统计方法3 分布拟合

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1、统计方法 3 概率分布，参数估计和假设检验第一节 概率分布 常见的概率分布二项分布Binomialbino卡方分布Chisquarechi2指数分布ExponentialexpF分布Ff几何分布Geometricgeo止态分布Normalnorm泊松分布PoissonpoissT分布Tt均匀分布Uniformunif1.概率密度函数y=pdf(name,x,A)返回单参数分布name的在X处的概率密度值，A是参数。y=pdf(name,x,A,B)或y=pdf(name,x,A,B,C)返回两参数和三参数的概率密度。 也可以这样求表 概率密度函数 (pdf)函数名称函数说明调用格式normpd

2、f正态分布Y=normpdf (X, MU, SIGMA)chi2pdfX 2分布Y=chi2pdf (X, N)tpdft分布Y=tpdf (X, N)fpdfF分布Y=fpdf (X, Nl, N2)注意：Y=normpdf (X, MU, SIGMA) 的 SIGMA 是指标准差 b ,而非 b 2.2绘制概率密度图像例 x=-4:0.1:4;y=normpdf(x,0,1);plot(x,y)title(N(0,1)的概率密度曲线图)3分布函数表 累积分布函数 (cdf)函数名称函数说明调用格式normcdf正态分布P=normcdf (X, MU, SIGMA)chi2cdfX 2分

3、布P=chi2cdf (X, N)tcdft分布P=tcdf (X, N)fcdfF分布P=fcdf (X, Nl, N2)例 求服从标准正态分布的随机变量落在区间 2, 2上的概率.P=normcdf (-2, 2) ans = 0.0228 0.9772 P(2)-P(1)ans = 0.95454逆分布函数，求分位数表逆累积分布函数(icdf)函数名称函数说明调用格式norminv止态分布X=norminv (P, MU, SIGMA)chi2invX 2分布X=chi2inv (P, N)tinvt分布X=tinv (P, N)finvF分布X=finv (P, N1, N2)例 求分

4、位数(1)u0.9u_alpha=norminv(0.9,0,1) u_alpha = 1.2816(2) X 500.025X2_alpha=chi2inv(0.025,50) X2_alpha = 32.3574第二节 参数估计1. 点估计例 从某厂生产的滚珠中随机抽取10个，测得滚珠的直径(mm)如下：15.14，14.81，15.11，15.26，15.08，15.17，15.17，15.12，14.95，15.05，14.87若滚珠的直径服从正态分布N(卩,G2)，求参数卩Q的点估计和置信水平为90%区间估计。 x=15.14 14.81 15.11 15.26 15.08 15.1

5、7 15.17 15.12 14.95 15.05 14.87; muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(x,0.1)%muhat,sigmahat 返回参数的极大似然估计% muci,sigmaci 返回区间估计 muhat =15.0664sighat =0.1369muci =14.991515.1412sigmaci =0.10120.2181表 统计工具箱中的参数估计函数 (fit / like)函数名称函数说明调用格式unifit均匀分布数据的参数点估计和区间估计ahat,bhat,ACI,BCI= unifit(X,alpha)expfit指数分布

6、数据的参数点估计和区间估计muhat,muci = expfit(x,alpha)normfit正态分布数据的参数点估计和区间估计muhat,sigmahat,muci,sigmaci=normfit(X,alpha)binofit二项分布数据的参数点估计和区间估计phat,pci = binofit(x,n,alpha)poissfit泊松分布数据的参数点估计和区间估计lambdahat,lambdaci=poissfit(X,alpha)注binofit (x,n,alpha)根据试验成功的次数x和总的试验次数n,对中的p进行最大 似然估计，同时返回置信度为100(1-alpha)%的置信

7、区间pci第三节 假设检验例化肥厂用自动包装机包装化肥，某日测得9包化肥的质量（kg）如下：49.4 50.5 50.7 51.7 49.8 47.9 49.2 51.4 48.9 设每包化肥的质量服从正态分布，是否可认为每 包化肥的平均质量为50kg，取显著性水平0.05x=49.4 50.5 50.7 51.7 49.8 47.9 49.2 51.4 48.9; h,p,muci,stat = ttest（x,50,0.05）h =p =0.8961muci =48.994350.8945stat =tstat: -0.1348 df: 8 sd: 1.2360表 统计工具箱中的假设检验

8、（test / rank）函数名称函数说明调用格式止态 总体 的参 数检 验ztest单样本均值的z检验（总体服从止态分布）h,sig,ci,zval=ztest(x,mu0,sigma,alpha,tail)ttest单样本均值t检验（总体服从止态分布）h,sig,ci,tval = ttest(x,mu0,alpha,tail)ttest2双样本均值差t检验（两个总体均服从正态分布）h,sig,ci,tval = ttest2(x,y,alpha,tail)vartest总体均值未知时单个正态总体方差的2检验h,p,varci,stats=vartest(x,var0,alpha,tail

9、)vartest总体均值未知时两个正态总体方差的F检验h,p,varci,stats=vartest(x,y,alpha,tail)第四节 分布的拟合和检验 对于未知的总体的分布，我们可以利用一些拟合的方法进行探索。 1 经验分布函数可以利用样本数据构造一个分布函数，理论上可以证明它很接近于那个未知分布。这个分布函数就叫做经验分布函数。0F (x)半 fnkk=11x x(1)x x x(l)经验分布函数的图像式阶梯状的。Matlab 统计工具箱提供了 cdfplot 和 ecdf 函数，用来绘制样本经验函数图，可以把经 验分布函数图和某种理论分布函数图叠加，对比它们的区别。y = evrnd

10、(0,3,100,1);%产生参数为0,3的极值分布随机数cdfplot(y) hold onx = -20:0.1:10;f = evcdf(x,0,3);%参数为0,3的极值分布的理论分布函数 plot(x,f,m)2频率直方图将观测值按从小到大进行排序，划分为若干区间，统计各区间内得频率。在x轴上，以各区间为底，以频率为高，绘出频率直方图。频率直方图可以用来估计概率密度(或分布律)。Matlab 统计工具箱提供了 ecdf 和 ecdfhist 函数例 x = normrnd(10,1,25,1); %在参数为 10,1 的正态分布里随机抽样 f,y = ecdf(x);%计算经验分布

11、ecdfhis t(f,y);%画出频率直方图 hold on xx=8:0.1:13; yy=normpdf(xx,10,l);%参数为10, 1的正态分布的概率密度 plot(xx,yy,r-,LineWidth,2) hold off3.描述统计量 经验分布函数、频率分布图和频率直方图可以帮助我们了解随机变量的类型。当我们已 经了解到随机变量的分布类型后，该随机变量的分布一般就取决于一个或几个参数了。利用样本的描述统计量，可以更好的了解未知分布的情况。4分布的检验(1)正态概率图 用于正态分布的检验，是纵坐标经过变换之后的正态分布的分布函数图，在正态概率图 上正态分布的分布函数曲线是一条

12、直线。Matlab 统计工具箱提供了 normplot 函数绘制正态概率图。每一个观测样本对应图上 “+”，图上给出了一条红色的参考线，观测值应集中在这条线附近，偏离的越多，说明月不 服从正态分布。x = normrnd(10,1,25,1);normplot(x)O990.8 69 90.0.75O50.5.20.5 O0.2 1 o O0.0.O90.正态概率图是概率图的一种。利用 probplot 函数，可以绘出制定分布的概率图。 类似的还有qq图(分位数-分位数图)，qqplot(x,y)。 对于正态分布还可以利用偏度和峰度进行检验。( 2) x 2 拟合优度检验 也可以用更精细得方法

13、进行分布检验。Matlab可以利用拟合优度检验和柯尔莫哥罗夫-斯米尔诺夫检验等方法。下面介绍X2拟 合优度检验。用若干个小区间把样本观测数据分组，理论上每组包含5个以上的观测，(若不满足这nbins (O E)2个条件，可合并相邻的组)，计算X2统计量X 2二曳 i /，O是落在第i组的实际Eii=1i频数，E是落在第i组的理论频数，nbins为组数。理论证明该统计量服从x2分布。i 当统计量的观测值超过临界值时，在显著性水平下即可认为样本数据不服从指定分布 相应的 matlab 函数 h = chi2gof(x)检验一个样本向量x是否符合正态分布。原假设为符合正态分布。分布参数由x估计, 若

14、输出为0，在显著性水平0.05下接受原假设，符合正态分布。若输出为1，则拒绝原假设 Matlab 中也提供了对其他分布进行拟合优度检验的函数命令。x = normrnd(50,5,100,1);h,p = chi2gof(x)0.3183作业1. 求服从标准正态分布的随机变量落在区间2, 2上的概率.2. Matlab统计工具箱中的数据文件gas.mat.中提供了美国1993年一月份和二月 份的汽油平均价格（price1,price2分别是一，二月份的油价，单位为美分），它是 容量为 20的双样本.假设一月份油价的标准偏差未知，试检验一月份油价的均值 是否等于 115.3. 试用正态概率图、qq 图、偏度峰度检验下面这批数据是否来自正态分布0.054.295.226.106.936.9611.1111.7814.1816.1216.5319.4326.1526.5928.0635.4039.6440.6351.4356.7957.6264.9969.6378.7398.0798.1198.84114.16123.6124.220125.1133.1138.1145.12155.1156.4161.0203.2203.3210.420521270414.51228.6234.9251.24260.7272.8276.2300.5301.5306.5956956904