高等数学不定积分重点难点复习

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1、 不定积分一、基本要求1. 理解原函数概念，理解不定积分的概念及性质。 2. 掌握不定积分的基本公式、换元法、分部积分。 3. 了解有理函数及可化为有理函数的积分方法。二、主要内容 三、1.原函数. 原函数与不定积分概念设在区间上F ( x)可导，且F( x ) = f ( x ) （或 dF ( x ) = f ( x) dx ）就称 F ( x )为f ( x)在的一个原函数。2.不定积分在区间上函数f ( x)的所有原函数的集合，成为f ( x)在区间上的不定积分，记作f ( x)dx.f ( x )dx =F ( x ) +C其中F ( x) 为 f ( x)在上的一个原函数， C 为

2、任意常数.不定积分的性质1.df( x) dx = f ( x ) dx (或 ( f( x) dx )= f ( x )2.df ( x ) = f ( x) +C(或f( x) dx = f ( x) +C)3.kf ( x ) dx =k f( x)dx 其中 k 为非零常数.4. f ( x) +g ( x )dx =f ( x)dx +g ( x ) dx.-.基本积分公式-1.kdx =kx +C(k为常数 2.x u dx =1 1 x u +1 +C 3.u +1 xdx =ln x +C4.dx1 +x2=arctan x +C5.dx1 -x2=arcsin x +C 6.

3、 cos xdx =sin x +C7.sinxdx =-cos x +C 8. sec2xdx =tan x +C9.csc2xdx =-cot x +C10.secx tan xdx =sec x +C 11. csc x cot xdx =-csc x +C1 / 1612.e x dx =e x +C 13. axdx =1ln aax+C14.shxdx =chx +C2 / 1615.chxdx =shx +C 16. tanxdx =-ln cos x +C17.cot xdx =ln sin x +C18.sec xdx =ln sec x +tan x +C19.csc xd

4、x =ln csc x -cot x +C20.a2dx 1 x= arctan +C +x 2 a a21.x2dx 1 x -a = ln +C-a 2 2a x +a22.adx2 -x2=arcsinxa+C23.dx x 2 +a 2=ln( x + x2+a2) +C24.dx x 2 -a 2=ln( x + x2-a2) +C.换元积分法1. 第一类换元法.(凑微分法)f f(x )f( x ) dx =f (u) du =F (u) +C =F f( x) +C(u =f( x )2. 第二类换元法f ( x)dx =fj(t )j(t ) dt =F (t ) +C =F

5、j-1( x) +C ( x =j(t )(其中x =j(t)单调可导，且j(t ) 0，F (t )为f j(t )j (t )的一个原函数).分部积分法u(x) dv ( x) =u ( x) v ( x) -v ( x)du ( x )(其中u( x) v( x )具有连续导数).有理函数与三角函数有理式的积分两个多项式的商所表示的函数称为有理函数，有理函数总可以化为多项式与真分式 的代数和，而真分式总可以分解为部分分式的代数和，所以有理函数的积分可化为整式 和下列四种部分分式的积分.(1)1x -adx(2)1 ( x -a )ndx(3)bx +c x 2 +px +qdx(4)bx

6、 +c ( x 2 +px +q )ndx而求这四种积分也可用凑微分法或第二类换元法. 三角函数有理式的积分，总可用万能代换u =tanx2将原不定积分化为 u 为积分变量的有理函数的积分，但对有些三角有理式的积分，有时用三角公式转化，再用前所 述的基本公式或积分方法求解，可能更简便些.四、重点与难点原函数与基本积分公式换元法、分部积分法等基本积分方法抽象函数的积分 五、例题解析 、选择题例 2 设f ( x )有原函数x ln x，则x ln xdx =（ ）(A)1 1 1 1x 2 ( + ln x +C ) (B) x 2 ( + ln x +C ) 2 4 4 2(C)x 2 (1

7、1 1 1- ln x +C ) (D) x 2 ( - ln x +C ) 4 2 2 4解xf( x) dx =x 2 x 2 x 2 f ( x ) d = f ( x ) -2 2 2f ( x ) dx而f ( x) =( x ln x ) =ln x +1，f ( x ) =1x，故xf ( x) dx =x 22x x 2 x 2 x 2 x 2(ln x +1) - dx = (ln x +1) - +C = + ln x +C2 2 4 4 2所以应选(B).例 3 解下列各题，并比较其解法：(1)x2 +x2dx(2)x 2 x 3 x 4 dx (3) dx (4)2 +

8、x 2 2 +x 2 2 +x2dx解 (1)x 1 1 1dx = d (2 +x 2 ) = ln(2 +x 2 +x 2 2 2 +x 2 22) +C.(2)x 22 + x2dx =(2 + x 2 ) -2 2dx = (1- ) dx2 + x 2 2 + x 2=x - 2 arctanx2+C.(3)x 32 +x2dx =1 x 2 1 2 +x 2dx 2 = (2 2 +x 2 2 2 +x-22) dx2=(1 -22 +x2) dx21= ( x22-2 ln(2 +x2) +C(4)x 42 +x2dx =x 4 -4 +4 2 +x 2dx =( x24-2 +

9、 ) dx 2 +x 2=x 3 x-2 x +2 2 arctan +C 3 2比较上述四题，发现各小题的被积函数很相似，但解法却不尽相同。注意观察被积函 数的特点，第一题中分子的次数比分母低一次，正好可凑微分使变量一致；第二题中分子与分母同次，需要拆项，使分子次数低于分母，即被积函数成为多项式与真分式的代数和 才可积分；第三题中分子次数高于分母一次，凑微分后分子分母同次，再仿第二题求解； 第四题中分子次数高于分母二次，凑微分则无效，只能根据分母情况拆项仿第二题的方法 求解。由此可见在不定积分的计算过程中需针对具体情况选择适当方法求解。 例 5 讨论利用第一类换元法求积的几种类型 (设f (

10、u) du =F (u ) +C)(1)f ( ax +b ) dx =1af ( ax +b ) d ( ax +b )=1af (u) du(u =ax +b)1= F (u ) +C a1= F ( ax +b ) +C a(2)f ( ax n +b ) x n -1dx =1anf ( ax n +b ) d ( ax n +b )1= f (u)du an(u =ax n +b)1= F (u ) +C an=1anF ( axn+b ) +C如求x 3(cos x 4 )2dx解 原式1 1 4 (cos x 4 )21dx 4 = tan( x 4 ) +C 4(3)1f (l

11、n x ) dx = f (ln x) d ln x =f (u ) du =F (u) +C = f (ln x ) +Cx(u =ln x)如求32 +ln xxdx解 原式=3 2 +ln xd (2 +ln x) =34(2 +ln x )43+C(4)f (sin x) cos xdx =f (sin x) d sin x=F (sin x) +Cf ( coxx) sin xdx =f(cos x)d cos x=-F(cos x) +C f (tan x )1cox2xdx =f (tan x ) d tan x=F (tan x ) +C如求cos x3 +cos 2xdx解

12、原式=1 3 +1 -sin2xd sin x=1 4 -sin 2 xd sin x=1 1 1( +4 2 -sin x 2 +sin x) d sin x=1 2 +sin x ln4 2 -sin x+C其 它 一 些 类 型 ， 例 如f (arctan x)11 +x2dx，f (arcsin x)11 -x2dx，f ( ex) exdx例 6求x 2 arctan x1 +x 2dx分析 此题先把被积函数写成x2 arctan x 1 +x 2=1 +x 2 1 +x-12arctan x =arctan x -11 +x2arctan x拆成两项再进行积分较方便.解x 2 a

13、rctan x1 +x 2dx =(1 -11 +x2) arctan xdx=arctan xdx -arctan x1 +x 2dx=x arctan x -x11 +x2dx -arctan xd arctan x1=x arctan x - ln(1 +x221) - (arctan x) 22+C例 7求( exe xx -1)2dx解xe x ( e x -1) 2dx =x ( e x -1) 2dex=-xd1e x -1=-exx 1+ dx =- -1 e x -1exx e x -1 -e +-1 e x -1xdx=-exx e x x+(1 - )dx =- -x +

14、ln e x -1 +C -1 e x -1 e x -1例 8求1 -xx 22dx解令x =sin t，则dx =cos tdt1 -xx 22dx =cos tsin 2 tcos tdt =cot2tdt=(csc2 t -1) dt =-cot t -t +C=-1 -xx2-arcsin x +C例 9 求xe 21+exdx解 令ex2=t，即x =2 ln t，dx =2tdtxe 21+exdx =1 2 t +t 2 tdt =2 t 2 (1 +t )dt=2(1 +t 2 ) +t t 2 (1 +t )2dt =21 -t 1( + ) dt t 2 1 +t1=2(

15、 - -ln t +ln1 +t ) +C t=2 ln(1 +ex2) -2 e-x2-x +C例 10 求x arctan x3(1 +x 2 ) 2dx解 令x =tan t，dx =sec 2 tdtx arctan x3(1 +x 2 ) 2dx =tan t tsec 2 tdtsec 3 ttd cos t =-t cos t -t sin tdt =-cos tdt 1 2 2 1 =sin t -t cos t +C=x1 +x2-11 +x2arctan x +C例 11 求1 -x(1 +x 2) 2 e x dx解1 -x( ) 2 e x dx = 1 +x 21 -

16、2 x +x (1 +x 2 ) 22e x dx=e x 2 xe x dx -1 +x 2 (1 +x 2 )2dx=e x 1dx + e x d1 +x 2 1 +x2= e x1 + x2e xdx + -1 + x 2e x1 + x2e xdx = +C1 +x 2注：最后一步等号成立是因为可设e x1 +x2的一个原函数为F ( x)，于是e x e x e xdx + -1 + x 2 1 + x 2 1 + x2dxe x e x=F ( x) +C + -( F ( x ) +C ) = +C1 +x 2 1 +x 2例 12 求x ( x -2)21( x2+x +1)

17、dx解1 A B B Cx +D= + 1 + 2 +x ( x -2) 2 ( x 2 +x +1) x ( x -2) 2 x -2 x 2 +x +1 去分母后，再比较两边同次幂的系数得A =1 1 17 8 3 ， B = ， B = ， C =- ， D =-4 14 196 49 49于是1x ( x -2) 2 ( x 2 +x +1)dx=1 1dx +4 x 14( x -2)2dx -17 (8 x +3) dx -196( x -2) 49( x 2 +x +1)dx2 2 7 2 而8 8 (2 x +1) +(3 - )8x +3dx =x 2 +x +1 x 2 +

18、x +1dx=4d ( x 2 +x +1) x 2 +x +1-1 d ( x + )21 3 ( x + ) 2 +2 4=4 ln( x 2 +x +1) -23arctan2 x +13+C从而1x ( x -2) 2 ( x 2 +x +1)dx=1 1 1 17ln x - - ln x -2 4 14 x -2 196-4 2 2 x +1 ln( x 2 +x +1) + arctan +C49 49 3 3例 13 求x 7 (1 -x 2 ) 5dx解令x =sin t ， dx =cos tdtx 7(1 -x2)5dx =sin 7 tcos 10 tcos tdt =

19、 tan t sec tdt= tan71td tan t = tan88t +C=x 8 8(1 - x 2 ) 4+C.例 14 求1sin x cos3xdx分析 对于三角函数有理式的积分，除了用“万能代换令u =tanx2”之外，往往可考虑用前面的基本积分方法.解1 sin x cos 3 xdx=sin 2 x +cos 2 sin x cos 3 xxdx=sin x 1dx +cos 3 x sin x cos xdx= -1cos 3 xd cos x+1tan xd tan x=12 cos 2 x+ln tan x + C .例 15 求sin x 2 -sin 2 xdx

20、 1 1 1 2 解sin x 1 (sin x -cos x ) +(sin x +cos x ) dx =2 -sin 2 x 2 2 -sin 2 xdx=1 -d (sin x +cos x) 2 3 -(sin x +coxs) 2+d (sin x -cos x ) 1 +(sin x -cos x)2=12-d (sin x +cos x)( 3 +sin x +cos x )( 3 -sin x -cos x )+d (sin x -cos x) 1 +(sin x -cos x)2=1 1 sin x +cos x - 3 ln2 23 sin x +cos x + 3+ar

21、ctan(sin x -cos x) +C.例 16 求I =1sin x2 cos x +3sin xdx , I =2cos x2 cos x +3sin xdx.解3I +2 I = 1 2dx =x + C1-2 I +3 I = 1 2-2sin x +3cos x 2 cos x +3sin xdx =ln 2 cos x +3sin x +C2由此得I = 3 x -2 ln 2 cos x +3sin x +C 13I = 2 x +3ln 2 cos x +3sin x +C 13.例 17 求311 + xdx解 令31 +x =t，x =(t 3 -1) 2，则dx =6

22、t 2 (t 3 -1) dt.311 + xdx=1t6t2(t3-1) dt=6t (t3-1) dt=65t 5 -3t 2 +C=65(1 + x )53-3(1 + x )23+C.例 18 计算下列各题(1)f ( x ) f 2 ( x) f (x) -f (x) f (x)3dx.(2) 设f (cos x + 2) = sin 2 + tan 2 x，求f ( x).(3) 设f (ln x ) =ln(1 +x )x，求f ( x)dx.(4) 已知f(sin x ) = cos 2 x -1 且 f (0) =0，求cos xf (sin x )dx. 解 (1) 原式

23、= f ( x) f( x ) 2 - f f (x)32( x ) f( x )dx=f ( x ) f (x)2 - f ( x ) ff (x) f (x)2( x )dx=f ( x ) f ( x ) 1 f ( x ) d = f (x) f (x) 2 f (x)2+C.(2) 设cos x +2 =t，则sin 2 x +tan 2 x =1 -cos 2 x +1 -cos 2cos 2 xx=1 1 -cos 2 x =cos 2 ( x) (t -2)2-(t -2)2即f( t ) =1( t -2)2-( t -2)2.f ( x ) =f( x) dx =1( x

24、-2)2-( x -2)2dx，即f ( x) =-1 1- ( x -2) x -2 33+C.(3)f (ln x) =ln(1 +ee ln xln x), 即有f ( x ) =ln(1 +ee xx).f ( x ) dx =ln(1 +e x ) e xdx =-ln(1+ex )de -x=-e-x ln(1 +e x ) +dx1 +ex=x -(1 +e -x ) ln(1 +e x ) +C.(4)f(sin x ) = cos 2 x -1 = -sin 2 x，即f( u ) = -u2，由1f (u) =- u 3 +C.31f (0) =0 C =0 ， f (u)

25、 =- u33.cosxf (sin x) dx =f (sin x )d sin x =-1 1 sin 3 xd sin x =- sin3 124x +C.例 19 设x x 0 f ( x) =sin x x 0，求f ( x )dx.解 由于lim f ( x ) = f (0) =0，可知f ( x)在(-,+)上连续.x 0因此f ( x)的原函数一定存在， 设F ( x) 为 f ( x)的一个原函数.因为F ( x)可导，则F ( x)必连续. F ( x) =12x2x 0-cos x +ax 0lim F ( x) =0 ， lim F ( x ) =-1+a.x 0-x 0+F ( x)在x =0处连续，即有0 =-1+a a=1.则f ( x)的一个原函数为 F ( x ) =12x2x 0.-cos x +1x 0故f ( x ) dx =F ( x ) +C =12x 2 +Cx 0.-cos x +1 +Cx 0友情提示：方案范本是经验性极强的领域，本范文无法思考和涵盖全面，供参 考!最好找专业人士起草或审核后使用。