复合材料力学讲义试题学习

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1、复合材料力学讲义第一部分 简单层板宏观力学性能1.1 各向异性材料的应力应变关系应力一应变的广义虎克定律可以用简写符号写成为：旳 务2 r （ii）其中q为应力分量，C为刚度矩阵,为应变分量对于应力和应变张量对称的 情形（即不存在体积力的情况），上述简写符号和常用的三维应力一应变张量符号 的对照列于表1一1。按表11,用简写符号表示的应变定义为：表11应力一一应变的张量符号与简写符号的对照力应僧写特号张重苻号简吗舒号亠11。芻79S CT7332*翊Ee知.丁13%也=隔a注：丫打（iHj）代表工程剪应变，而.（ij）代表张量剪应变Jij0v ,狗丄 du .8(12)於尸药+莎 海飞+忌为产

2、莎+页其中 u， v， w 是在 x， y， z 方向的位移。在方程（1 一2）中，刚度矩阵C有30个常数.但是当考虑应变能时可以证明 弹性材料的实际独立常数是少于 36 个的存在有弹性位能或应变能密度函数的 弹性材料当应力q作用于应变dsJ时，单位体积的功的增量为： 禹门八由应力一应变关系式（1一1），功的增量为：仅供佶鉴dW沿整个应变积分，单位体积的功为：虎克定律关系式(11)可由方程(15)导出：于是同样(19)因W的微分与次序无，所以：这样刚度矩阵是对称的且只有21个常数是独立的。用同样的方法我们可以证明：其中Sjj是柔度矩阵，可由反演应力一变关系式来确定应变应力关系式为也=3呦 j=

3、l N 丿 &(111)同理肌* 歸(112)即柔度矩阵是对称的，也只有21个独立常数刚度和柔度分量可认为是弹性常 数。在线性弹性范围内，应力应变关系的一般表达式为：6 *0ia C13 C140期。羽0牙4O-gL -。狛 033。吕433r i% G理 0.4%5_ Go Oao 盹 4C4?。豹73365。盟沧us Cec _I 71a实际上，关系式(113)是表征各向异性材料的，因为材料性能没有对称平面这 种各向异性材料的别名是全不对称材料比各向异性材料有更多的性能对称性的 材料将在下面几段中叙述各种材料性能对称的应力应变关系式的证明由蔡(Tais)等给出。如果材料有一个性能对称平面应

4、力应变关系式可简化为5 JGll Qtu O曾00Oie6C?15 Osg 6 黑000恥L36 誇 備引 It23=0000牡0劭0(114)对称平是z = 0.这种材料称为单对称材料.单对称材料有13个独立的弹性常数。如果材料有两个正交的材料性能对称平面则对于和这两个平面相垂直的第 三个平面亦具有对称性。在沿材料主方向的坐标系中的应力应变关系式是： bl r一 6iOm013000 -1勺0羽000c13。歸関0001咼S3000400733310000Qo01 Tai、切L 00000L 715 j该材料称为正交各向异性材料。注意到正应力J O2 3和剪应变勺3 31 13之 间没有像各

5、向异性材料中存在的(例如由C14的存在)相互作用。同样，剪应力和 正应变之间没有相互作用，不同平面内的剪应力和剪应变之间也没有相互作用。 还注意到在刚度矩阵中现在只剩下 9 个独立常数。如果材料的每一点有一个各个方向的力学性能都相同的平面，那末该材料称为横观各向异性材料例如，假定12平面是该特殊的各向同性平面，那末刚度中的下标l和2是可以互换的.这样应力一应变关系式中只有5个独立常数且可写r 6018000 -015Oil0曲000；013%000ea卜1000ou0000000440 ,i如,00000I*(116)如果材料有无穷多个性能对称平面那么上述关系式就简化为各向同性材料的情 形，此

6、时刚度炬阵中只有2个独立常数。单对称材料(13个独立常数)(对于 z=0 的平面对称)-&1 i切Siq Isu Inil Via一 g / ji 500Q-G -as0005 r爼g如000勺Ta丁1000Oil tia)/2G0lT230000(711 015)/20沧珈“_ 00D00us T1S -(1 17) 五种最常用的材料性能对称情形的应变应力关系式见方程 (118)， (1 19)， (120)， (121)和(122)。各向异性材料(21 个独立常数)1 、fin Su jSu 00 鮎I ;bl r民13 fi33 蚩$ o0Sis sz &aso oTas000 &4 %

7、 oITa7si.000 fif45 &B 0131 ,Tn -_ 16 Sjhj &aa 00_Ti 正交各向异性材料（9 个独立常数）(119)横观各向同性材料（5 个独立常数）（1-2 平面是各向同性平而）广幻11b厂务$12000 帀2s13册B000cr自.S33000.year_00弘00l*5*93 |731:0000隔0Tai如-1u 000002(11 Sla) _ T4（1 21 ）各向同性材料（2 个独立常数）r日 =碍000 5 1000L氐12000r000昭-S13)00i00002（尽1工一帛_）0T3i_ 00000一弘）_巾1 22 )1.2正交各向异性材料的

8、工程常数工程常数(也称技术常数)是广义的弹性模量、泊松比和剪切模量以及其它性 能常数这些常数可用简单试验如轴向拉伸和疲劳试验来确定因而具有明显的 物理解释这些常数比上一节中使用的比较抽象的柔度和刚度矩阵更为直观。最简单的试验是在已知载荷或应力下测量相应的位移或应变这样柔度矩阵 比刚sij比刚度矩阵cij能更直接确定.对正交各向异性材料用工程常数表示的柔 度矩阵为其中 E1 E2 E31屈1芯也31Wo o O o o O o o O1- S 退十合 竺K少耳丄EYij分别为 1，2，3 方向上的弹性模量为应力在i方向作用时j方向的横向应变的泊松比即(124)此处q=0,其它应力全为零G23 G

9、31 G12依次为23, 31, 12平面的剪切模量。对于正交各向异性材料,只有 9 个独立常量,因为(125)这是由于柔度矩阵是方程(19)证明的对称刚度矩阵9詁的逆阵，当用工程常数 代入方程(125)时,可得(126)这样正交各向异性材料必须满足这三个互等关系。只有u12 u13和u23需要进一 步研究，因为u12 u13和u23能用前三个泊松比和弹性模量来表达.后三个泊松 比亦不应忽视,因为在某些试验中它们可以测到在正交各向异性材料中u12和u21的区别可用图11来说明，该图表示了两 种在单向应力作用下的正方形单元。第种情况应力作用在图 11的 1 方向。 由方程(120)和(123)得

10、到应变为%韦- 丄句二(一帶疗(127) 所以变形为丄一方向上的应力4-方之上隣应力图1-1 u12和u21的区别(128)aJ-g(瓷眉其中裁荷方向由上标表示第二种情况是，伺样的应力值作用在图21中2方向，可得应变为(129)仏2=2人1这是用贝蒂(Betti)定理来处理各向异性材料的一个推广。即当应力作用在2方向 引起的横向变形(或横向应变)和应力作用在1方向引起的相同。由于刚度矩阵和柔度矩阵是互为逆阵，由矩阵代数可得正交各向异性材料的矩阵之间的关系为其中(133)在方程(132)中，符号 S 和 C 在每一处都可互换以得到逆转关系式用工程常数表示正交各向异性材料的刚度矩阵q可由方程(12

11、3)表示的柔度矩 阵 Sij 的求逆得到，或者把 Sij 代入方程(132)和(133)得到方程(115)中的 非零刚度是(12 EE$4陀1 + P就咋2 13+1223EEA1 旳骅班_風4 旳3于站爼巩3013 =E迅A=(?31(134)66 = fflt其中一 巾翼”二严週卩蹙一旳纠13一 2三纶也世週(135)g特别指出，假如要明确一种材料是否是正交各向异性的，可以从各种角度进 行力学性能试验，看它是否存在剪力耦合影响的方向，由此确定材料是否是正交 各向异性的、各向同性的、或是其它的。确定材料主方向的最简单方法是直观 法但是，应用直观法材料的特性必须能很容易地用肉眼看出。例如在用硼

12、环 氧带制成的纤维增强简单层板中（图19），容易看出纵向就是1方向.同样，2 方向在带平面中垂直于纵向的方向而 3方向则由垂直于带平面定出。1.3 弹性常数的限制1.3.1 各向同性材料对各向同性材料，弹性常数必须满足某些关系式如剪切模量可由弹性模量贝 E 和泊松比，确定(136)为了使 E 和 G 总是正值，即正的正应力或剪应力乘上对应的正应变或剪应变产 生正功，于是 1（137）同样，如果各向同性体承受着静压力P的作用，体积应变（即三个正应变或拉伸 应变之和）定义为冷十切十今*曲/3（二加j吨38）于是体积模量(139)8(i?2y因为如果体积模量是负值，则静压力将引起各向同性材料体积膨胀

13、因此对各向 同性材料，泊松比的范围是(141)1.3.2 正交各向异性材料正交各向异性材料弹性常数间的关系较为复杂.为了避免陷入基于各向同性 材料工作基础上的错觉，那些关系式应认真研究，首先，应力分量和对应的应变 分量的乘积表示应力所做的功，所有应力分量所做的功必须是正值，以免产生能 量该条件提供了弹性常数数值上的热力学限制事实上对前面各向同性材料所 做的就是这个限制的结果.该限制由伦普里尔(lempriere )推广到正交各向异性材 料。他要求联系应力应变的矩阵在形式上是正定的，即有正的主值或不变量于 是，刚度和柔度矩阵两者都是正定的.这个数学条件可由下述物理论证来代替，如每次只有一个正应力

14、作用，对应 的应变由柔度矩阵对角线元素决定.于是，这些元素必须是正的，即或用工程常数表示热施血g匪X(143).同样，在适当的限制下，可能只有一个拉伸应变的变形.再则，功只是由相应应 力产生的.这样，由于所作的功是由刚度矩阵的对角线元素决定的，这些元素必 须是正的，即(144)Ciij。哋o现。妁o购(145)由方程(134)同时，因为正定矩阵的行列式必须是正的，得(146)4 g 1 土血#迥一/鸥#帧L岭说爲2旳氓勢巧L* A0 由方程(132)，根据刚度矩阵是正值导出(147)I屍订v (JS4)卯 他弘)1/3 氐| V曲J 5利用柔度矩阵的对称性方程(112)，得于是方程(145)可

15、以写为同样，方程(1如果 Sij 用工程常数表示，方程(149)也可以从方程(147)得到 46)可以表示为为了得到用另外二个泊松比u32和u13来表达一个泊松比u21界限，方程(151)可进一步化为对u32和u13可得相似的表达式。前述对正交各向异性材料工程常数的限制，可以用来检验实验数据，看它 们在数学弹性模型的范围内是否与实际相一致在硼环氧复合材料的试验中， 迪克森(Dickerson)和戴马蒂诺(DiMartino)报道说，在1方向加载荷引起2方向应 变的泊松比(u12)高达1.97，两个方向的弹性模量是E=11.86*106磅/英寸2,是满足的。因此，即使我们按照各向同性材料的直觉知

16、识不能接受这么大的数值，但u12=l. 97却是一个合理的数据。文献没有报道充分的资料以证明行列式条 件(246)，这个条件可能是比较严格的。文献报道了另一个泊松比u21为0.22, 这个值满足对称条件或互等关系(148)。只有测定的材料性能满足限制条件，我们才有信心着手用这种材料设计结构 物。否则，我们就有理由怀疑材料模型或实验数据，或者二者都怀疑。1.4 正交各向异性简单层板的强度1.4.1 强度概念在描述层合板时，正交各向异性简单层板的强度特性如同刚度特性一样是一 个重要的基础。因为要得到简单层板所有可能方向的强度特性事实上是不可能 的，必须确定一个方法，以得到用材料主方向的特性表示任意

17、方向上的特性。在 此，众所周知的主应力和主应变的概念是无价值的。这里的中心点是主应力和主 应变是与材料方向无关的最大值；应力和应变的方向对各向同性材料毫无意义。 因为正交各向异性材料的主应力轴和主应变轴不一定是一致的。还有，在一个方 向的强度比另一个方向低，所以最大应力不一定是控制设计的应力，必须合理比 较实际的应力场和许用的应力场。前面几节中在刚度关系方面已完成的工作可用作计算实际应力场的基础，尚 待确定的是许用应力场。建立在材料主方向的许用应力或强度，是研究正交各向 异性简单层板强度的基础。对于应力作用在其自身平面内的简单层板，如果简单层板的拉伸强度和压缩 强度是相等的，它具有三个基本强度

18、：X轴向或纵向强度Y横向强度S剪切强度(单位：力面积，即许用应力)。这些强度的方向表示在图 12 中；显然，这X=50000 磅/英寸 2Y=1000 磅/英寸 2S=2000磅/英寸2根据纤维的方向，像强度一样刚度在1方向高而在2方向低。假定在12平 面内的应力是O=45000 磅/英寸 2o2=2000磅/英寸2T12=1000 磅/英寸 2那末，最大主应力显然低于最大强度。然而，比Y大，这样简单层板必定在 所加应力下破坏。在正交各向异性简单层扳中，要注意的关键是强度是应力方向 的函数。相反，对各向同性材料，强度和施加于物体上的应力方向无关。如果材料的拉伸和压缩性能不相等(多数复合材料都是

19、如此 )，那末下述强 度是必须的：Xt轴向或纵向拉好强度XC轴向或纵向压缩强度Yt横向拉伸强度Yc横向压缩强度，S剪切强度 上述强度必须定义在材料主方向上。材料主方向的剪切强度和拉伸与压缩性能的差别无关，它必须由纯剪应力确 定。即对于拉伸和压缩呈现不同性能的材料，不管剪应力是正的还是负的，都具 有相同的最大值。观察图13 中单向增强简单层板上作用着正的或负的剪应力，可知上述陈述是合 理的。剪应力正负的规定和帕加诺与周(Chou)的规定是一致的。在图13中，标明了正的 和负的剪应力的应力场之间没有区别。这两个应力场彼此镜面对称。即使用图1 3 的下半部分来检验主应力时也是如此。于是在两种情况下的

20、剪应力的最大值 是相同的。正a吗应力加捉野应力疋的菊虫力刘艺北应力图13在材料主方向上的剪应力 图1 4在和材科主方向成45。角的剪应力 但是，在非材料主方向上的剪应力的最大值依赖于剪应力的符号。例如，在 和材料主方向成45o时，正的和负的剪应力在纤维上产生符号相反的正应力，如 图 14所示。图中对于正的剪应力，纤维方向有拉伸应力，而垂直纤维的方向 上有压缩应力对于负的剪应力，纤维方向存在着压缩应力，而拉伸应力垂直于 纤维.然而材料的法向强度和法向刚度在拉伸和压缩时是不同的。因此对于作用 在和材料主方向成 45o 的正的和负的剪应力的表观剪切强度和剪切刚度是不同 的。这个道理可以由简单的单向增

21、强简单层板推广到织物材料。上述例子只是分析具有不同拉伸和压缩性能的正交各向异性材料所遇到的 因难之一。此外这个例子也说明了，在材料主方向上的那些基本资料是怎样转换 到其它有用的依赖于所考虑的应力场坐标的方向这样的转换仅仅指出不管是强 度还是刚度，这些基本资料是张量形式的，因此服从张量转换的常用规则。对于拉伸和压缩具有不同强度和刚度的材料的这个课题，不准备探入研究 (除了报道不同强度之外)，因为对这种材料的研究仍处于初始阶段但是这个课 题对于一般的复合材料是十分重要的，即使不是纤维增强层合复合材料。 1.4.2 强度和刚度的实验确定对于拉伸和压缩性能相等的正交各向异性材料，可以进行一定的基本试验

22、来 得到材料主方向的性能。如果正确地进行试验，一般可以同时求得材料的强度和 刚度特性刚度特性是码方向的弹性模量豪场A方向的弹性模量.詈当6 = 6而其它应力皆为零；旳ZL寻当6 = 而其它应力皆为零；G 在1-2平面内的剪切模量.述月EE2 u12 u21中只有三个是独立的强度特性是X轴向或纵向强度(1方向)Y横向强度(2方向)S剪切强度(12平面内)通过下述几个试验，可以得到上述的基本刚度和强度数据。试验的基本原则 是，当载荷从零增至极限载荷或破坏载荷时，材料的应力应变关系是线性的这 样的线性关系对玻璃环氧复合材料是典型的，对于硼环氧复合材料也是十分 合理的。而剪切性能却完全是非线性的，直到

23、破坏为止。这个到破坏为止的线弹 性特性和直到塑性开始之前呈现线弹性性能的物体的分析是完全相似的因此塑 性理论的某些概念例如屈服函数，对于强度理论是有用的模拟，这点将在后面讨 论。简单层板的刚度和强度特性的试验测定中的关键，是使试件承受均匀应力状 态。对于各向同性材料达样的加裁是比较容易的。然而，对于正交各向异性复合 材料当载荷作用在非材料主方向时此时的应力应变关系式由方程(155) 给 出，这个正交各向异性性能将导致：(1) 正应力和剪应变(2) 剪应力和正应变(3) 正应力和弯曲曲率(4)弯曲应力和正应变之间出现藕合影响这样为了保证得到所期望的数据，必须特别谨慎。贝眉页脚可灌回除(155)首

24、先考虑一单向增强简单层板平片在 1方向的单向拉伸试验如图 15 所示。在这个试验中测量应变1和2，由定义：护 12= (156)其中 A 是垂直于作用载荷的试件横截面积。 第二，考虑一单向增强简单层扳平片在 2方向的单向拉伸试验如图 16所示.像第一种试验那样，测出J和勺，这样(157)其中 A 也是垂直于作用载荷的试件横截面积。图 1 5 在 1 方向作用单向载荷图 1 6 在 2 方向作用单向载荷此时，刚度性能必须满足互等关系式：-i E?(158) 否则就存在着三种可能性(1) 测量的数据不准确(2) 进行的计算有错误(3) 材料不能够用线弹性应力应变关系式描述第三考虑一简单层板平片，在

25、和1方向成45。角的单向拉伸试验如图17 所示。单独测量卞显然(157)应用方程(159)中转换关系式11_JS. h1 -煖+詁叫=址(畚+赞I洛(圭+警主皿皿sin5 0 cos &壽一赞)血 003唧+盒血唧4x简侏曲町7主+金一甘7)血叩期町血+( +吉 心细必扌一)皿云 & oos3 0 4*(ein* 8 +cos4 0) l韵鈕8如&-民十警_韵duff 003s 5笛(?13 /其中，只有 G12 是未知的。于是(159)(4去-去+眯(160)对于强度，不存在像方程(160)一样的关系式因为强度没有必要像刚度一样转 换.因此，不可能依赖这个试验来决定极限剪应力S,因为伴随的剪

26、切破坏并不 引起纯剪切变形所以，必须考虑得到 S 的其它方法。5(161)然而，在转到决定剪切强度的其它方法之前，评论进行第三种试验的难易程 度是合适的。显然，由方程(161)可见，由于S16的存在，在正应力ox和剪应变 Yxy之间存在着藕合影响.这样，虽然只有P力表示在图17中，试验并不能正 xy确地进行，除非作用力是均匀地横贯于端部，且简单层板的端部像图 18 的左 图那样自由变形否则，如果简单层板的端部嵌在试验机中，并作用着合力 P 则简单层板将由剪切变形受到限制而扭曲成如图 18 右图中的形式如果和宽 度相比试件足够长，在这种试件的中部，其变形相似于图 18 所示的没有限制 的简单层板

27、的剪切和拉伸。这就是说，远离圣绍南(gt. venant)端部效应，试验 的方式是无关紧要的然而在正常情况下，我们不能选用足够多的材料来得到有 用的标距段。图17单向裁荷作用在和1方向成45。角图18载荷自纤维成45。角的单向增强简单层扳的变形 图17和18表示的非铀向试验的另一个特性，实际上不是测弹性模量Ex，x 而是测量了转换后的二维刚度Q11除非试件有高的长一宽比。这个矛盾的原因在 于，在试件中几何上容许的应变状态强烈地依赖于几何形状。如果试件是长而细 的，按照圣维南原理，试件端部夹紧的边界条件是不重要的.因此可以得到纯粹的单向应变:(162)然而，对短而粗的试件端部限制:6=0曲ox主

28、0，y=Yxy =0将导致应力一应变关系:(163)读者可利用所述条件和推导ox的关系来证明方程(162)和(163)。方程(2x62)的Ex和方程(163)中的Q11的区别是显著的，它可通过石墨/环氧试件的 图19得到最好的说明.图中，对于和纤维方向成30o角的非轴向试验，Q11的 值比Ex大10.4倍.Q66和Q相比亦存在相似的差别。对于E / E2的值较低的 材料，Q11和Ex之间的差别是较小的.Q11和Ex之间的差别的实际意义是非轴向 试件的长一宽比必须足够大以保证测量的是Ex而不是Qu。nr方尚角&图19刚度圆Q66和Qxy与弹性模量Gxy和Ex的比较 讨论的最后一个试验实际上包括测

29、定剪切模量和强度的一组试验。讨论了几 个试验。因为每一个试验都有缺点而且在某种程度上，它们没有被普遍承认为是 最好的剪切性能试验。由惠特尼，帕加诺和派普斯描述的管子扭转试验简明地表示在图 110中。图中，薄的圆管在两端承受扭矩T.管子由全部平行于管轴，或者全部周向的多 层纤维薄片组成。如果管壁很薄，有理由确信在整个壁厚内是等应力状态的。然 而，由于管壁簿，端部夹固困难。通常，管子的端部由附加胶按层来加厚，以使加栽时，破坏发生在管子中间的均匀应力部分。制造扭转试件管子的费用高，且 需要比较完善的测试设备.如果测得在剪应力t12作用下的剪应变Y12则一 T8 = Tiagjg (164)(165)

30、也可得到应力应变曲线的线性部分的剪切弹性模量(166)然而，典型的剪应力一剪应变曲线是完全非线性的，如图110所示.因此，如 像韩(Hahn)和蔡(tsai)所做的那样，在实际分析中应该用完全的应力一应变曲线代 替初始“弹性”模量。尽管如此，大多数复合材料仍然是用方程 (166)给出的 初始弹性模量进行分析的。图 110 管子扭转试验另一个用来测量复合材料剪切模量和剪切强度的试验是肖克(Shockey)提供 的“十字梁”试验，他评价的复合材料简单层板为夹层梁的面板，梁的芯子的弹 性模量约比简单层板小二个数量级。如图 111表示的承受着载荷的十字梁。这样 产生了一个薄膜应力状态，与x抽成45。方

31、向，可能是均匀纯剪应力。然面由于 交叉角处的应力集中，均匀应力状态只是在十字中心才达到。破坏在交叉角处开 始。所以十字梁试验不是一个合适的测量剪切强度和剪切刚度的方法。还有一种剪切强度和剪切刚度试验，它是由惠特尼(Whitney)，斯坦斯巴杰 (Stansbarger )和豪厄尔(howell )所描述的“轨道剪切试验。用两根轨道在简单 层板两对边用螺栓连结起来，如图 112 所示，一对在层合板的顶部伸出而另一 对在层合板的底部伸出，组合件放置在万能试验机加载夹头之间加压。这样，简 单层板中引起剪切，考虑到端部影响(例如简单层板顶部和底部的自由边)，这种 试件的几何形状必须仔细选择。这些和其它

32、一些影响可能导致测定的强度低于实 际情况。尽管如此“轨道剪切”试验在航空工业中是广泛应用的，因为它简单、 便宜而且还能用来做高低温的试验。图 1 11 夹层十字梁试验图 1 12 “轨道剪切”试验第二部分 简单层板的微观性能2.1 刚度的材料力学分析方法材料力学方法的主要特点是对复合材料的力学性能作一些简化假设。最主要的假设是：在单 向纤维复合材料中，纤维和基体在纤维方向的应变是一致的，如图21所示，由于基体和纤维的应变是相同的，显然垂直于1 轴的截面在承载前是平面，在 承载后仍是平面上述假设是材料力学方法最基本的假设，如在梁、板和壳体理论中常用的 那样。在此基础上，我们将导出单向纤维增强复合

33、材料的表观正交各向异性弹性模量的材料 力学表达式。蠡 /二rH -MHMB*VWV二图 2 1 在 1 方向承裁的代表性体积单元2.1.1 E1 的确定要确它的第一个弹性模量是在复合材料的 1方向上，即纤维方向的弹性模量 由图21根据基本假设，式中可适用于纤维和基体两者的应变。如果两种组分材料都处 于弹性状态，则应力是平均应力J作用在描截面A 上, S作用在纤维的横截面Af 上, am作用在基体的 横截面Am上。作用在复合材料单元上的合力是将(22)式代入(23)式并认为tn “ E込(24)显然(25)纤维和基体的体积比可写成(26)这是纤维方向表现弹性模量的混合律表达式，混合律如图22所示

34、。混合律表示，当Vf从0l变化时，表现弹性模量E从Em线性变化到Ef图22 E随纤维体积含量的变化图23在2方向承载的代表性体积单无2.1.1 E2 的确定下面研究垂直于纤维方向的“表观”弹性模量E2。在材料力学方法中，假定纤 维和基体承受着同一个横向应力o2,如图23所示。因此纤维和基体的应变是或用(28)式代入后，它成为幸作用的横向尺寸近似乎均值为VfW。作用的vmw。总的横向变形为这是在垂直纤维方向的表观弹性模量的材料力学表达式。方程 (313)可以无量 纲化，成为场_1(214)瓦兀+耳為/爲)表3给出了三个基体对纤维模量比E2/ Em值表31对不同Em / Ef和Vf值给出E2/ E

35、m值700.0.40.(50.S09丄11111111/JW11.221忌1,822.X7&.B71.0I/1W151.661.982.邛i.QQ9-17100在图24中，如果Vf=l,则预测的模量即为纤维模量。如果作用的是拉 伸应力o2,那就意味着纤维之间的粘结是理想的.如果作用的是压缩应力。2, 并不意味着要这种粘结。即使在Ef=10 Em时，需要50%以上的纤维体积含量才 能使横向模量提高到基体模量的两倍。这就是说,除非纤维的百分比很高,否则 纤维对横向模量的提高不能起大的作用。显然,上述推导中包括的假设并不是完全一致性的按照（28）式,在纤维 和基体界面上的横向应变是不一致的,而且纤维

36、和树脂的横向应力也不相同。相 反垂直于纤维和基体边界面上的位移完全一致将形成一精确解,以确定“表观” 的横向弹性模量,这种解答只有用弹性力学方法才能得到。这种不一致性只有用 实验结果与之比较才能估量。对这一解要注意的另外一点是,如果纤维和基体的泊松比不相同 （它们很可 能是不同的）,那么在纤维和基体中出现了纵向应力（纵向的净合力为零）以及在纤 维和基体界面上出现了剪应力。这种剪应力在某些应力状态下必然出现。因此不 能把这一材料特性看成是不合适的或者是一个不适当解的标志。图24 E2/ Em随纤维体积含量N变化图35在1方向承截的代表性体积单元2.2.3 v2的确定主泊松比v12可由类似于分析E

37、1的方法得到。当应力a1 = a而其它应力全为 零时,主泊松比定义为(215)变形如图35所示。横向变形Aw是但用分析横向弹性模量E2的方法，变形Amw和Afw近似地为(216)(217)mWWVmVm页眉页脚可一键删除(218)图26vi2随纤维体积含量的变化 图27受剪切裁荷时的代表性体积单元这就是对主泊松比的混合律，用类似E1的方法绘于图26中。很明显，如果vm2.2.4 G12 的确定在材料力学方法中，简单层板的平面内剪切模量g12是由假定纤维和基体中的剪 应力相等来确定的裁荷如图 27所示由基本假设不考虑纤维增强复合材料典型的剪应力剪应变非线性性能，认为该性能是线性 的。在微观尺度上

38、，变形如图28所示.总的剪切变形为(221)AyW近似地由(222)AtWyf组成，由于A = Am+Af除以W得(223)把（220）式代入，并认为最后这和横向弹性模量e2的表达式一样。象e2一样，g12的表达式可用基体模量正 化，表示为则（223）式可写成用若干Gm/Gf值将上述方程绘于图38中。同E2一样，基体模量是G12表达2.2.5 小结前面所述仅是使用材料力学方法的一些例子。用物理性质的其它假说对正交 各向异性层的四个弹性模量可以导出不同的表达式。例如，欧克凡尔(Ekvall)考 虑了由于纤维约束引起在基体中的三向应力状态而得到了凡E和E2混合律表达 式的修正式亟=眄码+几邂H用十酚風B_严 VA+VMi-yQ(228)式中：11：(229)但是，当v 0.25时，对上述表达式的修正并不显著.还作出了正方形或矩形 纤维代替圆纤维或由于纤维引起的应力集中等各种特点的其它修正。