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1、陀螺进动理论及其局限性什么是陀螺？广义上说，只要能绕某轴转动，而此轴又可绕另一汇交轴转动 的刚体就可叫作陀螺。但工程上常将具有固定点的，高速自转的对称刚体称为陀 螺。就像我们平时玩的玩具陀螺，由于高速自转，就有可能对对称刚体的定点运 动作近似研究。设对称刚体在对称轴z （陀螺主轴）上具有固定点0，刚体有3个自由度； 陀螺绕主轴的转动惯量为J。如果陀螺的自转角度大大的大于主轴在空间的转动 角速度，就可用陀螺的自转动量矩H = J 0 k近似代替陀螺对点0的全部动量矩。这里0是陀螺的自转角速度，由陀螺马达 维持为常量（转速通常为6000rpm到lOOOOrpm ），因此，陀螺自转动量矩H的 大小为
2、常量，方向与主轴一致这时对点0的动量矩可近似写成：dHdtH对时间的导数的物理意义是H端点的速度v ，因而有V = M 即陀螺HH 0自转动量矩H端点的速度等于陀螺所受的外力矩。由该式可推出陀螺的三个力 学特性：1. 定轴性如果陀螺不受任何外力矩，则其主轴在惯性空间保持方向不变2. 进动性如果陀螺受到外力矩的作用，则主轴的运动并不是在外力矩的 作用平面内发生，而是在垂直于该平面发生。这种特殊运动称为陀螺的 进动性，如图1所示，力F作用于陀螺主轴，对点0产生力矩为Mo，H 端点有速度v = M，于是主轴绕y轴转动，即垂直于力F与支点0形H 0成的铅垂平面运动。进动角速度3=丫比=M图13. 陀螺
3、效应 如果强制陀螺以角速度W进动，则陀螺必给施力者一个反力偶，其力矩为Mr, 有：Mr=-MoMr= Hx 这个力矩与一般刚体的反作用力矩也不相同，称为陀螺力矩；与陀螺力矩 有关的现象称为陀螺效应这些结论统称为陀螺的进动理论，它是高速自转下的近似理论，只适用于三自由 度陀螺。陀螺进动理论是有其局限性的，是近似的，其本质是忽略了陀螺的惯性，一 般的静止物体受力时，物体有加速度，但不能立刻获得速度，必须经过一段时间 后才能获得速度，这说明物体有惯性。而陀螺进动理论指出，只要有力矩M作 用，陀螺主轴立即以角速度进动，这显然忽略了陀螺的惯性。这就导致了进动理论对某些必须考虑陀螺惯性的问题失效，例如：涉
4、及稳定 性的问题。如图2所示，以直立陀螺为例，其重心位于支点的上方，A为对n轴的转动惯量。 依照进动理论，在重力矩作用下，H端点的速度恒垂直于陀螺主轴z与铅垂轴n 构成的平面，因此，不管自转角速度如何，陀螺主轴均作圆锥运动而不倒，这显 然与实际不符。实际上陀螺主轴在作进动的同时还叠加有高频微幅的圆锥状抖 动，称为陀螺的章动。如果这个章动是随时间发散的，则陀螺在铅直位置的直立 状态就不可能稳定。若要考虑陀螺的章动，就必须考虑其惯性，也就必须转向精 确的动力学方程。当直立陀螺的主轴在铅直线附近作圆锥运动时，有2 2J甲e sin 9 + (J 一 A )V sin 9 cos 9 = Pa sin
5、 9 - sin 9 Je + (J 一 A )V cos 9 一 Pa = 0当9丰0时，有2JV9 + (J - A )W cos 9 - Pa = 0(1)引入变量 Q = e +V cos 9它的意义是陀螺角速度在主轴上的投影，且有L =CQ。由于重力矩Mo恒z垂直于主轴，即动量矩矢量Lo端点的速度V恒垂直于主轴，因此Lz是常量，Lo即0 =(5cos 9右o n s代入式(1)得2(A cos 9 )甲-COp + Pa = 0这是一个相对变量甲的二次代数方程式，要想甲有实数解，即要想使陀螺在直 立位置附近的规则进动能够实现，判别式应大于零：2 2C 0 - 4 PaA cos 9 0把在铅垂位置直立的陀螺看成9 T 0的极限状态，则得到直立陀螺的稳定条件是0 P aAC所以，要想使陀螺在铅直位置稳定的旋转，自转角速度不能太小，这与我们 在实际中得到的经验也是一致的。经过一个学期的理论力学的学习，确实感到这是一门对我们今后的工作 非常有用的课程
陀螺进动理论
