优先法捆绑法插空法先整体后局部定序问题把符合条件的排列数直接列式计算优先安排特殊元素或特殊位置把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列对不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元 素排列的空档中“小集团”排列问题中先整体后局部对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列除法处理间接法正难则反，等价转化的方法考
15、点二：组合问题典例 （0重庆高考）从名骨科、名脑外科和名内科医生中选派人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有人的选派方法种数是_（用数字作答）解析 直接法分类，名骨科，内科、脑外科各名；名脑外科，骨科、内科各名；名内科，骨科、脑外科各名；内科、脑外科各名，骨科名；骨科、内科各名，脑外科名；骨科、脑外科各名，内科名所以选派种数为 C错误!C错误!C错误 !C错误!C错误 !C错误!C错误!C错误!C 错误 !C错误 !C错误!C错误!C错误!C错误!C错误!C错误!C错误!C错误!90答案 90针对训练（0四平质检）从名男医生、名女医生中选名医生组成一个医疗小分队，要求其中
16、男、 女医生都有，则不同的组队方案共有（ ）70 种00 种80 种0 种解析：选 A 法一（间接法）：当选择的名医生都是男医生或都是女医生时，共有 C错误!C错误 !种组队方案当从 9 名医生中选择名医生时，共有 C错误!8种组队方案，所以男、女医生都 有的组队方案共有 870 种法二（直接法）：当小分队中有名女医生时，有 C错误!C错误!0 种组队方案；当小分队中有 名女医生时，有 C错误 !C错误!0 种组队方案，故共有 70 种不同的组队方案考点三：分组分配问题角度一 整体均分问题国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教现有
17、6 个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到所学校去任教，有_ 种 不同的分派方法解析：先把 6 个毕业生平均分成组，有错误!种方法，再将组毕业生分到所学校，有 A错误 !r r 6 种方法，故 6 个毕业生平均分到所学校，共有错误!A错误 !90 种分派方法答案：90角度二 部分均分问题将 6 本不同的书分给甲、乙、丙、丁个人，每人至少本的不同分法共有_种（用数字 作答）解析：把 6 本不同的书分成组，每组至少本的分法有种有组本，其余组每组本，不同的分法共有错误!0 种；有组每组本，其余组每组本，不同的分法共有错误!错误 !种所以不同的分组方法共有06种然后把分好的组书分给个人，所以不同的分
18、法共有 6A错误! 60 种答案： 60角度三 不等分问题将 6 名教师分到所中学任教，一所名，一所名，一所名，则有_种不同的分法 解析：将 6 名教师分组，分三步完成：第步，在 6 名教师中任取名作为一组，有 C错误 !种取法；第步，在余下的名教师中任取名作为一组，有 C错误!种取法；第步，余下的名教师作为一组，有 C错误!种取法根据分步乘法计数原理，共有 C错误!C错误 !C错误!60 种取法再将这组教师分配到所中学，有 A错误 !6 种分法，故共有 60660 种不同的分法答案：60二、二项式定理考点一 二项式的特定项或特定项的系数（0江西高考）错误 !展开式中的常数项为（ ）800解析
19、：选 C800T C错误!（x）r错误!rC错误 !（）rx0r，令0 r0，得 r， r r r 故常数项为 C错误!（）0（0浙江五校联考）在错误 !的展开式中 x的系数为（ ）000解析：选 B T C错误!（x）r错误 !rC错误 !x0r，x的系数为 C错误!0，故选（0安徽高考）若错误 !8 的展开式中 x的系数为 7，则实数 a_. 解析：二项式错误!8展开式的通项为 T C错误 !arx48 r3，令8错误!r，可得r，故C错误!a7，易得 a错误 !.答案：错误 !类题通法求二项展开式中的指定项，一般是利用通项公式进行化简通项公式后，令字母的指数符合要求（求常数项时，指数为零
20、；求有理项时，指数为整数等），解出项数 r，代回通项公式即可考点二 二项式系数和各项系数和问题典例 （）（0北京西城一模）若错误 !m 的展开式中二项式系数之和为8，则展开式中 错误 !的系数是（ ）77（）（0成都诊断）若（x）a a xa xa xa x0 ，则 a a a a _. 解析 （）m8，m7，展开式的通项 T C错误 !（x）7r错误!rC错误!7 r（）rx75 r3，令 7错误!r，解得 r6，错误!的系数为 C错误 !76（）6，故选（）令 x可得 a a a a a ，令 x0，可得 a ，所以 a a a a 00 0 答案 （）A （）0在本例（）中条件不变，问题
21、变为“求|a |a |a |a |a |的值”.0 解：由题意知（x）a |a |x|a | 0 x|a |x|a |x ，令 x得 a |a |a |a0 m n |a |8 针对训练若（x）0a a xa xa0 0x 0，则错误!错误 !错误 !_. 解析：当 x0 时，左边，右边a ，a 0 0当 x错误!时，左边0，右边a 错误 !错误!错误 !，00错误!错误 !错误 !.即错误 !错误!错误!答案：考点三 多项式展开式中的特定项（系数问题）在高考中，常常涉及一些多项式二项式问题，主要考查学生的化归能力，归纳起来常见的命题角度有： 几个多项式和的展开式中的特定项 系数 问题； 几个
22、多项式积的展开式中的特定项 系数 问题； 三项展开式中的特定项 系数 问题.角度一 几个多项式和的展开式中的特定项问题错误 !错误 !8的展开式中的常数项为（ ）68解析：选 D 错误 !的展开式的通项为 T C错误 !（x）m错误 !mC错误!（）mxm，令m0，解得m，错误 !8的展开式的通项为 T C错误 !x8 n错误 !nC错误!x8n，令8n0，解得 n，所以所求常数项为 C错误 !（）C错误!8角度二 几个多项式积的展开式中的特定项（系数）问题（0全国课标卷）已知（x）（x）的展开式中 x的系数为，则（ ）解析：选 D 展开式中含 x的系数为 C错误!aC错误!，解得 a，故选角
23、度三 三项展开式中特定项（系数）问题错误 !的展开式中的常数项为_（用数字作答）r+B C 2 2解析：原式错误 !错误 !错误! 错误!错误 !0.求原式的展开式中的常数项，转化为求错误!0的展开式中含 x项的系数，即 C错误!错误!.所以所求的常数项为错误!错误 !. 答案：错误 !四、近年新课标高考试题、（0）（x+x+y）的展开式中，xy的系数为（ ）0 0 0 60解：（x+x+y）的展开式的通项为 T =，令 r=，则（x+x）的通项为令 6k=，则 k=，= ，（x+x+y）的展开式中，xy的系数为=0故选：、（）.位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都
24、有同学参加公益活 动的概率（ ）A.1 3 5. .8 8 8D.78选 D3、（）( x -y )( x +y )8的展开式中 x y 的系数为 . （用数字填写答案）答案：0、（0课标全国，理 9）设 m 为正整数，（xy）m 展开式的二项式系数的最大值为 a，（xy）m展开式的二项式系数的最大值为 b.若a7b，则m（ ） 6 7 8 答案：B解析：由题意可知，a Cm ，b C 2 mm2 m +1，又a7b，13 (2m)! (2m +1)! =7 m !m ! m !(m+1)!，即13 2 m +1 =7 m +1.解得 m6故选、将名教师，名学生分成两个小组，分别安排到甲、乙两
25、地参加社会实践活动，每个小组由一名教师和名学生组成，不同的安排方案共有元 件 12 2 82 2 8（B）（C）（D）x + 2 x -x x5 种 0 种 9 种 8 种 【解析】选 A.只需选定安排到甲地的名教师名学生即可，共 C 1 C 22 4种安排方案.6、（）某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件或元件正常工作，且元件正常工作，则部件正常工作.设三个电子元件的元件 3元件 2使用寿命（单位：小时）服从正态分布N (1000,50 2)，且各元件能否正常工作互相独立，那么该部件的使用寿命超过000 小时的概率为 .【解析】38.由已知可得，三个电子元件使用寿命超过000 小时
26、的概率均为 1 2 1 3.的使用寿命超过000 小时的概率为 1-1- = 1 2 1 3 1-1- = ，所以该部件7、（）有个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小 组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A）1 1 2 33 2 3 4解析;每个同学参加的情形都有种，故两个同学参加一组的情形有 9 种，而参加同一组的情形只有种，所求的概率为 p=3 1=9 3选 A8、（8） a 1 5的展开式中各项系数的和为，则该展开式中常数项为（A）0 （B）0 （C）0 （D）0解 析 . 令 x= 得 a= 故 原 式 =1 1 1 1 ( x + )
27、(2 x - ) 。 ( x + )(2 x - )x x x x5的 通 项1 1 13 2 2 33 5 3Tr +1=C r (2 x ) 55-2r ( -x-1) r =C r ( -1)r 2 5-r x 5 -2r5，由r=得 r=,对应的常数项=80 ，由r=得 r=,对应的常数项 =0，故所求的常数项为0 ，选 D解析用组合提取法,把原式看做 6 个因式相乘，若第个括号提出 x,从余下的个括号中选个提出 x，选个提出 ；若第个括号提出 ，从余下的括号中选个提出 ，x x x选个提出 x.故常数项=X C2 (2 X ) 2 C3( - 5 31 1 1) + C ( - ) C (2 X ) =0+80=0 X X X
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