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1、Radon变换:又称为Hough Transform （数字图像处理课程里学过数字图像处理课件3-P37）考虑b=ax+y，将原来的XY平面内的点映射到AB平面上。则原来在XY平面上的一条直 线的所有的点，在AB平面上都位于同一个点。通过记录下AB平面上的点的积累厚度，可反 知XY面上的一条线的存在。在新平面下得到相应的点积累的峰值，可得出原平面的显著的 线集。Ftgure 3,3ft(a) xy plane, (b) Parameter space.例如：XY平面上的一个直线y=2x-3;变换 -3=-2x+y; 其中：a=-2,b=-3若有两个点在XY平面：（0,-3）, （2, 1）,此
2、两点都过直线，则可知有AB平面上, 此两点在（-2,-3）AB平面上。一种更好的表示方法是用p和9来代替ab。即：xcos0+ysin0=pfigure, imshow(I);title( orginal以图像的中心为极坐标原点，直线X即为新的投影坐标，9为角度。我们所要求的原 坐标上的一条直线，是一条垂直于上图X的一条直线，而非X本身。如下例：function radontestI=zeros(200,200);%I(100:170,100:170)=l;A=eye(100,100);I(101:200,l:100)=A;image);theta=0:180;R,xp=radon (I,th
3、et a);% R是点的数量多少% xp是R对应的坐标位置，即为X，另一解释为直线跟原点间距离 % 0-18 0代表0到18 0度%此变换是以图像的中心点为原点的变换orginal imagefigure,imagesc(theta,xp,R); title(R_theta X); xlabel (thet a(degree);ylabel(Xprime);colormap(hot);colorbar;Fheta.i-060WO160theta(degree即所求=45度，X=-75左右。意思是在原XY坐标下的45度的直线X上，距离原点75的 位置有条与X垂直的直线。此直线真正的45+90=1
4、35度，右移-75/sin45=100的距离。叫二；” f闔贾壮5适十勺血& 一:山由(6)式可见，f(x) 的Radon变换是f (x) 沿不同9方向的投影； 而f(x)的脊波变换看作是先对f(x)进行Radon变换，然后沿着每个积分方向 做一维小波变换的结果，即：亡眄訂禺如(7)正因为脊波变换在Radon域上对各个方向进行一维小波变换，将图像的线奇 异性转换为点奇异性，充分利用小波变换对点奇异性的良好表示特性来得到具有 线奇异性图像的稀疏表示。脊波逆变换可以通过沿每一方向做一维小波逆变换， 然后进行Radon逆变换得到。然而Randon变换的离散化是一个比较复杂的问题，在众多的离散化算法中
5、，有 些存在大量的冗余，有些虽然克服了大的冗余度，但是得到其所对应的逆变换又 比较困难。其中有限Radon变换FRAT (Finite Radon Transform) 67是其中比 较好的离散化算法之一。有限Radon变换是有限大小的二维离散图像实现Radon 变换的离散化方法。一个N XN(N要求是一个素数)大小的图像f(i,j),其中0,1,2,N 1。它的有限Radon变换FRAT定义为：. (8)其中，2-是满足斜率k和截距l的直线上的所有象素点的集合，定义 如下：厶铲=伽+0严讨N-妙, 当ke0,1,2-,N1厶严邈幼J亡Ml”当k= N(9) 由式(8) (9)可知，有限Rad
6、on变换是满足要求的直线上的图像象素 点灰度值的累加和。一个NXN大小的图像经有限Radon变换后，将得到(N+1)XN 大小的矩阵，它有N+1个斜率方向，每个方向上有N个系数。有限Radon变换的逆变换可以通过有限逆投影变换FBP (Finite Back Projection)来得到:掩於阳处/)二讦“卩(10)其中P指的是所有通过点(i,j)的直线的斜率k和截距l的集合，即:ij鬆觀繼M跖遗逊嚓羅讓藝 (11)为了获得更好的能量集中性，由式和(10)所定义的有限Radon变换(FRAT)和反变换FBP要求变换的图像均值为零，对于均值不为零的图像可以 在变换前先减去均值，以保证变换前的图像均值为零；反变换回来后再加上图像 均值即可恢复原图像。
Radon变换说明及matlab例子
