构建仿射坐标系解题

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1、构建仿射坐标系解题 - 构建仿射坐标系解题 湖北省阳新县高级中学 邹生书 直角坐标系和斜角坐标系统称为仿射坐标系，直角坐标系是仿射坐标系的特例，斜角坐标系是直角坐标系的类比推广.本文通过类比直角坐标系下点的坐标、向量坐标、直线方程等有关知识，构建仿射坐标系解决向量共线、向量线性表示以及线性规划等有关问题. 一、仿射坐标系下的向量共线问题 我们知道在直角坐标系下共线向量有如下结论：假设。同样在仿射坐标系下此结论仍然成立。 例1 向量，那么实数的值是( ) ，那么解法1(常规解法)因，故.又，所以解法2 由点，以，知，解得，应选. 作为原，因不共线，以原直角坐标系的原点， 那么作为单位基底建立仿射

2、坐标系为例2 向量否存在这样的非零实数解法，所以，所以其中，应选. .问是不共线，向量，使向量与共线? ，所以存在实数，1常规解法 因为，假设与共线，因使得去得，即，故存在这样的非零实数，只要，所以，就能使向量，消与共线. 解法2 因不共线，在向量平面内任取一点，那么作为原点，以作为单位基底，同法1得 建立仿射坐标系. 假设向量实数与共线，那么，只要，就能使向量与共线. ，解得，故存在这样的非零二、仿射坐标系下向量的线性表示问题 例3 如图1，在和解 以表示向量. 作为仿射坐标系的单位基底， ，所以 中，和交于点.试用向量为坐标原点，以建立平面仿射坐标系如图1所示.因为，.所以直 线在仿射坐标

3、系下的“截距式”方程为即. 直线在仿射坐标系下的“截距式”方程为即.解得，那么点的坐标为，所以. 图1 例4 在平行四边形，那么( ) 中，与相交于点，假设解 以为坐标原点，以作为仿射坐标系的单位基底，建立平面仿射坐标系如图2所示.因为， ，.所以直线所以在仿射坐标系下的“截距式”方程为即.直线在仿射坐标系下的“斜率”为，故直线在仿射坐标系下的“点斜式”方程为.解得，那么点的坐标为，所以，应选. 图2 三、仿射坐标系下的线性规划问题 下面在类比思想的引领下用仿射坐标系下的线性规划解法解一类向量创新问题. 例5(2023南昌联考)，那么解 以为原点以那么是内任一点(不包括三角形边上的点)，且满足

4、的取值范围是 作为轴轴上的单位向量建立仿射坐标系如图3所示，设，于是有，那么，又因为，设即该方程表示直线，当直线过点时，的取值范围是，当直线过点. 时，。因是内任一点，所以图3 例6(2023年高考安徽理科第14题)如图4，给定两个长度为1的两个向量，它们的夹角为，其中，点，那么在以为圆心的圆弧和上变动，假设的最大值是 图4 图5 解 以那么，设，所以平行于的截距最大， 为原点以作为轴，又因为该方程表示直线，当直线与圆弧，故的最大值是2. 相切于点轴上的单位向量建立仿射坐标系如图5所示.设，于是有.而直线，那么的方程是轴上时，直线在例7(2023年唐山市)在平行四边形中，分别为的中点，记三边及

5、其内部组成的区域为那么的最大值为 ，当点在上运动时， 解 以设那么为原点以作为轴，又因为轴上的单位向量建立仿射坐标系如图6所示，于是有，那么“斜率”，设，所以当直线过点即时，该方程表示直线，因为直线的。 图6 例8如图7，正六边形，那么中，是内包括边界的动点，设的取值范围是 图7 图8 解 如图8，以那么，设为原点以，又因为该方程表示的直线与直线作为轴轴上的单位向量建立仿射坐标系.设，于是有，那么平行.由图2知，当直线与当直线过点时在重合即直线过点轴上的截距最大，时在轴上的截距最小，故的取值范围是线段及的;. 例9(06年湖南高考题改编)如图9，点在由射线延长线围成的阴影区域内)不含边界)运动

6、，且.(1)实数对可以是 时，的取值范围是 且.又直线的方程为并建立直角坐标系如图1所示，直线的方程为(2)的取值范围是;当解特殊化特别地，取那么，因点在阴影区域内，所以，经检验知，(1)应选. (2)因直线当时，与直线的取值范围是和直线. 交点的纵坐标分别为和，由图12知，图9 图10 坐标法是数学方法中最重要的方法之一，解析几何的核心思想是“坐标法”，坐标法就是数形结合思想的表达.综上所述，构建仿射坐标系解决向量共线、向量线性表示以及线性规划等有关问题具有独特的解题功能，方法坐标化运算化、解法直观快捷，学生容易掌握便于运用“仿射坐标系”是在学生熟悉的“直角坐标系”相关知识和思想方法的类比拓展，符合“最近开展处”的理论要求.构建仿射坐标系解题，同时也是培养学生类比推理才能、知识思想方法迁移才能和创新思维才能的良好载体. 第 11 页 共 11 页