261二次函数

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1、 某果园有某果园有100棵苹果树，每棵树平均结棵苹果树，每棵树平均结600个果实个果实.现准备多种一些苹果树以提高产量，现准备多种一些苹果树以提高产量，但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树但是如果多种树，那么树之间的距离和每棵树所接受的阳光就会减少所接受的阳光就会减少.根据经验估计，每多根据经验估计，每多种一棵树，平均每棵树就会少结种一棵树，平均每棵树就会少结5个果实个果实.假设果园增种假设果园增种x棵苹果树，苹果的总产量棵苹果树，苹果的总产量为为y个，请你写出个，请你写出 y与与x之间的关系式之间的关系式.实际问题新课导入新课导入 果园增种果园增种 x 棵苹果树，共有（棵苹果树，共有（1

2、00+x）棵树，平均）棵树，平均每棵树结（每棵树结（600-5x）个橙子，因此果园橙子的总产量）个橙子，因此果园橙子的总产量y=(100+x)(6005x)=5x+100 x+60000 x 56789101112 131415 y 60420604556048060495605006049560480604556042060375实际问题 银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就银行的储蓄利率是随时间的变化而变化的，也就是说，利率是一个变量是说，利率是一个变量.在我国，利率的调整是由中国在我国，利率的调整是由中国人民银行根据国民经济发展的情况而决定的人民银行根据国民经济发展的情况而决定的.

3、设人民币一年定期储蓄的年利率是设人民币一年定期储蓄的年利率是x，一年到期，一年到期后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存后，银行将本金和利息自动按一年定期储蓄转存.如果如果存款是存款是100元，那么请你写出元，那么请你写出两年后两年后的本息和的本息和y(元元)的的表达式表达式(不考虑利息税不考虑利息税).y=100(x+1)=100 x+200 x+100 y是是 x的一次函数的一次函数吗？是反比例函数吗？吗？是反比例函数吗？y=5x+100 x+60000y=100 x+200 x+100教学目标教学目标【知识与能力【知识与能力】【过程与方法【过程与方法】理解二次函数的意义。理解二次函数

4、的意义。会用描点法画出函数会用描点法画出函数 y=ax2 的图象。的图象。知道抛物线的有关概念。知道抛物线的有关概念。通过二次函数的教学进一步体会研究函数通过二次函数的教学进一步体会研究函数的一般方法。的一般方法。加深对于数形结合思想的认识。加深对于数形结合思想的认识。通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广通过变式教学，培养学生思维的敏捷性、广阔性、深刻性。阔性、深刻性。【情感态度与价值观【情感态度与价值观】教学重难点教学重难点 二次函数的意义。二次函数的意义。会画二次函数图象。会画二次函数图象。描点法画二次函数描点法画二次函数 y=ax2 的图象。的图象。数与形相互联系数与形相互联系 要用总

5、长为要用总长为20m的铁栏杆，一面靠墙，围的铁栏杆，一面靠墙，围成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花成一个矩形的花圃，怎样围法才能使围成的花圃的面积最大圃的面积最大?实际问题 1.设矩形花圃的周长不变，垂直于墙的一边设矩形花圃的周长不变，垂直于墙的一边AB的长为的长为xm，先取，先取x的一些值，算出矩形的另一的一些值，算出矩形的另一边边BC的长，进而得出矩形的面积的长，进而得出矩形的面积 y m2。试将计算。试将计算结果填写在下表的空格中：结果填写在下表的空格中：2.x的值是否可以任意取的值是否可以任意取?有限定范围吗有限定范围吗?3.我们发现，当我们发现，当AB的长（的长（x）确定后，矩

6、形的）确定后，矩形的面积（面积（y）也随之确定，）也随之确定，y是是x的函数，试写出这个的函数，试写出这个函数的关系式。函数的关系式。AB的的x长（长（m）123456789BC的长（的长（m）12面积面积y（）482m 观察函数关系式观察函数关系式 ，（1）函数关系式的自变量有几个）函数关系式的自变量有几个?（2）多项式分别是几次多项式）多项式分别是几次多项式?（3）函数关系式有什么特点）函数关系式有什么特点?2100100200yxx（1）有）有1个。个。（2）二次多项式。）二次多项式。（3）用自变量的二次多项式来表示的。）用自变量的二次多项式来表示的。探究探究提示提示 形如形如 （a、b

7、、c是常数，是常数，a0）的函数叫做）的函数叫做 x 的的二次函数二次函数（quadratic function），），a叫做叫做二次函数的系数二次函数的系数，b叫做叫做一次项的系数一次项的系数，c叫作叫作常数项常数项。2yaxbxc知识要点知识要点注意注意x（1）（a0，b=0，c=0）（2）（a0，b=0，c0）（3）（a0，b0，c=0）注意注意2yaxbxc 等式的右边最高次数为等式的右边最高次数为2，可以没有一次，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项项和常数项，但不能没有二次项.回顾回顾反比例函数的图象反比例函数的图象一次函数的图象一次函数的图象 二次函数的图象是二次函数的图象是

8、什么样子的？什么样子的？一条直线一条直线双曲线双曲线前面的前面的 中中6037560455604806049560500604956048060455604206037560420y=(100+x)(6005x)=5x+100 x+60000 x 56789101112 131415 y 60420604556048060495605006049560480604556042060375实际问题 画二次函数画二次函数 的图象。的图象。2yx解：（解：（1）列表列表：在：在 x 的取值范围内列出函数对的取值范围内列出函数对应值表：应值表：y3210-1-2-3x9944110描点法描点法探究探究

9、（2）在平面直角坐标系中）在平面直角坐标系中描点描点：xyo-4-3-2-11234108642-21y=x2（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数y=x2 的图象的图象.2yx 画二次函数画二次函数 的图象。的图象。2yx 解：（解：（1）列表列表：在：在 x 的取值范围内列出函数对的取值范围内列出函数对应值表：应值表：y3210-1-2-3x-9-9-4-4-1-10描点法描点法探究探究（2）在平面直角坐标系中）在平面直角坐标系中描点描点：xyo-4-3-2-11234-2-4-6-8y=-x2（3）用光滑曲线顺次连接各点，便得到函数）用光滑曲线顺次连

10、接各点，便得到函数y=-x2 的图象的图象.-102yx 抛物线抛物线：像这样的曲线通常叫做抛物线。像这样的曲线通常叫做抛物线。二次函数的图象都是抛物线。二次函数的图象都是抛物线。一般地，二次函数一般地，二次函数 的图象叫做抛物线的图象叫做抛物线 。知识要点知识要点2yaxbxc2yaxbxc抛物线抛物线抛物线抛物线抛物线抛物线这条抛物线关于这条抛物线关于y轴对称，轴对称，y轴就轴就 是它的是它的对称轴对称轴.2yx对称轴、顶点、最低点、最高点对称轴、顶点、最低点、最高点对称轴与抛物对称轴与抛物线的交点叫做线的交点叫做抛物线的抛物线的顶点顶点.抛物线抛物线 y=x2在在x轴上方轴上方(除顶点外

11、除顶点外)，顶点是它的，顶点是它的最最低点低点，开口向上，并且向上，开口向上，并且向上无限伸展无限伸展;当当x=0时时,函数函数 y的值最小，的值最小，最小值是最小值是0.当当x=-2时，时，y=4当当x=-1时，时，y=1当当x=1时，时，y=1当当x=2时，时，y=42yx2yxy抛物线抛物线 y=-x2在在x轴下方轴下方(除顶点外除顶点外)，顶点，顶点是它的是它的最高点最高点，开口向下，并且向下无限伸展，开口向下，并且向下无限伸展，当当x=0时，函数时，函数y的值最大，最大值是的值最大，最大值是0.2xy2xy 抛物线抛物线顶点坐标顶点坐标对称轴对称轴位置位置开口方向开口方向增减性增减性

12、最值最值y=x2y=-x2（0，0）（0，0）y轴轴y轴轴 在在x轴上方轴上方(除顶点外除顶点外)在在x轴下方轴下方(除顶点外除顶点外)向上向上向下向下当当x=0时时,最小值为最小值为0当当x=0时时,最大值为最大值为0在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y,y随着随着x x的增大而减小的增大而减小.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y,y随着随着x x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y,y随着随着x x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y,y随着随着x x的增大而减小的增大而减小.y=x2、y=-x22xya0，开口开口都向上都向上;对称轴对称轴都是都是y

13、轴轴;增减性增减性相同相同顶点顶点都是原点都是原点(0,0)22xy只是只是开口开口大小大小不同不同 在同一坐标系中作二次函数在同一坐标系中作二次函数y=-x2和和y=-2x2的图象，会是什么样的图象，会是什么样?探究探究a 0)y=ax2(a 0时，抛物线的开口向时，抛物线的开口向_，顶点是抛物线的顶点是抛物线的_，a 越大，抛物线的开越大，抛物线的开口越口越_;当当a 0)y=ax2+c(a0c0时时,在在x x轴的上方轴的上方(经过一经过一,二象限二象限););当当c0c0时时,与与x x轴相交轴相交(经过一经过一,二三四象二三四象限限).).当当c0c0c0时时,与与x x轴相交轴相交

14、(经过一经过一,二三四象限二三四象限).).向上向上向下向下当当x=0时时,最小值为最小值为c.当当x=0 x=0时时,最大值为最大值为c.c.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y,y随着随着x x的增大而减小的增大而减小.在对称轴的右侧在对称轴的右侧,y,y随着随着x x的增大而增大的增大而增大.在对称轴的左侧在对称轴的左侧,y,y随着随着x x的增大而增大的增大而增大.在在对称轴的右侧对称轴的右侧,y,y随着随着x x的增大而减小的增大而减小.caxy2caxy2 y=ax2+c探究探究 在同一坐标系中作二次函数在同一坐标系中作二次函数y=2(x-1)2和和y=2x2的图象的图象,会是什么样会

15、是什么样?212xy22xy 二次项系数为二次项系数为2，开口开口向上向上;开口大小开口大小相同相同;对称轴对称轴不同；不同；增减性增减性相同相同.顶点顶点不同不同,分别是分别是原点原点(0,0)和和(1,0)位置位置不同不同;最小值最小值相同相同212xy22xy 二次项系数为二次项系数为2，开口开口向上向上;开口大小开口大小相同相同;对称轴对称轴不同；不同；增减性增减性相同相同.顶点顶点不同不同,分别是分别是原点原点(0,0)和和(2,0)位置位置不同不同;最小值最小值相同相同 在同一坐标系中作二次函数在同一坐标系中作二次函数y=2(x1)2和和y=2x2的图象的图象,会是什么样会是什么样

16、?二次函数二次函数左右平移左右平移 的口决的口决左加右减左加右减 y=2x2 y=2(x+1)2向向左左平平移移1个个单单位位向向右右平平移移1个个单单位位例如：例如：y=2(x1)2 y=ax2 k向向左左平移平移h个单位个单位向向右右平移平移h个单位个单位 y=a(xh)2 k y=a(xh)2 k一般：一般：例题 你能说出函数你能说出函数 的图象与函数的图象与函数 的图象的关系吗的图象的关系吗?21312xy231xy21312xy231xy21312xy231xy231xy21312xy2113yx 向向右右平移平移1个单位个单位向向上上平移平移2个单位个单位231xy21312xy向

17、向右右平移平移1个单位个单位向向上上平移平移2个单位个单位或者或者2123yx 知识要点知识要点 一般地，抛物线一般地，抛物线 y=a(xh)2 k 与与 y=ax2 形状相同，位置不同，把抛物线形状相同，位置不同，把抛物线 y=ax2 向上（下）向上（下）向左（右）平移，可以得到抛物线向左（右）平移，可以得到抛物线y=a(xh)2 k.平移的方向、距离要根据平移的方向、距离要根据 h，k 的值来决定的值来决定.y=a(xh)2 k 顶点式的特点顶点式的特点顶点坐标：顶点坐标：对称轴：对称轴：（h，k）x=h当当a0时，开口向上；时，开口向上；当当a 0时，抛物线的开口向时，抛物线的开口向_，

18、顶点是抛物线的顶点是抛物线的_，a 越大，抛物线的开越大，抛物线的开口越口越_;当当a 0时，开口向上；时，开口向上；当当a0时，开口向下；时，开口向下；（2）对称轴是直线）对称轴是直线 x=h；（3）顶点坐标是（）顶点坐标是（h，k）.5、抛物线抛物线 y=a(xh)2 k（顶点式）（顶点式）的图象特点：的图象特点：顶点坐标：顶点坐标：对称轴：对称轴：.44222abacabxa2bxa 2424bacbaa，6、抛物线抛物线 y=ax+bx+c（一般式）（一般式）的图象特点：的图象特点：y=ax+bx+c 一般地，因为抛物线一般地，因为抛物线 y=ax+bx+c 的顶点是最低的顶点是最低（

19、高）点，所以当（高）点，所以当 时，二次函数时，二次函数 y=ax+bx+c 有最小（大）值有最小（大）值 。2bxa 244acba7.二次函数的最值问题：二次函数的最值问题：1.下列函数中下列函数中,哪些是二次函数？哪些是二次函数？（1）y=3(x1)+1（3）s=32t2（5）y=(x+3)x2（6）v=10r21(4)yxx1(2)yxx（是）（是）（是）（是）（不是）（不是）（是）（是）（不是）（不是）（不是）（不是）随堂练习随堂练习 2.用总长为用总长为60m的篱笆围成矩形场地，场的篱笆围成矩形场地，场地面积地面积S(m)与矩形一边长与矩形一边长a(m)之间的关系是之间的关系是什么

20、？是函数关系吗？是哪一种函数？什么？是函数关系吗？是哪一种函数？是二次函数关系式。是二次函数关系式。解：解：S=a(a)=a(30a)=30aa =a+30a 4.如果函数如果函数 y=(k-3)+kx+1是二次是二次函数函数,则则k的值一定是的值一定是_。232kkx0 3.如果函数如果函数 y=+kx+1 是二次函是二次函数，则数，则k的值一定是的值一定是_。232kkx0或或3 5.你能说出函数你能说出函数 的图象的开口方的图象的开口方向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗向，对称轴和顶点坐标，以及这个函数的性质吗?222 xy 函数函数 的图象的开口向上，对称的图象的开口向上，对称

21、轴为轴为y轴，顶点坐标是（轴，顶点坐标是（0，-2）；当）；当x0时，函数值时，函数值y随随x的的增大而增大，当增大而增大，当x=0时，函数取得最小值，最小时，函数取得最小值，最小值值y=-2。222 xy2122xy212xy 6.你能再画出函数你能再画出函数 的图象，并的图象，并将它与函数将它与函数 的图象作比较吗的图象作比较吗?2122xy212xy 函数函数 的图的图像向上平移像向上平移2个单位可以得到个单位可以得到函数函数 的图像。的图像。2122xy212xy 7.不画出图象，你能直接说出函数不画出图象，你能直接说出函数 的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？的图象的开口方向、对称

22、轴和顶点坐标吗？25212xxy 因为因为 ，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线直线 x1，顶点坐标为（，顶点坐标为（1，2）2121252122xxxy 8.通过配方，写出下列抛物线的开口方向、通过配方，写出下列抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。对称轴和顶点坐标。1084)2(126)1(22xxyxxy （1）抛物线的开口向上，对称轴为）抛物线的开口向上，对称轴为x1，顶点坐标是（，顶点坐标是（1，6）；）；（2）抛物线开口向下，对称轴为）抛物线开口向下，对称轴为x1，顶点坐标是（，顶点坐标是（1，6）9.一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面一个圆柱的高等于底面半径，写出它的表面积积S与半径与半径r之间的关系式。之间的关系式。22 rS 10.n支球队参加比赛，每两队之间进行一场比支球队参加比赛，每两队之间进行一场比赛。写出比赛的场次数赛。写出比赛的场次数m与球队与球队n之间的关系式。之间的关系式。nnm221习题答案习题答案1.设长方形的宽为设长方形的宽为x，面积为，面积为y，则，则y=2x2.2.y=2(1x)2.3.略略.4.抛物线抛物线 y=4x2的开口向上，对称轴是的开口向上，对称轴是 y 轴，轴，顶点是原点，抛物线顶点是原点，抛物线 开口向下，对开口向下，对称轴是称轴是 y 轴，顶点是原点轴，顶点是原点.214yx