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1、第七章第七章 应力和应变分析应力和应变分析 强度理论强度理论2基本要求基本要求:1.1.熟悉应力状态的概念；熟悉应力状态的概念；2.2.掌握用解析法和图解法计算二向应力状态下斜截面的应力、主掌握用解析法和图解法计算二向应力状态下斜截面的应力、主应力及最大最小切应力；应力及最大最小切应力；3.3.了解三向应力状态，会计算最大切应力；了解三向应力状态，会计算最大切应力；4.4.了解广义胡克定律；了解广义胡克定律；5.5.会应用四种强度理论进行复杂应力状态下构件的强度计算。会应用四种强度理论进行复杂应力状态下构件的强度计算。重点：重点：1.1.解析法和图解法计算二向应力状态下斜截面的应力、主应力；解

2、析法和图解法计算二向应力状态下斜截面的应力、主应力；2.2.四种强度理论及其应用。四种强度理论及其应用。难点：难点：1.1.应力状态的概念；应力状态的概念；2.2.解析法和图解法；解析法和图解法；3.3.强度理论的讨论。强度理论的讨论。课时：课时：8 8学时学时37.1 7.1 应力状态概述应力状态概述7.2 7.2 二向和三向应力状态的实例二向和三向应力状态的实例7.3 7.3 二向应力状态分析二向应力状态分析解析法解析法7.4 7.4 二向应力状态分析一图解法二向应力状态分析一图解法7.5 7.5 三向应力状态三向应力状态7.8 7.8 广义胡克定律广义胡克定律7.9 7.9 复杂应力状态

3、的应变能密度复杂应力状态的应变能密度7.1O 7.1O 强度理论概述强度理论概述7.11 7.11 四种常用强度理论四种常用强度理论4一、一点处的应力状态一、一点处的应力状态二、原始单元体二、原始单元体三、主单元体、主应力三、主单元体、主应力5 在前面讨论扭转和弯曲时，我们知道，在前面讨论扭转和弯曲时，我们知道，应力在横截面上各点的分布是不相同的。应力在横截面上各点的分布是不相同的。因此我们有必要研究其上每一点的情况。因此我们有必要研究其上每一点的情况。通过受力构件内一点的应力随着所取通过受力构件内一点的应力随着所取截面方位的不同而变化。所以有必要研究截面方位的不同而变化。所以有必要研究过一点

4、的所有截面上的应力情况。过一点的所有截面上的应力情况。6等直杆拉伸时，设轴向拉力为等直杆拉伸时，设轴向拉力为P P，轴横截面的面积为，轴横截面的面积为A A。K-KK-K面的正应力面的正应力和切应力和切应力:sin221cos 2 构件受力时，通过构件内任一点所作截面上的应力，构件受力时，通过构件内任一点所作截面上的应力，随着截面的方位改变而改变。随着截面的方位改变而改变。因此，为了解决构件的强度问因此，为了解决构件的强度问题我们必须研究杆件受力后，通过某点不同方位截面的应力题我们必须研究杆件受力后，通过某点不同方位截面的应力变化规律。我们称，变化规律。我们称，构件受力后，通过其内某一点的各截

5、面构件受力后，通过其内某一点的各截面的在该点处的应力情况称为该点处的应力状态。的在该点处的应力情况称为该点处的应力状态。横截面横截面B-BB-B上的应力为上的应力为:AP7 1.1.判断受力构件上哪一点、沿哪个方向的应力最大？哪判断受力构件上哪一点、沿哪个方向的应力最大？哪个点、哪个方向最危险？从而解决构件在复杂应力状态下的个点、哪个方向最危险？从而解决构件在复杂应力状态下的强度计算提供条件，解决其强度问题。强度计算提供条件，解决其强度问题。2.2.解释变形构件的变形现象和破坏原因。解释变形构件的变形现象和破坏原因。3.3.在弹性力学、塑性力学和断裂力学等学科的研究中都要在弹性力学、塑性力学和

6、断裂力学等学科的研究中都要广泛用到应力状态理论。广泛用到应力状态理论。要研究一点的应力状态，要研究一点的应力状态，通常要围绕该点截取微小正通常要围绕该点截取微小正六面体六面体单元体单元体。为什么要研究一点的应力状态为什么要研究一点的应力状态?M8 如在如在M M点周围按图点周围按图(c)(c)的方的方式截取单元体，使其和纸面垂式截取单元体，使其和纸面垂直的四个侧面既不与杆件轴线直的四个侧面既不与杆件轴线平行，又不与轴线垂直，均为平行，又不与轴线垂直，均为杆件的斜截面，则四个侧面上杆件的斜截面，则四个侧面上既有正应力，又有切应力。既有正应力，又有切应力。原始单元体原始单元体是指其各侧面上的应力均

7、已知的单元体。是指其各侧面上的应力均已知的单元体。求出求出原始单元体原始单元体AFNsin2 21cos sin2 21cos 22 以直杆拉伸为例，围以直杆拉伸为例，围绕绕M M点取一单元体，则其点取一单元体，则其应力如图应力如图(a)(a)、(b(b）任一单元体任一单元体9 又如矩形截面悬臂梁，在梁上边缘又如矩形截面悬臂梁，在梁上边缘A A、B B、C C点处截点处截取单元体，其原始单元体如图：取单元体，其原始单元体如图：C CbISFz*S 应该指出：应该指出：1.1.认为单元体各面上的应认为单元体各面上的应力均匀分布；力均匀分布；2.2.认为单元体平行面上应认为单元体平行面上应力的大小

8、和性质都是一样的，力的大小和性质都是一样的，任意一对平行侧面上的应力代任意一对平行侧面上的应力代表着通过所研究的点与侧面平表着通过所研究的点与侧面平行的面上的应力。行的面上的应力。3.3.单元体处于平衡状态。单元体处于平衡状态。借助于截面法和静力平衡条件，借助于截面法和静力平衡条件，可求出单元体任何斜截面上的可求出单元体任何斜截面上的应力，从而确定点的应力状态，应力，从而确定点的应力状态，这是研究一点处应力状态的基这是研究一点处应力状态的基本方法。本方法。M M图图F FS S图图zIMybISFz*S10三个主应力皆不为零时，称三个主应力皆不为零时，称三向应力状态或空间应力状态三向应力状态或

9、空间应力状态 ；三个主应力中有二个不为零三个主应力中有二个不为零,称称二向应力状态或平面应力状态二向应力状态或平面应力状态 ；三个主应力中只有一个不为零，称三个主应力中只有一个不为零，称单向应力状态单向应力状态。单向应力状态称为简单应力状态，二向应力状态和三向应力单向应力状态称为简单应力状态，二向应力状态和三向应力状态统称为复杂应力状态。状态统称为复杂应力状态。有些情况，单元体上的各侧面都无切应力，像这种切应力有些情况，单元体上的各侧面都无切应力，像这种切应力等于零的面称为等于零的面称为主平面主平面。主平面上的正应力称为。主平面上的正应力称为主应力主应力。主平。主平面的法线方向称为面的法线方向

10、称为主方向主方向。三对相互垂直的面都是主平面的单。三对相互垂直的面都是主平面的单元体称为元体称为主单元体主单元体。通过受力构件的任意点皆可找到三个相互垂直的主平面，通过受力构件的任意点皆可找到三个相互垂直的主平面，因而每一点都有三个主应力。通常用因而每一点都有三个主应力。通常用1、2、3代表该点的代表该点的三个主应力，并以三个主应力，并以1代表代数值最大的主应力，代表代数值最大的主应力，3代表代数代表代数值最小的主应力，即值最小的主应力，即123。11一、二向应力状态的实例一、二向应力状态的实例研究锅炉或其他圆筒形容器(薄壁圆筒)的应力状态。若封闭薄壁圆筒所受内压力为p，则沿圆筒轴线作用于筒底

11、的总压力为F4DpF2（1）用横截面截取圆筒右部分为研究对象,F力作用下,计算横截面上应力,属于轴向拉伸问题。4pDD4DpAF2lFN（2）用相距为l的两个横截面和包含直径的纵向平面，从圆筒中截取一部分(图7.2c)。若在筒壁的纵向截面上应力为”，则内力为12sindDpl2plDdsinDpl02022 pDllpDlFN2pD dDl2dDpl2微分面积上，压力为在y方向的投影为积分求出上述投影总和为 作用的截面就是直杆轴向拉伸的横截面，没有切应力。又因内压力是轴对称载荷，所以在”作用的纵向截面上也没有切应力。在单元体ABCD的第三个方向上，有作用于内壁的内压力p和作用于外壁的大气压力，

12、它们都远小于和”，可以认为等于零，这样，”和皆为主应力。该状态为二向应力状态。由平衡方程Fy=0，得截出部分在纵向平面上的投影面积lD与p的乘积等于内压力的合力。13二、三向应力状态的实例二、三向应力状态的实例 在滚珠与外圈的接触面上，有接触应力3。由于3的作用，单元体将向周围膨胀，于是引起周围材料对它的约束应力2和1。所取单元体的三个相互垂直的面皆为主平面，且三个主应力皆不等于零，于是得到三向应力状态。在滚珠轴承中，接触点A处(图7.3a)，以垂直和平行于压力F的平面截取单元体，如图7.3b所示。与此相似，桥式起重机大梁两端的滚动轮与轨道的接触处，火车车轮与钢轨的接触处，也都是三向应力状态。

13、14MPa4pD7510410133MPa2pD15010210133 0 ,MPa ,MPa321 75150例例7.1 由Q235钢制成的蒸汽锅炉。壁厚=10mm，内径D=1m(图7.2)。蒸汽压力p=3MPa。试计算锅炉壁内任意点处的三个主应力。按照关于主应力记号的规定，解：由公式(7.1)和(7.2)，得1542DpF DFN0 FFN4pD0,321例例7.2 圆球形容器(图7.4a)的壁厚为，内径为D，内压为p。试求容器壁内的应力。容器截面上的内力为由平衡方程由容器的对称性，包含直径的任意截面上皆无切应力，且正应力都等于由上式算出的(图74c)。与相比，如再省略半径方向的应力，三个

14、主应力将是这也是一个二向应力状态二向应力状态。解：解：用包含直径的平面把容器分成两个半球，其一如图7.4b所示。半球上内压力的合力F16x xxyxyy yyxyxx xy y应力所在平面的法线方向应力所在平面的法线方向应力的方向应力的方向x x 研究应力状态的方法有解析法和图解法两种。本节用解研究应力状态的方法有解析法和图解法两种。本节用解析法讨论二向应力状态下，在已知原始单元体后，如何确定析法讨论二向应力状态下，在已知原始单元体后，如何确定过该点的其它任一截面上的应力，并确定主应力和主平面。过该点的其它任一截面上的应力，并确定主应力和主平面。设一原始单元体如图示，其上作用着已知的应力，设一

15、原始单元体如图示，其上作用着已知的应力，x x面面上的正应力和切应力上的正应力和切应力x x 和和xyxy，y y面上的正应力和切应力面上的正应力和切应力y y 和和yxyx(yxyx-xyxy)。应力的符号规定为：应力的符号规定为：正应力以拉应力为正、压应力为负；切应力对单元体内正应力以拉应力为正、压应力为负；切应力对单元体内任意点的矩顺时针转向时为正；反之为负。任意点的矩顺时针转向时为正；反之为负。应力所在平面的法线方应力所在平面的法线方向的方向，即其方向向的方向，即其方向17 设设x x 、y y、xyxy和和yxyx已知，取任意斜截面已知，取任意斜截面efef的方位角的方位角00，用截

16、面法求，用截面法求efef面上的正应力面上的正应力和切应力和切应力。一、斜截面上的应力一、斜截面上的应力 1.1.假想沿截面假想沿截面efef把单元体分成二部分，研究三棱柱把单元体分成二部分，研究三棱柱aefaef部部分的平衡。设分的平衡。设efef面的面积为面的面积为dAdA，则，则afaf面和面和aeae面的面积应分面的面积应分别是别是dAsindAsin和和dAcosdAcos。2 2列平衡方程：列平衡方程：0F 0Ftn0sindAsin-cosdAsinsindAcos-cosdAcosdA 0insdAsin-cosdAsincosdAcos-sindAcosdA yxyxxyyy

17、xxxy1822xyyxxy2y2xsin-coscos)sin-(cossin2-sincos 2cos2-1sin 2cos21cos223.3.根据切应力互等定理，根据切应力互等定理，xyxyyxyx得：得：4.4.利用三角关系利用三角关系sin2 cos2sin2sin-2cos2-2xyyxyx2cos2sin2-xyyx简化上列二个平衡方程，最后得：简化上列二个平衡方程，最后得：可以求出方位角可以求出方位角为任意值的斜截面为任意值的斜截面efef上的应力。上的应力。192sin2cos2-2xyyxyx2cos-2sin2-xyyx-yx 互相垂直的截面上正应力之和为一常数，切应力

18、大互相垂直的截面上正应力之和为一常数，切应力大小相等、方向相反。小相等、方向相反。现在我们来看一下两个互相垂直截面上应力的关系。现在我们来看一下两个互相垂直截面上应力的关系。令令90900 0200dd02cos2sin2-2dd0 xy0yxyxxy0-2-tg22xy2yxyxminmax2-2计算出的max和min与0，按123排序在切应力等于零的平面上，在切应力等于零的平面上，正应力为最大值或最小值。正应力为最大值或最小值。求主应力求主应力maxmax和和minmin。并确定主平面的位置。并确定主平面的位置。满足上式的0值必有两个0和0，它们相差900，确定两个互相垂直的平面，其中一个

19、是最大正应力所在平面，另一个是最小正应力所在的平面。求得最大及最小的正应力为：此时此时=0 =0 若=0时，21222-0 0 0和和0 0中必有一个的绝对值小于中必有一个的绝对值小于/4 /4 为了判断max和min与0和0的对应关系，由对0求二阶导数，可得出：约定约定xy，则，则40的角度对应的角度对应max。220dd02sin2-2cos-dd1xy1yx1xyyx12-tg2若若=1 1时，能使导数时，能使导数由此得：由此得：2xy2yxminmax2-10tg21-tg24 22tg20101，可以解出两个角可以解出两个角度度1 1，它们相差，它们相差90900 0，从而确定两个相

20、互垂从而确定两个相互垂直的平面，分别作用直的平面，分别作用着最大和最小切应力。着最大和最小切应力。即最大和最小切应力所在平面与主平面的的夹角为即最大和最小切应力所在平面与主平面的的夹角为45450 0。三、最大和最小切应力三、最大和最小切应力求得切应力的最大和最小值是：求得切应力的最大和最小值是：比较比较0 0和和1 1：2380.075-2550-2-2-tg2yxxy0MPa89-MPa3940-75-2575-minmax222225400MPa25MPax75MP a33110 例例7.3 单元体的应力状态如图7.6所示。试求主应力并确定主平面的方位。解：解：按应力的符号规则，选定x=

21、25 MPa，y=75MPa，xy=40Mpa，20=38.66或218.66 00=19.33或109.330 xy，0=19.330对应max所在一主平面 139MPa，20，389MPa24例例7.4 7.4 讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受讨论圆轴扭转时的应力状态，并分析铸铁试件受扭时的破坏现象。扭时的破坏现象。nnWM 在圆轴的最外层M点，取出单元体ABCD，单元体各面上的应力如图所示。这时，x=y=0，xy=2xy2yxyxminmax2-2yxxy0-2-tg2此时为纯剪切应力状态。此时为纯剪切应力状态。所以 20=-900或-2700 ,0=-450或-1350解解

22、圆轴扭转时，在横截面的边缘处切应力最大，即为：x xy yC CA AB BD D3 33 31 11 145450 0代人公式得：xy，0=-450对应max，0=1350对应min。1max，20，3min 圆截面铸铁试件扭转时，表面各点圆截面铸铁试件扭转时，表面各点max所在的主平面联成所在的主平面联成倾角为倾角为450的螺旋面，由于铸铁抗拉强度较低，试件将沿这的螺旋面，由于铸铁抗拉强度较低，试件将沿这一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。一螺旋面因拉伸而发生断裂破坏。25x.x.y y0 0=27.5=27.50 0对应对应maxmax所在一主平面，所在一主平面，0 0=-62.5=-62.5

23、 0 0对应对应minmin所在的主平面。所在的主平面。x xy yA AMPa96-MPa2650-0-70-070-minmax2222-1.4290-70-502-2-tg2yxxy0M M图图例例7.5 7.5 已知：一横力弯曲下的梁，已知：一横力弯曲下的梁，-70MPa-70MPa，50Mpa50Mpa求：主应力及主平面的方位，讨论同一横截面上其它点处的应求：主应力及主平面的方位，讨论同一横截面上其它点处的应力状态。力状态。解解 x x=0=0，y y=70MPa,xyxy=-50Mpa=-50MpaA A0 0=-62.5=-62.50 0或或27.527.50 01 126MPa

24、26MPa，2 20 0，3 396MPa96MPa其它点处的应力状态都可用相同方法进行分析。其它点处的应力状态都可用相同方法进行分析。FS图图3311A27.527.50 0261.1.求原始单元体。求出求原始单元体。求出x x、y y 、xyxy；2.2.代入公式求斜截面上的应力代入公式求斜截面上的应力和和 ；3.3.求主应力：求主应力：代入公式求代入公式求maxmax和和minmin,排序确定排序确定1 1、2 2和和3 3 ，求求tg2tg20 0确定主平面对应关系；确定主平面对应关系；4.4.求最大最小切应力：代入公式求求最大最小切应力：代入公式求maxmax和和minmin 。27

25、2sin-2cos2-2xyyxyx2cos2sin2-xyyx2cos2sin2-0-xyyx2sin-2cos2-2-xyyxyx2xy2yx22yx2-2-一、应力圆一、应力圆和均随参考变量变化，这说明和之间存在一定的函数关系。平方并相加平方并相加圆的方程圆的方程 该圆上任意点的纵横坐标分别代表单元体相应截面上的切应力和正应力，这个圆称为应力圆或莫尔圆。应力圆或莫尔圆。7.4 7.4 二向应力状态分析一图解法二向应力状态分析一图解法28,OAxxyAD,OByyxDB 点点D D的坐标为的坐标为(x x,xyxy),),表示表示x x面上应力情况；面上应力情况；4.4.连接连接DDDD交

26、交x x轴于轴于C C点，以点，以C C点为圆心，点为圆心，CDCD为半为半径画圆，即为应力圆。径画圆，即为应力圆。2.2.量取量取1.1.画出画出OO直角坐标系直角坐标系,选取适当的比例尺选取适当的比例尺；3.3.量量取取 点点DD的坐标为的坐标为(y y,yxyx),),表示表示y y面上应力情况；面上应力情况；22-BCOBOC 2-2OB-OABCCAyxyxyyx222xy2xyCECDCAAD2 检验：检验：29x xx x yxyxy yxyxyy y2 21 10 0A AD Dx xxyxyC CDDB By yyxyxB B1 12 2G G1 1G G2 2maxmaxm

27、inminA A1 11 1O OE(E(,)F F22220 0302DCEFE,OF 求与求与x x轴成轴成角的角的efef面上的应力。可从应力圆上面上的应力。可从应力圆上D D点起，逆时点起，逆时针方向沿圆转针方向沿圆转2()2()到到E E点，则点，则E E点的坐标点的坐标 就就代表代表efef面上的应力。面上的应力。二、斜截面上的应力二、斜截面上的应力sin2-cos22-2sin2AD-cos2CAOCsin2sin2CD-cos2cos2CDOC22cosCEOCOFxyyxyx000cos2sin22-sin2CAcos2ADsin2cos2CDcos2sin2CD22sinC

28、EFExyyx000 FE OF31 结论：结论：1.1.应力圆上任一点代表着单元体上某一截面的应力；应力圆上任一点代表着单元体上某一截面的应力；2.2.应力圆上两点沿圆弧所对的圆心角是单元体上这两点应力圆上两点沿圆弧所对的圆心角是单元体上这两点所对应的两截面夹角的所对应的两截面夹角的2 2倍，且转向相同。倍，且转向相同。3 3画应力圆的步骤：确定两点的坐标，如以画应力圆的步骤：确定两点的坐标，如以x x、y y面为面为法线平面的应力，法线平面的应力，D D（x x，xyxy），），DD（y y,yxyx）,以以DDDD与横轴的交点与横轴的交点C C为圆心，以为圆心，以CDCD为半径画圆。为半

29、径画圆。320,OB,OA312112xy2yxyx1122xy2yxyx1112-2CA-OCOB2-2CAOCOAyxxy0-2-CAAD-tg2应力圆上应力圆上A A1 1及及B B1 1两点的横坐标代表主平面上的主应力两点的横坐标代表主平面上的主应力，则有：，则有：三、主应力三、主应力012DCA022CAD确定主平面的方位角确定主平面的方位角:在应力圆上由在应力圆上由D D点顺时针转角点顺时针转角 到到A A1 1点，点，0 0角就角就是是1 1所在的主平面的法线。同样，由所在的主平面的法线。同样，由DD点顺时针转角点顺时针转角 到到B B1 1点，量取点，量取0 0角就是角就是2

30、2所在的另一主平面的法线。所在的另一主平面的法线。在应力圆上由在应力圆上由A A1 1到到B B1 1所对的圆心角为所对的圆心角为1801800 0，在单元体中，在单元体中，1 1和和2 2所在主平面的法线之间的夹角为所在主平面的法线之间的夹角为90900 0。验证：验证：332xy2yx2min2xy2yx1max2-CD-CG2-CDCG2-21minmax 应力圆中应力圆中G G1 1和和G G2 2分别代表最大和最小切应力以及它们所在分别代表最大和最小切应力以及它们所在平面的方位角。平面的方位角。因为因为maxmax和和minmin的绝对值都等于应力圆的半径的绝对值都等于应力圆的半径

31、在应力圆上由在应力圆上由A A1 1到到G G1 1所对的圆心角为所对的圆心角为90900 0，则在单元体中，则在单元体中，主应力主应力maxmax所在主平面法线与所在主平面法线与maxmax所在平面法线的夹角为所在平面法线的夹角为45450 0，minmin与与minmin所在平面法线的夹角为所在平面法线的夹角为-45-450 0。验证：验证：3480MPaOAx-60MPaADxy30MPaOBy60MPaDByx00167.42DCA1.1.用应力圆计算。用应力圆计算。得D点（2 2）求主应力大小。）求主应力大小。A1和B1两点的横坐标即为主应力1和3。1120MPa，20，310MPa

32、 o0033.7267.4D到A1逆时针，所以在单元体就应从x轴逆时针转即得主应力l的方向。例例7.67.6 图所示为从受力构件中截取的单元体的应力状态。求：主应力值和主平面位置。y y30MPa30MPax x60MPa60MPa80MPa80MPa3 31 133.733.70 020MPa20MPaO OA AD DB BDDC CA A1 1B B1 1220 0解解 用解析法和应力圆两种方法解此题。用解析法和应力圆两种方法解此题。（1 1）作）作OO坐标系，选定适当比例尺坐标系，选定适当比例尺.得D点 连DD与横轴相交于C点,以C点为圆心,CD为半径,画应力圆。（3 3）求主平面的方

33、位。）求主平面的方位。3510MPa-120MPa60-230-8023080 2-2222xy2yxyxminmax2.430-8060-2-2-tg2yxxy04040（1 1）求主应力。将）求主应力。将x x=80MPa=80MPa、y y=30MPa=30MPa、xyxy=-60MPa=-60MPa代入代入公式，可得：公式，可得：1 1120MPa120MPa，2 20 0，3 310MPa 10MPa 得：得：0 0=33.7=33.70 0 ，0 0=0 0-90-900 0=-56.3=-56.30 0的角度的角度0 0=33.7=33.70 0对应对应maxmax，的角度的角度

34、0 0=-56.3=-56.30 0对应对应minmin。2 2用解析法计算。用解析法计算。（2 2）求主主平面的位置：）求主主平面的位置：x xy y，36 （4 4）求斜截面上的应）求斜截面上的应力。从力。从0 0点按顺时针方向转点按顺时针方向转1201200 0角，确定角，确定E E点。量出点。量出E E点点的坐标的坐标(30,30,17)17)即为即为d-ed-e面上的应力。面上的应力。B B1 1 10MPa10MPa1201200 0O OE E补例补例7.17.1 用应力圆求单元体在斜截面d-e上的正应力及切应力。解解（1 1）作）作OO坐标系，坐标系，选定适当比例尺；选定适当比

35、例尺；(2)(2)画代表画代表x x轴为法线的平轴为法线的平面应力的点面应力的点O(0,0),O(0,0),以以y y轴为法轴为法线的平面应力的点线的平面应力的点B B1 1(-40,0)(-40,0)；（3 3）以）以OBOBl l为直径作圆为直径作圆,即为所需要的应力圆；即为所需要的应力圆；=-30MPa=-30MPa，=-17.4MPa=-17.4MPa40MPa40MPax xy y60600 0 3722312222322212-2 ,0 ,222-tg20 x x，y y，xyxy例例7.77.7 在横力弯曲变形中,其应力状态如图示。设及已知求;主应力和主平面的方位。解解 1.1.

36、解析法。解析法。确定主平面的位置。确定主平面的位置。0 0 x xy y 3 31 13813211OB ,0 ,OA（1 1）建立）建立OO坐标系；坐标系；从从D D点转到点转到A A1 1点得点得220 0角，角，0 0即为即为1 1与与x x轴的夹角。轴的夹角。2.2.图解法。图解法。A A1 1B B1 1O OC CD DDD1 1 3 3 220 0（4 4）求主应力：）求主应力：（3 3）连）连DDDD交交x x轴于轴于C C，以，以CDCD为半径画圆，即为半径画圆，即为应力圆；为应力圆；（2 2）确定两点坐标：）确定两点坐标：D(D(，),D(0),D(0，)；39扭转时的应力

37、圆：扭转时的应力圆：x xy yA A1 1B B1 1O OD DDD1 1 3 3 220 0=90=900 03 31 145450 040 应力状态的一般形式是三向应力状态。三向应力状态与二向应力状态类似，也一定能找到主应力单元体。书中讨论了当三个主应力已知时(图a)，任意斜截面上应力的求法。以任意斜截面ABC从单元体中取出四面体，如图b示,列平衡方程求出,(教材P227,不作要求)。下面只讨论与主应力平行的斜截面上的应力。41 1.先研究与2平行的斜截面dee1d1上的应力情况。由于与2平行的各斜截面上的应力不受2的影响，则此截面上的应力只与1和3有关，单元体上的应力状态如图所示（相

38、当于俯视图）。对应它的应力圆可由主应力1和3画出，由圆A1A3表示，此圆圆周上各点的坐标就代表了单元体上与主应力2平行的各斜截面上的应力。确定三向应力状态下的最大正应力和切应力确定三向应力状态下的最大正应力和切应力,可画出其应力圆。可画出其应力圆。如图所示单元体，设其主应力1230。2.同样画出应力圆A2A3，此圆圆周上各点的坐标代表了单元体上与主应力1平行的各斜截面上的应力。3.画出应力圆A1A2，此圆圆周上各点的坐标代表了单元体上与主应力3平行的各斜截面上的应力。421 12 23 31 12 23 3d d1 1e e1 1d de e3 31 11 13 31 11 12 22 22

39、22 23 33 3O O2 2A A2 2 3 3A A3 3 F F1 1 F F2 2 A A1 1 maxmaxminmin 与与1 1、2 2、3 3三个主应力方向平行的斜截面的应力由应三个主应力方向平行的斜截面的应力由应力圆上的点表示，力圆上的点表示，与三个主应力方向与三个主应力方向均不平行的斜截面上的应均不平行的斜截面上的应力由阴影范围内的点表示。力由阴影范围内的点表示。max=1 min=32-31max最大最小切应力最大最小切应力最大最小正应力最大最小正应力1 143MPa72-150MPa,31maxmax5121max如将二向应力状态视为三向应力状态的特殊情况，当120，

40、3=0时由式（7.9）得 事实上只考虑了平行于3的各平面上切应力的最大值，但放到整个单元体看应是说明：说明：2-21max21max如例如例7.10 ,MPa ,MPa321 7515044E ,EE-从轴向拉伸（或压缩），即在单向应力作用下，我们知道，在弹性范围内，纵向应变与应力成正比，（胡克定律）为：一、应力应变的关系一、应力应变的关系广义胡克定律广义胡克定律 在纯剪切状态，在弹性范围时，切应变和切应力间的关系为：G ,G45在三向应力状态下，单元体受到主应力在三向应力状态下，单元体受到主应力x x、y y、z z的作用。的作用。E-,E-,ExzxyxxE-,E ,E-yzyyyx E

41、,E-,E-zzyyxz 在x作用下，单元体沿三个方向的线应变：在y作用下，沿三个方向的线应变在z作用下，沿三个方向的线应变当主应力x、y、z同时作用时：zyxzyxxxxx-E1E-E-E 46 对于各向同性材料，当变形很小且在线弹性范围对于各向同性材料，当变形很小且在线弹性范围内时，正应力不会引起剪应变，切应力也不会引起线内时，正应力不会引起剪应变，切应力也不会引起线应变，所以广义胡克定律也适用于单元体上同时有正应变，所以广义胡克定律也适用于单元体上同时有正应力和切应力作用的情形应力和切应力作用的情形.yxzzxzyyzyxx-E1-E1-E1广义胡克定律广义胡克定律切应变和切应力间的关系

42、与正应力分量无关，在xy、yz、zx三个面的切应变分别为：G,G,G zxzxyzyzxyxy广义胡克定律广义胡克定律47321zyx ,000zxyzxy ,213331223211-E1-E1-E1000zxyzxy,1max 当单元体的六个面皆为主平面时，使x，y，z的方向分别与1、2、3的方向一致。这时广义胡克定律化为 48dxdydzV dzdzdzdydydydxdxdx332211111dxdydzV3211111dxdydzV321113211VVV二、体积变化与应力关系二、体积变化与应力关系体积胡克定律体积胡克定律变形后单元体的三个棱边分别为变形后的体积变为展开上式，并略去含

43、有高阶微量单位体积的体积改变为称为体应变 设图示单元体为主单元体，边长分别是dx，dy和dz。变形前单元体的体积为32121E3213321E体积胡克定律 49KEm32133213213321m,EK体积胡克定律K称为体积弹性模量，m是三个主应力的平均值。说明:单位体积的体积改变只与三个主应力之和有关，至于三个主应力之间的比例，对并无影响。所以，无论是作用三个不相等的主应力，或是代以它们的平均应力m。，单位体积的体积改变仍然是相同的。公式(7.22)还表明，体应变与平均应力m成正比，此即体积胡克定律。50(c)-E1 (b)-E1(a)-E1213331223211-1E21212121-1

44、E21213-1-E-4-4-310-0.9100.41.70.3-10.3-补例补例7.2 7.2 已知已知:二向应力状态，主应力二向应力状态，主应力1 100、2 200、3 3=0=0，主应变，主应变1 1=1.7=1.71010-4-4。2 2=0.4=0.41010-4-4，泊松比，泊松比=0.3=0.3。求求:主应变主应变3 3 。解解 由广义胡克定律：由广义胡克定律：(a)+(b)(a)+(b)，令，令3 3=0=0，可得：，可得：得：得：再把上式代入再把上式代入(3)(3)得：得：代入已知数值代入已知数值51MPa-153504110300-AP-23z0.000250.001

45、55-5.001yx0.0002153-E1-E1xxzyxxMPa-8.430.3-10.3153-102000.0002-1153-0.0002E3xz zy yx x 例例7.97.9 已知:直径为5.001cm的凹座钢放置一个直径为5cm的钢制圆柱，受到轴向压力P=300kN,钢块不变形，E=200GPa，=0.3。求:圆柱的主应力。解解 如图取单元体为三向应力状态。如图取单元体为三向应力状态。（2 2）求另外两个主应力）求另外两个主应力,径向应力径向应力x x和周向应力和周向应力y y。由广义胡克定律得由广义胡克定律得主应力为：主应力为：1 12 2x x8.43MPa8.43MPa

46、，3 3153MPa153MPa（1 1）在圆柱体横截面上的压应力为：）在圆柱体横截面上的压应力为：5221v332211212121v133221232221221Ev单向拉伸或压缩时，应力和应变的关系是线性的，得到应变能密度的计算公式为在三向应力状态下，弹性体应变能与外力作功在数值上仍然相等。并只决定于外力和变形的最终数值，而与加力的次序无关。假定应力按比例同时从零增加到最终值，在线弹性的情况下，每一主应力与相应的主应变之间仍保持线性关系，于是三向应力状态下的应变能密度是把广义胡克代人上式，整理后得出53dVvvv设三个棱边相等的正立方单元体的三个主应力不相等，分别为1，2，3相应的主应变

47、为1，2，3，单位体积的改变为。由于1，2，3不相等，立方单元体三个棱边的变形不同，它将由立方体变为长方体。因此，应变能密度v也被认为由两部分组成：(1)因体积变化而储存的应变能密度vV。体积变化是指单元体的棱边变形相等，变形后仍为正方体，只是体积发生变化的情况。v称为体积改变能密度。(2)体积不变，但由正方体改变为长方体而储存的应变能密度vd。vd称为畸变能密度。变形能变形能体积改变能密度体积改变能密度畸变能密度畸变能密度应变能密度应变能密度单位体积单位体积5423212121mmmmmmmmVvmmmmmEEEE2123212621213EEvmV13322123222131Evd代替三个

48、主应力，单位体积的改变与1，2，3作用时仍然相等。但以代替原来的主应力后，由于三个棱边的变形相同，所以只有体积变化而形状不变。因而这种情况下的应变能密度也就是体积改变能密度vV。由广义胡克定律3321m根据上节的讨论，若在单元体上以平均应力Vdvvv133221232221221Ev21323222161Evd畸变能密度畸变能密度55Gv223210,Ev1212EG 例例7.107.10 导出各向同性线弹性材料的弹性常数E，G，间的关系。按照例7.3的分析，纯剪切的主应力是：把主应力代人公式又可算出应变能密度为:解：纯剪切(图7.22)的应变能密度已于3.3中求出为56 n0杆件受轴向拉伸杆

49、件受轴向拉伸(压缩压缩)时的强度条件为：时的强度条件为：复杂应力状态下单元体的三个主应力复杂应力状态下单元体的三个主应力1 1、2 2、3 3可以具有可以具有任意比值，在某一比值下测出的极限应力，对于其它比值一般是任意比值，在某一比值下测出的极限应力，对于其它比值一般是不适合的。因此，不能再采用实验的方法。不适合的。因此，不能再采用实验的方法。极限应力极限应力0 0由试验测得由试验测得,s s和和b b分别为塑性和脆性的失效应力。分别为塑性和脆性的失效应力。即其强度条件是直接通过试验建立。即其强度条件是直接通过试验建立。复杂应力状态下，如何建立强度条件？能否通过试验建立？复杂应力状态下，如何建

50、立强度条件？能否通过试验建立？不同材料在相同应力状态下有不同的失效形式，同一材料不同材料在相同应力状态下有不同的失效形式，同一材料在不同的应力状态失效形式也不相同。在不同的应力状态失效形式也不相同。57 为了解决这一问题，我们先对材料的失效现象进为了解决这一问题，我们先对材料的失效现象进行分析，研究其不同的失效形式，提出各种假说。行分析，研究其不同的失效形式，提出各种假说。各种假说认为，材料之所以按某种形式失效，是应各种假说认为，材料之所以按某种形式失效，是应力、应变或畸变能密度等引起的，和应力状态无关，力、应变或畸变能密度等引起的，和应力状态无关，提出一些假说，建立复杂应力状态下的强度条件。

51、这提出一些假说，建立复杂应力状态下的强度条件。这些假设称为些假设称为强度理论。强度理论。58 1.1.屈服（流动）：屈服（流动）：是指材料由于出现屈服现象或发是指材料由于出现屈服现象或发生显著塑性变形而产生的破坏。例如低碳钢拉伸时出现屈生显著塑性变形而产生的破坏。例如低碳钢拉伸时出现屈服现象，此时晶格沿最大切应力平面发生滑移。灰铸铁在服现象，此时晶格沿最大切应力平面发生滑移。灰铸铁在三向压缩时也会产生屈服破坏。三向压缩时也会产生屈服破坏。2.2.断裂：断裂：（1 1）脆性断裂：）脆性断裂：指不出现显著塑性变形的断裂破指不出现显著塑性变形的断裂破坏。例如，铸铁的单向拉伸，扭转时沿坏。例如，铸铁的

52、单向拉伸，扭转时沿45450 0方向的螺旋线方向的螺旋线拉断，另外，象碳钢这类的塑性材料，如受到三向拉应力，拉断，另外，象碳钢这类的塑性材料，如受到三向拉应力，也会发生脆性断裂。也会发生脆性断裂。（2 2）韧性断裂：）韧性断裂：指有显著塑性变形的断裂破坏。指有显著塑性变形的断裂破坏。所以，材料力学中主要的失效形式有屈服和脆性断所以，材料力学中主要的失效形式有屈服和脆性断裂两种。裂两种。失效形式：失效形式：59 建立复杂应力状态下的强度条件，即强度理论。建立复杂应力状态下的强度条件，即强度理论。必须经过实验或生产实践的检验。这里介绍在常温、必须经过实验或生产实践的检验。这里介绍在常温、静载条件下

53、经常使用的四种强度理论，另外，还有莫静载条件下经常使用的四种强度理论，另外，还有莫尔理论等。现在我们依次介绍如下尔理论等。现在我们依次介绍如下:最大拉应力理论最大拉应力理论最大拉应变理论最大拉应变理论最大切应力理论最大切应力理论畸变能密度理论畸变能密度理论 60b1 1 nb 这个理论是最古老的理论，是十七世纪，伽里略提出的，认这个理论是最古老的理论，是十七世纪，伽里略提出的，认为为材料是脆性断裂破坏，引起的的主要因素是最大拉应力。材料是脆性断裂破坏，引起的的主要因素是最大拉应力。强度条件为：强度条件为：实验指出，脆性材料在二向拉伸应力状态，或二向拉压实验指出，脆性材料在二向拉伸应力状态，或二

54、向拉压应力状态，且拉应力较大的情况下，这个理论与实验结果基应力状态，且拉应力较大的情况下，这个理论与实验结果基本符合。因此，这个理论可用于以本符合。因此，这个理论可用于以拉应力为主的脆性材料拉应力为主的脆性材料。显然，这个理论没有考虑其它两个主应力的影响，是不够显然，这个理论没有考虑其它两个主应力的影响，是不够全面的。全面的。一、最大拉应力理论一、最大拉应力理论 第一强度理论第一强度理论断裂准则为：断裂准则为：61E-E1b3211b321-321 nb 这一理论，是十七世纪末，马里奥特提出的，他是根据脆这一理论，是十七世纪末，马里奥特提出的，他是根据脆性材料的断裂现象提出的。认为，性材料的断

55、裂现象提出的。认为，材料是脆性断裂破坏，引材料是脆性断裂破坏，引起的的主要因素是最大拉应变。起的的主要因素是最大拉应变。强度条件为：强度条件为：实验证明，对于脆性材料在二向压缩应力状态，或二实验证明，对于脆性材料在二向压缩应力状态，或二向拉压应力状态，且压应力较大的情况下，这个理论与实向拉压应力状态，且压应力较大的情况下，这个理论与实验结果基本符合。因此，这个理论可用于以验结果基本符合。因此，这个理论可用于以压应力为主的压应力为主的脆性材料。脆性材料。显然，按照这个理论，材料在二向或三向受拉时，要显然，按照这个理论，材料在二向或三向受拉时，要比单向受拉时安全，但试验并不说明这一点。比单向受拉时

56、安全，但试验并不说明这一点。二、最大拉应变理论二、最大拉应变理论 第二强度理论第二强度理论断裂准则为：断裂准则为：622-31max2s022-s31max-s31 nn ,-s031这一理论认为，这一理论认为，材料是屈服破坏，其主要因素是最大切应力。材料是屈服破坏，其主要因素是最大切应力。在轴向拉伸时，横截面上的拉应力达到极限应力在轴向拉伸时，横截面上的拉应力达到极限应力s s时时屈服准则屈服准则(又称屈雷斯加屈服条件又称屈雷斯加屈服条件)为：为：强度条件为：强度条件为：试验表明，这一理论能较好符合试验表明，这一理论能较好符合塑性材料，塑性材料，但是它未考但是它未考虑到主应力虑到主应力2 2

57、对材料屈服的影响。对材料屈服的影响。三、最大切应力理论三、最大切应力理论 第三强度理论第三强度理论在复杂应力状态下在复杂应力状态下maxmax=0 063213232221d-6E1v0dsdvv 6E12-00-00 -6E1v2s2s22s0dsS213232221-21 213232221-21 n s畸变能密度的表达式为：畸变能密度的表达式为：畸变能密度理论认为：畸变能密度理论认为：材料的失效是屈服破坏，引起破坏的材料的失效是屈服破坏，引起破坏的主要因素是畸变能密度。主要因素是畸变能密度。在轴向拉伸下，在轴向拉伸下，应力达到极限应应力达到极限应力力s s时，发生塑时，发生塑性屈服。性屈

58、服。屈服准则（米赛斯屈服条件）为：屈服准则（米赛斯屈服条件）为：强度条件为：强度条件为：试验表明，对于试验表明，对于塑性材料塑性材料，第四强度理论比第三强度理论更，第四强度理论比第三强度理论更符合试验结果。符合试验结果。四、畸变能密度理论四、畸变能密度理论 第四强度理论第四强度理论64 r213232221r431r3321r21r1-21-上述四种理论的强度条件可以写成如下统一的形式：上述四种理论的强度条件可以写成如下统一的形式：式中式中r r称为相当应力，各种强度理论的相当应力分别为：称为相当应力，各种强度理论的相当应力分别为：65 1.1.在三向拉伸应力状态下在三向拉伸应力状态下,(,(

59、塑性材料也发生断裂破坏塑性材料也发生断裂破坏),),因此因此,无论塑性材料，还是脆性材料都采用的第一强度理论；无论塑性材料，还是脆性材料都采用的第一强度理论；2.2.在三向压缩应力状态下在三向压缩应力状态下,(,(脆性材料也发生屈服破坏脆性材料也发生屈服破坏),),因此因此,无论塑性材料无论塑性材料,还是脆性材料都采用的第三或第四强度理论；还是脆性材料都采用的第三或第四强度理论；3.3.对脆性材料，在二向拉伸应力状态情况下，以及在二向拉对脆性材料，在二向拉伸应力状态情况下，以及在二向拉-压应力状态且拉应力较大的情况下，采用第一强度理论；而在二压应力状态且拉应力较大的情况下，采用第一强度理论；而

60、在二向拉压应力状态且压应力值较大的情况下，采用第二强度理论；向拉压应力状态且压应力值较大的情况下，采用第二强度理论；4.4.一般塑性材料，除三向拉伸应力状态外，发生屈服破坏，一般塑性材料，除三向拉伸应力状态外，发生屈服破坏，采用第三或第四强度理论，前者计算公式比较简单，但结果保守，采用第三或第四强度理论，前者计算公式比较简单，但结果保守，后者比较精确。后者比较精确。五、强度理论讨论五、强度理论讨论 在一般情况下，根据材料选择相应的强度条件的。对塑性在一般情况下，根据材料选择相应的强度条件的。对塑性材料，多发生屈服破坏，采用最大切应力理论或形状畸变能密材料，多发生屈服破坏，采用最大切应力理论或形

61、状畸变能密度理论；对脆性材料，多发生脆性断裂破坏，通常采用最大拉度理论；对脆性材料，多发生脆性断裂破坏，通常采用最大拉应力理论和最大拉应变理论。具体情况讨论如下：应力理论和最大拉应变理论。具体情况讨论如下：66在复杂应力状态下，对构件进行强度计算，其基本步骤如下：在复杂应力状态下，对构件进行强度计算，其基本步骤如下：1 1从构件危险点处截取单元体，求主应力从构件危险点处截取单元体，求主应力1 1、2 2、3 3；2 2选用适当的强度理论，算出相当应力选用适当的强度理论，算出相当应力r r；3 3选定材料的许用应力选定材料的许用应力；4 4建立强度条件，对构件进行强度计算。建立强度条件，对构件进

62、行强度计算。六、强度计算步骤六、强度计算步骤67MPa10-MPa40222-22xy2xx2xy2yxyxminmax40MPa1r1 45MPa40MPar2 补例补例7.3 7.3 有一铸铁构件，危险点处单元体如图所示，其有一铸铁构件，危险点处单元体如图所示，其上的应力上的应力x x=30MPa=30MPa，y y=0=0，xyxy=20MPa=20MPa。已知材料的许用拉。已知材料的许用拉应力应力l l=45MPa=45MPa，许用压应力，许用压应力y y=160MPa=160MPa 试校核其强度。试校核其强度。主应力主应力1 1=40MPa=40MPa、2 2=0=0、3 3=-10

63、MPa=-10MPa(3)(3)强度校核：强度校核：此构件的强度是足够的。此构件的强度是足够的。解解 (1)(1)求主应力值：求主应力值：(2)(2)计算相当应力：计算相当应力：选择最大拉应力理论。选择最大拉应力理论。68MPa14-MPa114222-22xy2xx2xy2yxyxminmax154MPa14-140-31r3MPa143-21213232221r41.95143280n 1.82154280nr4s4r3s3 补例补例7.47.4 有一钢制构件，已知危险点处单元体上的应力有一钢制构件，已知危险点处单元体上的应力如图所示。屈服极限如图所示。屈服极限s s=280MPa=280

64、MPa，试求构件的工作安全系数。，试求构件的工作安全系数。1 1=140MPa=140MPa、2 2=114MPa=114MPa、3 3=-14MPa=-14MPa(3)(3)求工作安全系数：求工作安全系数：n n3 3较小，因此，此最大切应力理论较保守。较小，因此，此最大切应力理论较保守。解解 三向应力状态。与二轴垂直的平面上应力三向应力状态。与二轴垂直的平面上应力140MPa140MPa是主应力。是主应力。(1)(1)计算主应力计算主应力：求：求OxyOxy平面上的主应力，平面上的主应力，已知已知x x=100MPa=100MPa，y y=0=0，xyxy=-40MPa=-40MPa，得：

65、，得：(2)(2)计算相当应力：计算相当应力：采用最大切应力理论或形状畸变能密度理论采用最大切应力理论或形状畸变能密度理论。69 ,3210 231r3-502.30222213232221r4-0-21 -21 6057703.例例7.12 试按照强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件，试按照强度理论建立纯剪切应力状态的强度条件，并寻求强度材料许用切应力并寻求强度材料许用切应力与许用拉应力与许用拉应力之间的关系。之间的关系。（1）对塑性材料，采用最大切应力理论，得强度条件为：）对塑性材料，采用最大切应力理论，得强度条件为：另一方面，剪切的强度条件另一方面，剪切的强度条件比较两式得比较两式得（2

66、）用畸变能密度理论。得强度条件为：）用畸变能密度理论。得强度条件为：与剪切的强度条件比较得与剪切的强度条件比较得解解：根据例：根据例7.4，纯剪切是拉，纯剪切是拉压应力状态。压应力状态。2x xy yC CA AB BD D3 33 31 11 145450 0702sin-2cos2-2xyyxyx2cos2sin2-xyyx2xy2yxyxminmax2-2yxxy0-2-tg22xy2yxminmax2-xyyx12-tg2 1 1基本概念：基本概念：点的应力状态，原始单元体，主平面、主应力、主方向和主点的应力状态，原始单元体，主平面、主应力、主方向和主单元体。点的应力状态分为单向应力状态、二向应力状态、三向单元体。点的应力状态分为单向应力状态、二向应力状态、三向应力状态。应力状态。主应力和主平面方位角的计算公式为：主应力和主平面方位角的计算公式为：最大最小切应力的计算公式为：最大最小切应力的计算公式为：(1)(1)解析法：解析法：三向应力状态三向应力状态斜截面上正应力、切应力的计算公式：斜截面上正应力、切应力的计算公式：2 2二向应力状态分析：求斜截面上应力、主应力和最大最二向