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1、最新导数理科压轴题集锦(题型丰富1.函数f?x-ln?1?x-ax的图象在x?1处的切线与直线x?2y?1?0平行 务实数a的值； 假设方程f?x-1?m?3x?在?2,4?上有两个不相等的实数根，务实数m的取值范围； 4设常数p1，数列求证：an?1an 20本小题总分值14分 f(x)-an?满足an?1?an?ln?p?an?n?N+，a1?lnp 1111?a， ?f(1)-a由题意知-a?-?a?1-3分 x?1222由1f(x)?ln(1?x)?x,?原方程为4ln(1?x)?x?m， 设g(x)?4ln(1?x)?x，得g(x)?43?x， ?1?1?x1?x?当3?x?4时g(
2、x)?0,当2?x?3时，g(x)?0,g(3)?0， g(x)在2，3上是增函数，在3,4上是减函数。?g(x)max?4ln4?3,又g(2)?4ln3?2,g(4)?4ln5?4. 由于g(2)?g(4)?2ln9e?0?g(2)?g(4). 25?a的取值范围是4ln5?4,4ln4?3).-9分 证明：由f(x)?ln(1?x)?x(x?1)有f(x)?当x0时，1?x?1?,f(0)?0, x?11?xf(x)?0,当?1?x?0时，f(x)?0,f(x)在(0,-)上是减 函?f(x)max?0,在(?1,-)上f(x)?0 f(x)在?1,0)增函数。?ln(1?x)?x又p?
3、an,?p?an?1-1 由an?1?an?ln(p?an)?ln(1?p?1?an),?an?1?an?p?1?an, 即an?1?p?1,当n?2时，an?1-an?ln(p?an)?lnp?(p?1)?0,即an?1?an 当n=1时，a2?a1?ln(p?lnp),由lnp?ln(1?(p?1)?p?1 ?a2?a1?ln(p?(p?1)?a1,结论成立 ?对n?N?,an?1?an -14分 2023届高三年级第一次四校联考数学评分标准(理科) 第3页共4页 2.a为常数，a?R，函数f(x)?x2?ax?lnx，g(x)?ex其中e是自然对数的底数 过坐标原点O作曲线y?f(x)的
4、切线，设切点为P(x0,y0)，求证：x0?1； 令F(x)?f(x)，假设函数F(x)在区间(0,1上是单调函数，求a的取值范围 g(x)解：If?(x)?2x?a?1x?0 x 2分 2x0?ax0?lnx01所以切线的斜率k?2x0?a?， ?x0x02整理得x0?lnx0?1?0. 4分 显然，x0?1是这个方程的解，又因为y?x2?lnx?1在(0,-)上是增函数， 所以方程x2?lnx?1?0有唯一实数解故x0?1 f(x)x?ax?lnx?，F?(x)?g(x)ex2 6分 ?x2?(2?a)x?a?exF(x)?1?lnxx 8分 设h(x)-x2?(2?a)x?a?111?l
5、nx，那么h?(x)-2x?2-2?a xxx易知h?(x)在(0,1上是减函数，从而h?(x)?h?(1)?2?a 10分 1当2?a?0，即a?2时，h?(x)?0，h(x)在区间(0,1)上是增函数 ?h(1)?0，?h(x)?0在(0,1上恒成立，即F?(x)?0在(0,1上恒成立 ?F(x)在区间(0,1上是减函数 所以，a?2满足题意 12分 2当2?a?0，即a?2时，设函数h?(x)的唯一零点为x0， 那么h(x)在(0,x0)上递增，在(x0,1)上递减. 又h(1)?0，h(x0)?0 又h(e?a)-e?2a?(2?a)e?a?a?ea?lne?a?0， h(x)在(0,
6、1)内有唯一一个零点x?， 当x?(0,x?)时，h(x)?0，当x?(x?,1)时，h(x)?0. 从而F(x)在(0,x?)递减，在(x?,1)递增，与在区间(0,1上是单调函数矛盾 a?2不合题意 综合12得，a?2 3.函数f(x)?1?lnx x 15分 11假设函数在区间(a,a?)其中a?0上存在极值，务实数a的取值范围； 22假如当x?1时，不等式f(x)?2k恒成立，务实数k的取值范围； x?13求证?(n?1)！-(n?1)?en?2(n?N?) 1?lnxlnx，x?0 ，那么f?(x)-， -1分 xx当0?x?1时，f?(x)?0；当x?1时，f?(x)?0 22解：
7、因为f(x)? 所以f(x)在0，1上单调递增；在(1,-)上单调递减， 所以函数f(x)在x?1处获得极大值 - -2分 1因为函数f(x)在区间(a,a?)其中a?0上存在极值， 2?a?11? 所以?1, 解得?a?1. -4分 2a-1-2k不等式f(x)?， x?1即为(x?1)(1?lnx)(x?1)(1?lnx)?k, 记g(x)?, xx所以g?(x)?(x?1)(1?lnx)?x?(x?1)(1?lnx)x?lnx?,-6分 x2x21令h(x)?x?lnx,那么h?(x)?1?，?x?1,?h?(x)?0. x ?h(x)在1,-)上单调递增，?h(x)min?h(1)?1
8、?0， 从而g?(x)?0 故g(x)在1,-)上也单调递增，?g(x)min?g(1)?2，所以k?2 -8分 2x?122由知：f(x)?恒成立，即lnx-1-1?, x?1x?1x?1x(n?1)?1? 令x?n(n?1)，那么lnn2， -10分 n(n?1) 所以 ln(1?2)?1?ln(2?3)?1?ln(3?4)?1?2, 2?32, 3?42, 1?2- - lnn(n?1)?1?2 n(n?1) 111叠加得：ln1?22?32-n2?(n?1)?n?2 -?n(n?1)1?22?3 ?n?2(1?分 11)?n?2-n?2-12n?1n?1那么1?22?32-n2?(n?
9、1)?en?2， 所以?(n?1)！-(n?1)?en?2(n?N?) -14 4.函数f(x)?x?212ax?ln(1?x)，其中a?R. 2假设x?2是f(x)的极值点，求a的值； 求f(x)的单调区间； 假设f(x)在0,-)上的最大值是0，求a的取值范围. 21.理本小题总分值12分 解：f?(x)?x(1?a?ax)1,x?(?1,-). 依题意，令f?(2)?0，解得 a?. 3x?11经检验，a?时，符合题意. -4分 3x解： 当a?0时，f?(x)?. x?1故f(x)的单调增区间是(0,-)；单调减区间是(?1,0). 1 当a?0时，令f?(x)?0，得x1?0，或x2
10、-1. a当0?a?1时，f(x)与f?(x)的情况如下： x f?(x) f(x) (?1,x1) ? x1 (x1,x2) x2 (x2,-) 0 f(x1) ? 0 f(x2) ? 11?1)；单调减区间是(?1,0)和(?1,-). aa当a?1时，f(x)的单调减区间是(?1,-). 所以，f(x)的单调增区间是(0,当a?1时，?1?x2?0，f(x)与f?(x)的情况如下： x (?1,x2) ? x2 (x2,x1) x1 (x1,-) f?(x) f(x) 0 f(x2) ? 0 f(x1) ? 1?1)和(0,-). a 当a?0时，f(x)的单调增区间是(0,-)；单调减
11、区间是(?1,0). 综上，当a?0时，f(x)的增区间是(0,-)，减区间是(?1,0)； 所以，f(x)的单调增区间是(?1,0)；单调减区间是(?1,1a11?1)，减区间是(?1,0)和(?1,-)； aa当a?1时，f(x)的减区间是(?1,-)； 11当a?1时，f(x)的增区间是(?1,0)；减区间是(?1,?1)和(0,-). aa当0?a?1时，f(x)的增区间是(0, -10分 由知 a?0时，f(x)在(0,-)上单调递增，由f(0)?0，知不合题意. 当0?a?1时，f(x)在(0,-)的最大值是f(?1)， 1a1a当a?1时，f(x)在(0,-)单调递减， 可得f(
12、x)在0,-)上的最大值是f(0)?0，符合题意. 所以，f(x)在0,-)上的最大值是0时，a的取值范围是1,-). -12分 由f(?1)?f(0)?0，知不合题意. x35. 函数f(x)?ln(2ax?1)-x2?2ax(a?R). 3 1假设x?2为f(x)的极值点，务实数a的值； 2假设y?f(x)在3,-)上为增函数，务实数a的取值范围； 1(1?x)3b?有实根，务实数b的最大值。 3当a-时,方程f(1?x)?23x22?x2ax?(1?4a)x?(4a?2)?2a-12?x?2x?2a?22解：1f(x)?2ax?12ax?1分 因为x?2为f(x)的极值点，所以f(2)?0 即2a?2a?0，解得a?0，又当a?0时，f(x)?x(x?2)，从而x?2为f(x)4a?1为的极值点成立。-2分 2因f(x)在区间?3,-?上为增函数，所以f(x)?22x?2ax?(1?4a)x?(4a?2)-?2ax?1?0在区间?3,-?上恒成立。-3分 当a?0时，f(x)?x(x?2)?0在区间?3,-?上恒成立，f(x)在区间?3,-?上为增函数，符合题意。-4分 当a?0时，由函数f(x)的定义域可知，必有2ax?1?0对x?3成立， 第 8 页 共 8 页
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