2023年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案

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1、2023年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案 - 教育文库 2023年全国硕士研究生入学统一考试 数学三试题解析 一、填空题此题共5小题，每题3分，总分值15分把答案填在题中横线上 ?1设消费函数为Q?ALK?，其中Q是产出量，L是劳动投入量，K是资本投入量，1【详解】解析：当Q?1时,有K?AL,于是K关于L的弹性为【详解】解析：Wt?(1?0.2)Wt?1?2?1.2Wt?1?2. ?k?13设矩阵A-?1-1【答案】?3 【详解】此题涉及到的主要知识点： 假设A为n阶方阵，且r(A)?n,那么A?0，反之也成立。 解析：方法1：由题设r(A)?3,知必有 kA?111111第2,

2、3,4列加到第1列k+3111111110010k?00k?1 1kk?3k11kk?31k111k1111?(k?3)1k11111kk?311k0k?100第1行?-1加到第2,3,4行(k?3)111k=(k?3)(k?1)3?0,解得 k?1或k-3.显然k?1时r(A)?1,不符合题意,因此一定有k-3. 方法2：初等变换.不改变矩阵的秩，对A作初等变换有 ?k?1A-?1-11k1111k11-k?1?k1-1-1?k-k-1?k111-k?3111-0?k?100?k?100- 0k?10-00k?10-00k?1-000k?1?故知k-3时，r(A)?3. 4设随机变量X和Y的

3、数学期望分别为?2和2，方差分别为1和4，而相关系数为?0.5，那么根据切比雪夫不等式PX?Y?6?_ 【答案】【详解】此题涉及到的主要知识点： 切比雪夫不等式：PX?EX-?DX?2或PX?EX-?1?DX?2 解析：令Z?X?Y, 那么E(Z)?E(X?Y)?E(X)?E(Y)-2?2?0, D(Z)?D(X?Y)?D(X)?D(Y)?2Cov(X,Y) ?D(X)?D(Y)?2?XYD(X)D(Y) ?1?4?2?(?0.5)?1?4?3, 于是有PX?Y?6?PZ?E(Z)?6-?D(Z)1?. 26125设总体X服从正态分布N(0,22)，而X1,X2,?,X15是来自总体X的简单随

4、机样本，【详解】此题涉及到的主要知识点： ?分布：假设随机变量Xi(i?1,2,?,n)均服从标准正态分布，且互相独立，那么22X12?X2-?Xn?2(n)； 2?2(m)F分布：假设X?2(m),Y?2(n)且X与Y互相独立，那么?(n)2mF(m,n)； n解析：因为XiN(0,22)i?1,2,22,15.于是2Xi?02N(0,1),从而有 2?X1-?2?2?X-?10-2-X-(10),?11-?2-X-?15-2-2(5), 而且由样本的独立性可知， ?X1-?2?2?X-?10-2?2?X-2(10)与?11-?2?2?X-?15-2?2?2(5)互相独立. 2-X1?2X?

5、10-/102222-?X1-X10-?故Y-22222?X11-X15-?X15-?X11-?/522-F(10,5). 故Y服从第一个自由度为10，第二个自由度为5的F分布. 二、选择题此题共5小题，每题3分，总分值15分每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内 1设f(x)的导数在x?a处连续，又limx?af?(x)-1，那么 x?aAx?a是f(x)的极小值点 Bx?a是f(x)的极大值点 C(a,f(a)是曲线y?f(x)的拐点 Dx?a不是f(x)的极值点，(a,f(a)也不是曲线y?f(x)的拐点 【答案】B 【详解】此题涉及到的主要知识点：

6、 假设f?(x0)?0，那么(x0,f(x0)可能是极值点；又假设f-(x0)?0，为极大值点；f-(x0)?0，为极限值点。 解析：方法1：由limf(x)-1,知limf(x)?0,即f?(a)?0,于是有 x?ax?ax?af(x)?f(a)f(x)fa)?lim?lim-1, x?ax?ax?ax?a即f?(a)?0 ,f-(a)-1?0,故x?a是f(x)的极大值点, 因此,正确选项为(B). 方法2：由limx?af(x)-1,；及保号性定理知，存在x?a的去心邻域，在此去心邻域x?a内f(x)?0.于是推知，在此去心邻域内当x?a时f?(x)?0；当x?a时f?(x)?0.又由x

7、?a条件知f(x)在x?a处连续，由断定极值的第一充分条件知，f(a)为f(x)的极大值. 因此，选 (B). ?12?2(x?1),0?x?1,x2设g(x)-f(u)du，其中f(x)-那么g(x)在区间(0,2)内01?(x?1),1?x?2,?3 A无界 【答案】D B递减 C不连续 D连续 【详解】此题涉及到的主要知识点： 有限个第一类连续点，不影响变限积分函数的连续性。 12131(x?1)dx?x?x, ?0262x1x12122 当1?x?2时,有g(x)-(x?1)dx-(x?1)dx-?x?1?, 021336解析：当0?x?1时,有 g(x)?x?131x?x,-62即g(x)-?2?1?x?1?2,-36所以：limg(x)?lim(x3-?x?1x?10?x?1 1?x?21222122 x)?，limg(x)?lim(?(x?1)-?x?1x?12336316显然g(x)在区间0,2内连续, 所以,应选 (D). 【详解】此题涉及到的主要知识点： 初等矩阵与矩阵A相乘，实际上是遵循“左行右列”的原那么，对矩阵A进展相应的行列变换。 3列互换，再1、4列互换，可得B，根据初等阵的性质，有B?AP2P解析：将A的2、1 两边求逆，且P1?P1,P2?1?1?1?1?1?P?PP?P2，得B?1-AP2P?11P2A12A. ?1第 5 页 共 5 页