南京工业大学20232023学年第二学期《高等数学》试卷和参考答案

《南京工业大学20232023学年第二学期《高等数学》试卷和参考答案》由会员分享，可在线阅读，更多相关《南京工业大学20232023学年第二学期《高等数学》试卷和参考答案（8页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、南京工业大学2023-2023学年第二学期高等数学试卷和参考答案 - 教育文库 南京工业大学2023-2023学年第二学期期末试卷及解答 一.填空题(每题3分, 总分值15分) 1. 过直线L:x?1y?2z?2-且垂直于平面3x?2y?z?5的平面方程是2?32_ 【解】应填：x?8y?13z?9?0 直线L的方向向量s?2,?3,2平面的法向量n1?3,2,?1，设所求平面的法向量为n，由题意知n?s且n?n1，故可取 ijkn?s?n1?2?32?1,8,13， 32?1由条件知，所求平面过点P0(1,?2,2)于是所求平面方程为 ， ?(x?1)?8(y?2)?13(z?2)?0， 即

2、 x?8y?13z?9?0 2. 设x?2xy?y?ze?1，那么dz【解】应填：?2dx?dy 由x2?2xy?y?zez?1，两边求全微分，得 2z(0,1)? 2xdx?2ydx?2xdy?dy?(1?z)ezdz?0， 当x?0,y?1时，代入原方程得z?0， 所以 dz (0,1)-2dx?dy 3. 椭圆抛物面?：z?2x?y在点P0(1,?1,3)处的法线方程是_. 【解】应填：22x?1y?1z?3-. 4?2?1曲面?在点P0(1,?1,3)处的法向量可取为 1 n-4x,2y,?1?(1,?1,3)-4,?2,?1?， 于是曲面?在点P0(1,?1,3)处的法线方程为 x?

3、1y?1z?4-2?3?1. 4. 曲面z?x2?y2与z?x2?y2所围立体的体积为 【解】应填：?6 V-dv?2?0d?1r-0rdr?r2dz?6 5. 设L为上半圆周y?1?x2，那么曲线积分-x2L?xy?y2?ds=_【解】应填：? 由对称性，代入技巧及几何意义可得 ?2L?x?xy?y2?ds-Lds?0- 二.选择题(每题3分, 总分值15分) 1方程y-?3y-2y?1?2x?3ex的特解形式为 (A)(ax?b)ex (B) (ax?b)xex (C) ax?b?cex (D) ax?b?cxex 【解】选D 2.设un1n?(?1)sinn，那么级数 A-?u2n与?u

4、n都收敛 Bn?1n?1?u2n与n?1?un都发散n?1C-?u2n收敛，而n发散 Du2n发散，而n收敛 n?1?un?1?n?1?un?1【解】选C 2 3二元函数f(x,y)的两个偏导数fx(x,y)，fy(x,y)在点P0(x0,y0)处都连续是f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分的 (A) 充分条件 (B) 必要条件 (C) 充要条件 (D) 既非充分也非必要条件 【解】假设fx(x,y)，fy(x,y)在点P0(x0,y0)都连续，那么f(x,y)在点P0(x0,y0)处可微分， 选(A) 4. ?10dx?2x1xy1?y3dy? A 12?2?1 B ?13?2?1 C

5、?112 2 D32【解】 原积分? ?dy?01y011y2dy1?dx-021?y331?y3xy?2?1 选B -x2-?x?05. 设f(x)-，那么周期为2?的函数f(x)的傅立叶级数在x?2?处?x-0?x-收敛于 A-2 B- C0 D? 2【解】选(A) 三. (10分) 设z?f(xy,xy)?g，其中f有二阶连续偏导数，g有二阶导yx?2z数，求 ?x?y【解】根据复合函数求偏导公式得 ?z1y?f1-y?f2-?g-(?2), ?xyx3 ?2z-?z-?1y-f1-y?f2-?g-(?2)-x?y?y-x-y?yx?x11xy1?f1-yf11-x?f12-?(?2)?

6、2f2-f21-x?f22-?(?2)?g-?3?g-2yyyyxx1xy1?f1-xyf11-?2f2-3f22-?3g-?2g?yyxx x2四. (10分) 求z?f(x,y)?x?y在闭区域D：?y2?1上的最大值和最小值 422【解】在D的内部， ?fx-2x?0?(0,0)为驻点，且f(0,0)?0 -f-2y?0?y在D的边界上， x2x25x22222?y?1?y?1-z?x?y-1由444(?2?x?2) dz5x-0?x?0，此时，y-1,，那么有f(0,?1)-1,dx2比拟上述函数值知， f(?2,0)?4 函数z?f(x,y)?x?y在D上的最大值为4,最小值为-1

7、五. (10分) 求微分方程y-?22y-xex的通解. x1p?xex， x【解】不显含y，故令y-p,那么y-?p?，代入原方程得p-利用通解公式求得通解为 p?x(ex?C1)， 积分得原方程通解为 1y?(x?1)ex?C1x2?C2 2 六. (12分)试确定可导函数f(x)，使在右半平面内，y2?f(x)dx?xf(x)dy为某函数u(x,y)的全微分,其中f(1)?2； 求u(x,y)； 【解】P?y2?f(x)，Q?xf(x) 4 因为y2?f(x)dx?xf(x)dy是函数u(x,y)的全微分，所以有 即 ?Q?P， -x?yf(x)?xf?(x)?2?f(x)， 故 xf?

8、(x)?2f(x)?2 上述微分方程的通解为 f(x)?1?所以 C.由f(1)?2得C?1, x21 x2f(x)?1? 在右半平面内取(x0,y0)?(1,0)，那么 11u(x,y)-P(x,0)dx-Q(x,y)dy-0(x?)dy?y(x?) 10xxxyy 七. (12分) 求幂级数-n(n?1)xn?1?n的收敛域及和函数 【解】易求得其收敛域为(?1,1)，令 S(x)-n(n?1)x?x?n(n?1)xnn?1n?1?n?1?x?S1(x)， 其中 S1(x)-n(n?1)xn?1， n?1-两边积分 ?再积分 x0S1(x)dx-?n(n?1)xn?10?xn?1dx-(n

9、?1)xn， n?1?(?0xx0S1(x)dx)dx-?(n?1)xdx-xnn?10?x?n?1n?1x2 ?1?x因此 x22S1(x)?-?， 1?x(1?x)3故原级数的和 S(x)? 2x，x?(?1,1) (1?x)3八. (12分) 计算积分I-?(y?z)dzdx?(x?2z)dxdy?，其中?是抛物面z?x2?y2(0?z?1)，取下侧 5 【解】补S0:z=1(x2+y2 1),取上侧, 设?与?0围成空间区域?, ?及?0在xOy平面上的投影区域Dxy:x?y?1. 由Gauss公式， I?22-?0-(y?z)dzdx?(x?2z)dxdy-?(y?z)dzdx?(x

10、?2z)dxdy ?0-?(y?z)?(x?2z)dv-?(y?z)dzdx?(x?2z)dxdy ?y?z?0?0?3-?dv-?(y?z)dzdx?(x?2z)dxdy. ?因为?0垂直于zOx平面，?0在zOx平面上的投影区域面积为零， 所以 -(y?z)dzdx?0. ?0I?3-?2Dxy1x?y2dzdxdy-?x?2(x2?y2)dxdy Dxy2?1-?(3?5x2?5y2)dxdy-d-(3?5r2)rdr?Dxy00?.2 九. (4分) 设函数?(y)具有连续导数，在围绕原点的任意分段光滑简单闭曲线L上，曲线积分-(y)dx?2xydy2x?y24L的值恒为同一常数证明：对右半平面x?0内的任意分段光滑简单闭曲线C，有-(y)dx?2xydy2x?y24C?0； 【证明】将C分解为：C?l1?l2，另作一条曲线l3围绕原点且与C相接，那么 -(y)dx?2xydy2x?y24C-?(y)dx?2xydy2x2?y4l1?l3-?(y)dx?2xydy2x?y24l2?l3?0 6 第 8 页 共 8 页