高中数学函数知识点详细

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1、x ( )0 .第二章函数一函数1、函数的概念：1定义：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的任意一个数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数f ( x)和它对应，那么就称 f ：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个函数记作：y=f ( x)， xA其中， x叫做自变量， x的取值围 A 叫做函数的定义域；与 x的值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f ( x)| xA 叫做函数的值域2函数的三要素：定义域、值域、对应法那么3一样函数的判断方法： 表达式一样与表示自变量和函数值的字母无关；定义域一致 (两点必须同时具备)2、定义域：1定义域定义

2、：函数f ( x)的自变量 x的取值围。2确定函数定义域的原那么：使这个函数有意义的实数的全体构成的集合。 3确定函数定义域的常见方法：假设假设f ( x)f ( x)是整式，那么定义域为全体实数是分式，那么定义域为使分母不为零的全体实数例:求函数y =11 +1x的定义域。假设f ( x)是偶次根式，那么定义域为使被开方数不小于零的全体实数例1 求函数 y =4(2 -3 x -4 x +1 -2)3的定义域。例2 求函数 y =2 x2-1 + x +1的定义域。对数函数的真数必须大于零指数、对数式的底必须大于零且不等于 1假设f ( x)为复合函数，那么定义域由其中各根本函数的定义域组成

3、的不等式组来jz*.确定指数为零底不可以等于零，如 x0=1( x 0)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义. 4求抽象函数复合函数的定义域函数f ( x)的定义域为0,1求 f ( x 2 )的定义域函数f (2 x -1)的定义域为0,1求f (1 -3x)的定义域3、值域 :1值域的定义：与 x 相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 2确定值域的原那么：先求定义域3常见根本初等函数值域：一次函数、二次函数、反比例函数、指数函数、对数函数、三角函数正余弦、正切4确定函数值域的常见方法：直接法：从自变量 x的围出发，推出y = f ( x )的取值围。例：求函数

4、y =x +1的值域。解：x 0，x +1 1，函数y =x +1的值域为 1,+)。配方法：配方法是求“二次函数类值域的根本方法。形如F ( x) =af 2 ( x ) +bf ( x) +c 函数的值域问题，均可使用配方法。的例：求函数 y =-x2+4 x +2 x -1,1的值域。解： y =-x2 +4 x +2 =-(x -2) 2+6，x -1,1， x -2 -3, -1， 1 ( x -2) 2 9 -3-(x -2)2+6 5 ， -3 y 5函数 y =-x2+4 x +2x -1,1的值域为-3,5。别离常数法：分子、分母是一次函数得有理函数，可用别离常数法，此类问题

5、一般也可以 利用反函数法。例：求函数 y =1 -x2 x +5的值域。jz*2 2 2 2 max.解：71 7 7 - (2 x +5) +1 -x 1y = = =- +2 x +5 2 x +5 2 2 x +5， 02 x +5， y -12，1 -x 1 函数 y = 的值域为 y | y - 2 x +5 2。换元法：运用代数代换，奖所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域，形如 y =ax +b cx +d a 、b、 c、 d均为常数，且 a 0的函数常用此法求解。例：求函数 y =2 x + 1 -2 x的值域。解：令t = 1 -2 x t 0，那么 x

6、=1 -t22， y =-t21 5+t +1 =-(t - ) 2 +2 4当 t =1 3 5 ，即 x = 时， y =2 8 4，无最小值。函数 y =2 x + 1 -2 x的值域为5 ( -, 4。判别式法： 把函数转化成关于 x 的二次方程F ( x , y) =0；通过方程有实数根，判别式D0，从而求得原函数的值域，形如y =a x 2 +b x +c 1 1 1a x 2 +b x +c 2 2 2a a1 、2不同时为零的函数的值域，常用此方法求解。x2 -x +3例：求函数 y =的值域。 x2 -x +1x2 -x +3解：由 y = 变形得 ( y -1)x x2 -

7、x +1y =1当时，此方程无解；2-( y -1)x +y -3 =0，当y 1时， x R， D=( y -1)2-4( y -1)( y -3) 0，解得 1 y 11 11 ，又 y 1 ， 1 y 3 3函数 y =x2x2-x +3-x +111的值域为 y |1 y 3jz* .值域为y | -1y 0)个单位长度 y = f ( x -a ) y = f ( x)向上平移b (b 0)个单位长度 y = f ( x) +b对称：y = f ( x)关于x轴对称 y =- f ( x)y = f ( x)关于y轴对称 y = f ( -x)y = f ( x)关于原点对称 y =

8、- f ( -x)翻折： y = f ( x) , y = f ( x )注意：带绝对值的函数去绝对值方法有分情况讨论法，平方法，图象法*课堂习题* 1.求以下函数的定义域：y =x2 -2 x -15 x +3 -3x -1y = 1 -( )x +122.设函数f ( x )的定义域为0，1，那么函数f ( x2)的定义域为_3.假设函数f ( x +1)的定义域为-2， 3，那么函数f (2 x -1)的定义域是4.函数f ( x ) =x +2( x -1) x 2(-1x 2)，假设f ( x ) =3，那么 x =2 x ( x 2)5.求以下函数的值域：y =x2+2 x -3(

9、 x R )y =x2+2 x -3 x 1,2(3) y =x - 1 -2 x(4)y = -x2 +4 x +5jz*.二函数的性质1.函数的单调性(局部性质) 1增减函数和单调区间设函数y = f ( x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 的某个区间 D 的任意两个自变量 x , x12，当 x x12时，都有 f ( x ) f ( x )1 2，那么就说f ( x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为y = f ( x)的单调增区间.如 果 对 于 区 间 D 上 的 任 意 两 个 自 变 量 的 值 x , x 当 x f ( x ) 1 2，那么就说f ( x)在这个区间

10、上是减函数.区间 D 称为y = f ( x)的单调减区间.注意：函数的单调性是函数的局部性质； 2图象的特点如果函数y = f ( x )在某个区间是增函数或减函数，那么说函数y = f ( x )在这一区间上具有 (严格的 ) 单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减 函数的图象从左到右是下降的.3函数单调区间与单调性的判定方法重点(A) 定义法：任取 x , x 12D，且 x 1 时，为使函数 y = f ( x ) =log ( ax 2 -x )a在闭区间2,4上是增函数只需 g ( x) =ax 2-x在闭区间2,4上是增函数，故 -1 x =- 2 2 ag(2)

11、=4 a -2 0得 a 12，又由 a 1，得 a 1当 0 a 0无解综上，当a (1, +)时， f ( x)=log ( axa2-x )在闭区间2,4上是增函数D常用结论l函数y =-f ( x)与函数y = f ( x )的单调性相反；l函数f ( x)与 f ( x ) +c ( c为常数 )具有一样的单调性；l当 c 0时，函数f ( x)与cf ( x )具有一样的单调性， c 0, g ( x) 0, 且 f ( x) 与 g ( x)都是增或减函数，那么f ( x) g( x)也是增或减函数；假设f ( x ) 0, g ( x ) 0， 且 在 定 义 域 上 是 增

12、函 数 ， 那 么nf ( x ) 也 是 增 函 数 ，f n ( x )( n 1) 也是增函数。jz*.l.常 见 函 数 的 单 调 性 一 次 函 数 、 二 次 函 数 、 反 比 例 函 数 、 对 勾 函 数ky =x + ( k 0)xE利用函数的单调性求函数的最值确定函数的定义域；将复合函数分解为根本的初等函数；分别判断其单调性；根据同 增异减判断例：求函数 f ( x) =2-x -1在区间2,6上的最大值和最小值2函数的奇偶性整体性质 1函数奇偶性定义一般地，对于函数f ( x)的定义域 D 的任意一个 x，都有 -x D ,且f ( -x) =-f ( x)或f (

13、-x) = f ( x )，那么f ( x)就叫做奇或偶函数2图象的特征偶函数的图象关于 y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称 3利用定义判断函数奇偶性的步骤：首先确定函数的定义域，并判断其是否关于原点对称；确定f ( -x) =-f ( x)与f ( -x) = f ( x )是否成立；作出相应结论：假设f ( -x) = f ( x ) 或 f ( -x) -f ( x) =0 ，那么 f ( x)是偶函数；假设f ( -x) =-f ( x) 或 f (-x) +f ( x) =0 ，那么 f ( x)是奇函数注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件首先看函数的定义域是否

14、关于原点对称，假设不对称那么函数是非奇非偶函数.假设对称，再根据定义判定;或由变式f ( -x) f ( x) =0或f (-x) f ( x)=1来判定;利用定理，或借助函数的图象判定 .4函数奇偶性的重要结论l具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称；lf ( x) 、 g ( x)是定义域分别为 D , D12的奇函数，那么在 D D12上，f ( x)+g ( x)是奇函数，f ( x)g ( x)是偶函数。l类似结论：奇奇=奇、奇奇=偶、偶 偶=偶、偶偶=偶 奇偶=奇l假设f ( x)是具有奇偶性的单调函数，那么奇偶函数在正负对称区间上的单调性是jz*.一样反的。l假 设f ( x)的

15、 定 义 域 关 于 原 点 对 称 ， 那 么F ( x) = f ( x) + f ( -x)是 偶 函 数 ，G( x) = f ( x) -f ( -x)是奇函数。f ( x ) =F ( x ) +G ( x)2l假设f ( x)既是奇函数又是偶函数，那么f ( x ) =0l复合函数的奇偶性：层是偶函数，那么y = f g ( x )是偶函数不用死记硬背层是奇函数，外层是奇函数，那么y = f g ( x )是奇函数外层是偶函数，那么y = f g ( x )是偶函数5函数奇偶性与单调性的关系ll奇函数在偶函数在a.ba.b上是增函数，在上是增函数，在-b,-a-b,-a上也是增函

16、数；上是减函数。例：函数y = f ( x)( x 0)是奇函数，且当x (0,+)时是增函数，假设f (1) =0，1求不等式 f x( x - ) 02的解集。解：f (1) =0不等式可化为 f x( x -12) f (1)，因为f ( x) 在 x (0,+)1上递增，所以 0 x ( x - ) 121 1 + 17 1 - 17 得 x ，或2 4 4x 0又由f ( x)是奇函数，它在关于原点对称的两个区间上的单调性一样，且f ( -1) =-f (1) =01，得 f x( x - ) f ( -1) 2，即有1x( x - ) -12，无解。综上，原不等式的解集是 x1 1

17、 + 17 1 - 17 x ，或2 4 4x 0例 ： 设 奇 函 数 f ( x)在( 0, +)上 为 增 函 数 ， 且f (1) =0， 那 么 不 等 式jz* .f ( x ) - f ( -x)x0 的解集为？解：由f ( x)是奇函数得f ( x ) =-f ( -x)，所以f ( x ) - f ( -x) 2 f ( x )= x x0f ( x) 0 即 或 ，x 0 x 0由奇函数 f ( x)在( 0, +)上为增函数，故 f ( x )在( -,0)上为增函数由f (1) =0知f (-1) =0f ( x) 0f ( x) f (1)可化为 得 0 x 0，同理

18、f ( x) 0 x f ( -1)可化为 得 -1 x 0 x 0解集为 -1 x 0 0 x 0D=0D0)的图象有两不等实根一元二次方程 ax 2 +bx +c =0（a 0）的根x , x =1 2-b b 2 2 a-4 ac有两相等实根x =x =x =-1 2b2a没有实根 x 0 （a 0） x x x12x x R, 且x -b2a实数集 R不等式的解集ax 2 +bx +c 0） x x x 0, b2-4 ac 0)的实根分布比拟标准方程两根与实数 比拟一元二次方程 ax 2 +bx +c =0 （a 0）的实根 x , x 的分布1 2x x 0b- 0二次函数 y =

19、ax 2 +bx +c ( a 0)的图象jz*1.方程两根与 区间K x x 12x K x 12K x x 0b- K2 af ( K ) 0f ( K ) 0D0bK - 0 1f ( K ) 022 K , K1比拟2x K K x 1 1 22f ( K ) 0 1f ( K ) 0 2x ( K , K ) 1 1 2或x ( K , K ) 2 1 2f ( K1)f ( K2)06、函数的零点与二分法 1函数零点的定义如果y = f ( x)在实数 a 处的值等于零，即f ( a) =0，那么 a 叫做这个函数的零点。一般地，函数y = f ( x )的零点就是方程f ( x

20、) =0的实数根，也就是函数y = f ( x )的图象与 x轴的交点的横坐标。所以，方程f ( x ) =0 有实数根 函数 y = f ( x)的图象与 x轴有交点 函数 y = f ( x )有零点。注意：并不是每个函数都有零点2函数零点的判断零点存在性定理如果函数y = f ( x )在区间a, b上的图象不连续，并且在它的两个端点处的函数值异号，即f ( a ) f (b) 0，那么这个函数在区间( a , b)上至少有一个零点，即存在一点 x ( a , b )0使得 f ( x0)=0，这样的零点叫做变号零点，有时曲线通过零点时不变号，这样的零点叫做不变号零点。 3二分法的概念jz*.对于区间a, b上连续且满足f ( a) f (b) 0 的函数 y = f ( x)通过不断地把函数y = f ( x )的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，从而得到零点近似值的方 法叫做二分法。4用二分法求函数零点近似值的一般步骤略jz*