股票价格的期权定价模型分析

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1、股票价格的期权定价模型分析1.2 早期模型 1.2.1 期权的含义 期权，简单地说就是一个 订货，我们用一个例子来说明。甲希望在一年以后购得某品牌新上市的手机 A，甲认为该手 机新上市时会以 8000 元出售，超过了甲的承受范围，同时，有乙认为，该手机新上市时会以 6000 元出售，那么这时甲乙同意签署一份合同（即期权），且甲向乙支付期权费用，该合同规定， 当手机上市时，甲有权利以 7000 元的价格从乙处购买手机 A， 但是甲不具备买入的义务。这是最简单的期权模型，我们也可以规定将 “ 买入 ” 改为 “卖 出”，不变的只是支付期权费用的人是有权利而无义务的。1.2.2 期权定价模型的发展

2、股市有风险，投资需谨慎。正是这种风险显示了期权的价格，长久以来，人们一直致力于研究如 何用各种不确定因素估计标的资产的风险。早在 20 世纪初，法国数学家路易斯在他的投机理论中就提出了对绝对的布朗运动的股票价格（股价的变动也是一个随机过程，其变化过程可以用布朗运动来模拟）的估值模型，站在 买方的角度上进行统计，其期权价值主要是：(1-1) , 因为理论并未关注到正值货币的1964 年，波内斯提出了在固定对数分布下的股票收益，给出了以下定价公式：(1-2) 此处， 表示股票预期收益率。二十世纪中期，萨缪尔森寻找到欧式买方期权的定价方式， 思考到需要具备较高预期收益率 ，此主要公式为：(1-3)

3、通过观察（1-2）（1-3）可知，波内斯模型就是萨缪尔 森模型在 = 时的特殊情况3-7,11。这些理论 ,为 Black-Scholes 定价理论的发展寻找到正确方向, 还对日后的各项定价理论的发展起到了决定性的作用。第二章 现代期权定价模型 2.1 Black-Scholes 模型 二十世 纪七十年代，Black 等专家指出 Black-Scholes 模型 (此后叫做 B-S 模型），另外，Merton 在很多方面做出了重要推广。上述学者在股价服从对数正态分布的假设基础上，使用相关观点，推测得 到不需要红利的欧式期权定价模型：(2-1) 其中：我们已经知道，在清算日，买入期权的支付为，我

4、们只要求出的期望，我们就可以通过利率贴现，求出现在的期权价格，即： (2-2) 因此突破口在于计算出。取是的概率，那么， ,即 (2-3) 该问题最终归结为求解和。接下来我们来求解这两个量。 （1） 求。因为 ,有和， 故有 (2-4) 在风险中性基础上，基于上述假定我们就可以知道，服从正态分布，此外其期望与方差主要是：及 其中。所以，随机变量服从标准正态分布。(2-5) 如果记 , 。(2-6) 由于服从对数正态分布。分布密度函数 。其中 : ， 故 作变量替换：(2-7) 有：，且当时，而当时， 可以得到：(2-8) 故：Black-Scholes 主要观点是 ,人们对风险持有的态度并不能

5、影 响期权的有效价格 ,就是估值方式和股价期望收益率没有关系 ,它仅依赖于一些可观测变量,如:S(股票现价 )、r(无风险利率)与 (股票价格波动率)(波动率 可依照众多历史信息统计得出)、X(具体 执行价格)、(到期2.2 二 项 式 定 价法 二项 式期 权定 价法 ( 二 叉 树法 ) 是 由 Rubinstein 等人提出的一种数值计算法。2.2.1 单期二项式期权模型 假定：股票期初和期末时刻价格 为、。记起初时刻的期权价值为 C。那么 S 与 C 在期末时有如下 表示：P Su C S 1-P Sd 现在我们可以构建一个如下组合：对任意 S1，由于是套期保值组合，故存在等式：解出：

6、(2-9) 又有：(2-10) 此处，r 为无风险利率，T 是整个由(2-7)与(2-8)可得 (2-11) 解出：又因为：则: 即 (2-12) 可得 得出单期看涨期权的具体定价公式: (2-13) 2.2.2 n 期看涨期权的二项式期权定价公式 将上述得出的定价公式当做重要前提，此时把二项式期权定价公式使用到多期 (此处常用条件是 )。下图是两期股票价格二叉树图 Sud=S S 且有：直接利用单期看涨期权的二项式期权定价公式，可得 (2-14) (2-15) 其中，t 是每一期的再对，运用单期看涨期权的二项式期权定价公式，可得： (2-16) 主要是两期看涨期权的定价公式。通过两期模型可直

7、接推测出期，研究购买期到期看涨期权， 股票价格是，而多个周期内涨价或降价概率 p，1-p 与 u,d 值都相似，此时每期价格主要被划分成两部分，如此，在n 期末，价 格的所有可能数值是,i=0，1，n，此外=概率是：按照推导两期模型的思路，从第 n 期开始向前递推，可以得 到 n 期看涨期权的二项式定价公式: (2-17) 二项 式期权定价重点是 u 和 d 明确，在实际使用中，假如时刻是 t,期权到期日是 T，就将有效期 T-t 分类成 n 个周期，各个周期长度是 t(年是单位)，无风险利率是 r，具体波动率是 ,那么可以让 , (2-18) 因为二项式期权定价模型主要使用离散化形式来处置价

8、格，因此在具体合约期内，其也需要思考股利发放现状。此外，在树状结构结束之后，了解到期的全部价值，可以推测出以前结点的全部数据，且统计出价格树上所有结点具备的意义。在上述结点，可对比始终持有与马上执行的价值，进而挑选最佳数值。不只能得到所有点 的正当价格，此外还能了解最佳期权执行为了让此定价模型统计的数据更加精准，必须让 n 取相对高 的数值。但是在 n 提高时，所要统计的任务也会随之增多。n 一直变大最终趋向到无穷大的时候。本文分析模型和 Black-Scholes期权定价模型全部相同。在后者遭受约束或者和现实情况有明显 不同时使用本文分析模型就能得到较好效果。2.3 Monte-Carlo

9、模拟方法 Monte-Carlo 模拟方式还是重要的数值统计方式，能对欧式衍生证券开展估值。其可以处理相对复杂的问题，此外计算效率高，其主要由初始时刻的期权值推测 出此后时刻期权值，主要使用在欧式期权中。Monte-Carlo 模拟方式的主要理论是 : 假定了解标的资产价格的分布函数，之后将有效期限划分成众多较小间隔，通过电脑具备的功能，需要从上述样本内随意选择来模拟不同间隔股票价格变化和价格也许表现出的具体路径，如此就可以计算出期权真实价值。上述结论可被当做所有可能终值集合内的随机样本，使用上述变量其他路径可得到其他的相关样本。通过较多路径就能得到较多的样本。如此持续反复无限次，就能得到 T

10、 时刻价格总集合，对众多随机样本开展大致计算，可以得到相应的预期收益。 依照相关定价知识，把此后 T 时刻的预期收益 Xr 使用无风险利率折现，随之得出当前价格: (2-19) 此处，P 代表期权价格，r 代 表无风险利率，目前时刻是 0，是 T 时刻预期效益。此方式主要使用在对标的股票标准差是随机变量的期权进行分析，具体价格进而标准差的路径均被模拟。任意时刻标准差 之值，影响本研究股票价格的概率情况。此方式主要优点是使用在标的资产的预期收益率和波动率 函数形式相对繁琐时，此外模拟运算Monte-Carlo 模拟可以和二叉树图方法结合起来为期权定价。在树图构造全部完成之后，能够从其中随机选择样

11、本。但是 此时并非从后往前倒推，主要是依照图形往后推。主要方式是 :在首个结点我们选择 0 到 1 范围内的随机数，假如上述数低于P，此时需要增加分支，否则就要减少分支。进入下个结点之后，继续重复以上过程，一直进入树图底端，之后可统计选定路径期权盈亏值，如此就可以顺利完结。反复以上所有环节，开展数次模拟。此时把全部盈亏值按照无风险利率开展贴现之后得到平均 值，也就是期权价格计值。第三章 股票期权的定价方法 在之前的长久最初股票定价模型是 John B. Williams 在二十世纪末期设计 的，主要内容是: (3-1) 此处，S 是目前股票价格，是第 i 期期末现金股息， 是期望收益率，其等于

12、无风险利率以及风险补偿率。二十世纪中期，有关专家在上述研究前提下，设计具体模型。 假定：股息以预期稳定增长率 发展，此时( 3-1)式则是: (3-2) 在 的基础上，公式被简化成: (3-3) 可以看出，传统模型的 构造是完全符合逻辑的，但是也存在如下弊端： 值与无风险利率、补偿率有一定关系，后者和众多不明 确的隐藏投资者的风险偏好有关，故 难以准确估算。准确的预计未来很长而对于股息折现模型，其在 时是没有意义的。切对 的估计很难精确。因此，除了在简化模型中用于检测，传统方法很 难进行实用。3.1 股票的期权定价方法 3.1.1 权益资本的期权特征 假定：V 表示公司价值，X 表示公司负债，

13、那么在到期日，会有如下情 况：V X,股东无剩余价值。V X, 公司不仅能覆盖债权人的债务，其超过部分还归股 东所有。这种情形如图所示 : 类比可知，公司的资产好比一个看涨期 权，在经营周期期末，若有 VX，股东将行权，其盈利为 V-X;若有 V X 或 V=X，股东将放弃行权，股东会亏损买入股权的费用。公司价值 V 股东损益 0 -C X 3.1.2 期权定价模型 根据之前的叙述，即便企业股票属于看涨期权，显然可以通过看涨期权的定价模型来统计股票综合价值，只需要了解总股数，每股价格就 可以顺利了解到。接下来深入分析怎样使用 Black-Scholes 期权定价模型确定 股票价格。根据 Bla

14、ck-Scholes 期权定价模型，主要公式是: (3-4） 其 中 ， ，是标准正态分布函数， 把上面模型中的变量重新定义:我们可以直接代入（3-4）式进行计算，得到的 C 就是公司股票 的总价值。3.1.3 模型参数的估计 在采用 Black-Scholes 模型时可知，S、X、r、T 都是可以直接得到或者精确估计的，那么问题的关键 就是如何准确预估行业价值的波动率 。确定公司此后市场价值年波动率 。本文分析模型假设股票价格对数符合正态分布，此时波动率就是年收益率的标准差，且假设前者在有效期内不会出现改变。一般来说波动率统计是在大量信息前提下开展估计，在此处明显 可通过企业价值的之前评估值

15、来明确年波动率。确定下述定义符号 :n +1 代表观察次数，代表在第 i 个因为标准差是，此时变量 s 为其估计值，因此 自身就是被 预估成，此处，因此估计标准误差类似于。3.2 股票的期权定价应用实例 下表确定某企业在 1997 年 4月到 2002 年 6 月底二十个季度的企业价值评估值。季度 公司价值评估表 （千万元） 公司评估价值比率（） 每季收益 每季收益平方 0 20 1 20.125 1.00625 0.00623 0.000042 19.875 0.* -0.01250 0.000156 3 20 1.00629 0.00627 0.000044 20.5 1.02500 0.

16、02469 0.00061 5 20.25 0.* -0.01227 0.000156 20.875 1.03086 0.03040 0.000924 7 20.875 1.00000 0.000000.00000 8 20.875 1.00000 0.00000 0.00000 9 20.75 0.* -0.00601 0.000036 0 20.75 1.00000 0.00000 0.00000 11 21 1.012050.01198 0.00014 12 21.125 1.00595 0.00593 0.000035 13 20.8750.* -0.01190 0.00014 14

17、20.875 1.00000 0.00000 0.00000 1521.25 1.01796 0.01780 0.00032 16 21.375 1.00588 0.005870.000034 17 21.375 1.00000 0.00000 0.00000 18 21.25 0.* -0.00587 0.000034 19 21.75 1.02353 0.02326 0.00054 20 22 1.01149 0.01143 0.00013 合计 0.09531 0.00333 根据(3-6）式， 可以计算出公司价值季度收益率标准差的估计值是：由于 =1/4 年，则波动率的估计值是：所以该

18、公司价值波动率的估计值是每年 2.46%，这个估计值 的标准误差是：或每年 0.389%。公司资产负债表 (2002 年 6 月 30 日） 单位：千万元 资产负债及所有者权益流动资产 5.43 流动负债 3.62 固定资产12.24 公司债券 12.00 其他资产 4.33 股东权益 6.38 资产合 计 22.00 负债及权益合计 22.00 上述是此企业在 2002 年第二 季度底的大致资产负债表，企业下发的债券到期己知该公司在 2002 年 6 月 30 日的评估价值是 22 千万元，去除其余短期负债后企业价值是S =18.38 千万元 (22-3.62 =18.38)。假定无风险年利

19、率 r=10%,那么依照 Black-Scholes 定价公 式，可统计得到: 负债率：（12.00+3.62 ）/22.00=71% 假如企业准备下发的综合股数是 100 万，那么每股价格是 61.1 元。根据上述案例可知，即便企业总负债率为 71%，然而企业价值变化不大，运作业绩平稳，企业在债券到期时执行看涨期权的可能性是 98.5%，也就是企业有很高的概率支付债务，破产概率很低。3.3 与蒙特卡洛模拟的对比 为了说明 B-S 模型的准确性， 我们采用一种传统方法来与 B-S 模型所得到的结果来进行比较。从前面的介绍我们可以知道，二叉树是最容易理解的方法，但是 为了使二叉树模型得到精确的结

20、果，我们不得不使 n 取一个很大的数，然而当 n 增加时，所需要计算的步骤将呈几何级数增加，很难操作。并且 n 越来越大时，会越来越趋近于 B-S 模型，这种验证是没有意义的。而蒙特卡洛模拟法和 B-S 模型是完全不同的两种思路，同时可以借助 matlab 进行快速的计算，且不会因为维数而影响误差，相比之下，我们选择蒙特卡洛模拟法来与 B-S 模型比较。我们还是采用上表的数据，选择第四季度为起始接下来，我们用 matlab 来估计股价：首先，我们把股票的有效期限分为若干个很小的确定无风险利率 r=0.1，这和用 B-S 模型时市场的无风险利 率是一致的。第三步，计算市场的波动率 ,这里用到的方

21、法和 B-S 模型中第一步用到的方法是相同的，只需要带入第四季度的数据计算即 可。过程也非常简单，易知波动率 sigma=0.0304。同时确定从起 始日到到期日的现在我们要构造蒙特卡洛模拟，确定三个循环：首先是由起始日到到期日中的每一天我们都要进行模拟。这 是第一个循环：For nDays = 1 : nDays1 其次，每一天中要选择若干个运行路径，并且利用这些路径产生符合正态分布的随机矩阵。本例中 我们确定路径数是 1000 条。这是第二个循环：for j = 1 : nTrails n = randn(1,nDays) 最后要确定每一天的股价，从而依次确定其后的股价，直至到期日。这是第

22、三个循环： for i = 1 : nDays ds = s * （expTerm+stddev * n(i) 确定三个循环之后，也就是我们通过反复无数次测试以后，得出到期日时刻股票价格的汇总，对上述随机样本开展大致的算术平均就能 得出到期日的具体股票价格。完整的蒙特卡洛模拟模型如下图：经过模拟我们得到了如下所示的到期日当天的股价集合：利用上述计算得到的平均值，此时就可以得到下面的股价：很 容 易看出， 由蒙特卡 洛模拟 得到的最 终的股 价是在 59.2,59.7波动，由期权定价法得到的股价是 61.1，两个结果较为吻合。从上面的构造过程可以看出，蒙特卡洛模拟最后是简单的取得集合的算术平均值

23、，这对最后结果的准确性是有影响的，因为任一时刻投资者对股价影响的大小是不同的，所有这些影响都会使得股价的变动趋向于某个方向，在股价趋向于某个方向后，投资者的行为对股价的影响又会改变，这种影响我们可以看作是一种较为定向的影响，而不再是随机的影响，因此蒙特卡洛模拟在处理股价问题上时虽然过程简单，但结果仍然不是非常准确的， 在没有对蒙特卡洛模拟法进行改进、时期较长或 B-S 模型没有受 到限制时，B-S 模型应该是一个更好的选择。第四章 反思与展望 回顾整篇文章，运用到了如下几种方法： 历史研究方法。利用分析期权定价理论的发展历程，得知期权定价理论发展主要规律和具体的期权定价方式。定性和定量相融合的

24、分析方式。本文在关注股票价格的定性叙述的时候，也格外关注对定量分析方式的研究与使用，利用 实例表述 Black-Scholes 模型能被使用在定价活动中。共性和个性之间的对比分析。期权理论表现出一般性，本文在全面叙述期权知识与方式的时候，指出期权定价的独特性。 到现在，我们顺利的将 Black-Scholes 模型使用到具体定价活动中，但是以上过程都是基于市场上已知的信息，换句话说， B-S 模型只是用于对股价的检验，查看公司对股票的定价是否合理、投资者对市场的影响是否已经导致了市场失灵。那么我们能 否将 B-S 模型运用到股价的预测上呢？ 对于这一问题，理论上 是不可以的。首先我们要清楚，对股价的预测是以人为主体的，“人”这个变量本身就是不可测的，人的情绪、人所具有的知识体系都影响着人对股价的预测。借用索罗斯的观点，即便预测股价这一行为本身具有一定的可行性，对其进行预测这一行为本身就会对股价 产生影响 最重要的是，这种影响是无法预测的。如此一来，就会导致对股价的预测是不可行的。总之，股票投资是一个大众选美的过程，除非你能左右大众的思想，否则，你想准确预测股 票的价格是非常困难的。虽然就目前而言预测股价是一个“不可能事件 ”，然而融合其他学科的知识。说不定可以找到一个适合大众使用的数学公式。