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1、第七节第七节 对数与对数函数对数与对数函数1.对数概念(1)定义:一般地,如果 ,那么x叫做 ,记作 ,其中a叫做对数的 ,N叫做 .(2)对数性质 没有对数,即 ;1的对数为0,即 ;底的对数等于1,即 .基础梳理基础梳理真数 =N(a0，且a1)以a为底N的对数底数logaxN零和负数 N0 loga1=0(a0，且a1)logaa=1(a0，且a 1)ba (3)对数恒等式:.(4)常用对数:通常将 叫做常用对数,N的常用对数log10N简记为 .(5)自然对数:称为自然对数,N的自然对数logeN简记作 .alogaN=N(a0，且a 1，N0)以10为底的对数 lg N 以无理数e=
2、2.718 28为底的对数 ln N2.对数的运算性质如果a0,且a1,M0,N0,那么(1)=logaM+logaN;(2)loga =;(3)=nlogaM(nR).MNlogaMnloga(MN)logaM-logaN3.换底公式及常见结论(1)换底公式:(a,b0且a,b 1,N0).(2)常见结论(其中a,b,c0且a,b,c1):loga =,logab=,1alogmnab logloglogabCbcalogabalog NNlog b1blog a-1logab1 4.对数函数的定义:一般地,函数 叫做对数函数,它的定义域为 ,值域为 .5.对数函数的图象与性质 y=loga
3、x(a0，a1)R(0，+)y=logaxa10a1时，_；当0 x1时，_；当0 x0y0y0增函数减函数6.反函数指数函数y=ax(a0，a 1)与对数函数y=logax(a0，a1，x0)，它们的图象关于直线_对称y=x 互为反函数基础达标基础达标1.(教材改编题)若a0，a1，xy0，nN*，则下列各式正确的有()(logax)n=nlogax；(logax)n=logaxn；logax=loga；logax=loganxn loga(xy)=logaxlogay；loga(xy)=logaxlogay.A.4个 B.5个 C.6个 D.7个1xlogloglogaaaxxyy1naa
4、log xlog xnlognaalog xxnloglog aaxyxyxyxy 2.(教材改编题)对于a0，a1，下列说法正确的是()若M=N，则logaM=logaN；若logaM=logaN，则M=N；若logaM2=logaN2，则M=N；若M=N，logaM2=logaN2.A.B.C.D.1.A解析：正确，故选A C解析：错，因为M=N0时，对数无意义；正确；错，因为logaM2=logaN2，则|M|=|N|；错，若M=N=0，则对数无意义，故选C.3.若y=log56log67log78log89log910，则有()A.y(0,1)B.y(1,2)C.y(2,3)D.y1
5、B解析：567891010log 10567895lglglglglglgylglglglglglglog55log510log552，1log5102，y(1,2)121212121212124.(1-log63)2+log62log618log64=_.解析：原式=(log62)2+log62(1+log63)2log62=(log62)2+log62+log62log632log62=log62+log63log6(23)+=+=1.=1经典例题经典例题题型一对数的运算【例1】求下列各式的值(1)已知lg x+lg y=2lg(x-2y)，求的值；(2)(2010辽宁改编)设2a=5b=
6、m，且求m的值2logxy112ab解：(1)由题意可得x0，y0，且x2y.又lg x+lg y=2lg(x-2y)，xy=(x-2y)2，即x2-5xy+4y2=0，解得x=4y(或x=y舍去)(2)2a=5b=m，a=log2m，b=log5m，m2=10，m0，m=.4xy22loglog 4=4.xy251111log 2log 5log 10mmmablog mlog m10【例2】(2010天津)设a=log54，b=(log53)2，c=log45，则()A.acbB.bcaC.abc D.bac题型二对数值(式)的大小比较解：a=log541,0log53log541，b=(
7、log53)2log53log54=a.又c=log451，bac.故选D.变式2-1比较下列各数的大小：1.10.9，log1.10.9，log0.70.8.解析：log1.10.9log1.11=0，log0.70.8log0.71=0,1.10.91.10=1，又log0.70.8log0.70.7=1，1.10.9log0.70.8log1.10.9.【例3】求函数y=loga(x-x2)(a1)的定义域、值域、单调区间题型三对数函数的图象与性质的应用解：由x-x20得0 x1，所以函数y=loga(x-x2)的定义域是(0,1)因为0 x-x2=所以，当a1时，loga(x-x2)l
8、oga函数y=loga(x-x2)的值域为令u=x-x2(0 x1)，因为u=x-x2在 上是增函数，在 上是减函数，由对数函数y=logau的单调性，可得：当a1时，函数y=loga(x-x2)在 上是增函数 上是减函数故函数的单调递减区间 是递增区间是2111244x141,4alog10,21,1210,21,1210,21,12(2011雅礼中学月考)若集合A=x|loga(x2-x-2)2，a0且a1(1)若a=2，求集合A；(2)若 A，求实数a的取值范围 94变式3-1解析：(1)若a=2，log2(x2-x-2)2，则x2-x-24，解得x-2或x3.所以A=x|x-2或x3(
9、2)因为 ，所以当a1时，无解；当0a1时，解得9A4229913log22,log2log4416aaaa21316a1314a1314a21316a易错警示若函数y=log2 的值域为R，求实数a的取值范围2114axax 错解函数y=log2 的值域为R，对任意实数 ax2+(a-1)x+恒成立 a=0时不成立若a0时，则 即解得1042114axax 00a 20(1)0aaa353522a错解分析函数y=log2 的值域为R，(0，+)必须是u=ax2+(a-1)x+值域的子集也就是函数u=ax2+(a-1)x+必须开口向上且与x轴有交点2114axax 141420010(1)404aaaa 既解得0a 或a当a=0时，u(x)=x+满足题意 a的取值范围是0a或a35235214352352
2012学案与评测文数北师大版（课件）：第2单元第7节对数与对数函数
