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1、全国名校高中数学优质课时训练汇编（优品质）近似计算或者估计: !也知识内容1二项式定理二项式定理（a + b = C0an + Cian-ib + C2an-ib +. + Cnbn （n e N*）nnnn这个公式表示的定理叫做二项式定理二项式系数、二项式的通项C0an + C1 an-1b + C2an-2b2 +. + Cnbn 叫做（a + b）n 的二项展开式，其中的系数nnnnCr （r = 0,1,2,., n）叫做二项式系数,式中的Cran-rbr叫做二项展开式的通项，用T表示,nnr+1即通项为展开式的第r + 1项：T二Cran-rbr .r +1n二项式展开式的各项幂指数
2、二项式（a + b）n的展开式项数为n +1项，各项的幕指数状况是 各项的次数都等于二项式的幕指数n . 字母a的按降幕排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零，字母b按升幕排列，从 第一项起，次数由零逐项增1直到n .几点注意 通项T = Cran-rbr是（a + b）n的展开式的第r +1项，这里r = 0, 1, 2, ., n .r +1n 二项式（a + b丄的r +1项和（b + a丄的展开式的第r +1项Crbn-心是有区别的，应用二项式n定理时，其中的a和b是不能随便交换的. 注意二项式系数（Cr ）与展开式中对应项的系数不一定相等，二项式系数一定为正，而n项的系数有时可为
3、负全国名校高中数学优质课时训练汇编(优品质) 通项公式是(a + b丄这个标准形式下而言的，如(a-b丄的二项展开式的通项公式是T =(-l)Cran-rbr (只须把-b看成b代入二项式定理)这与T二是不同的，在这 r 十 1nr+1n里对应项的二项式系数是相等的都是Cr，但项的系数一个是(-1) Cr，个是Cr，可看出， nnn二项式系数与项的系数是不同的概念 设 a = 1, b = X，贝y得公式：(1 + x)n = 1 + ClX + C2x2 + . + CrXr + . + Xn .nnn 通项是T = Cran-rbr (r = 0,1,2,., n)中含有 T , a, b
4、, n, r 五个元素，r + 1nr + 1只要知道其中四个即可求第五个元素 当n不是很大，|x|比较小时可以用展开式的前几项求(1+ x)n的近似值.2二项式系数的性质杨辉三角形：对于n是较小的正整数时，可以直接写出各项系数而不去套用二项式定理，二项式系数也可 以直接用杨辉三角计算杨辉三角有如下规律：“左、右两边斜行各数都是1其余各数都等于它肩上两个数字的和” 二项式系数的性质：(a + b)n展开式的二项式系数是：C0, C1, C2,., Cn，从函数的角度看Cr可以看成是r为自n n nnn变量的函数f (r)，其定义域是：0, 1, 2, 3, ., n.当n = 6时，f (r)
5、的图象为下图:这样我们利用杨辉三角”和n = 6时f (r)的图象的直观来帮助我们研究二项式系数的性质.对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等.全国名校高中数学优质课时训练汇编（优品质）事实上，这一性质可直接由公式Cm = Cn-m得到.nn增减性与最大值如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的二项式系数最大； 如果二项式的幂指数是奇数，中间两项的二项式系数相等并且最大 由于展开式各项的二项式系数顺次是nn (n -1)C 0 = 1, C i = , C 2 =nn 1 n 2n(n-1)(n-2)C 3 =, .n 123n (n - 1)(n - 2)-(n - k + 2), C
6、k =nCk-1 二n123 (k -1)n (n 1)(n 2).(n k + 2 )(n k +1)123(k l)k，Cn 二 1 n其中，后一个二项式系数的分子是前一个二项式系数的分子乘以逐次减小1 的数（如n, n 1, n 2,），分母是乘以逐次增大的数（如1, 2, 3,）.因为，一个自然数乘以 一个大于1的数则变大，而乘以一个小于1的数则变小，从而当k依次取1, 2, 3,等值时, Cr 的值转化为不递增而递减了.又因为与首末两端“等距离”的两项的式系数相等,n所以二项式系数增大到某一项时就逐渐减小,且二项式系数最大的项必在中间.当n是偶数时，n + 1是奇数，展开式共有n +
7、1项，所以展开式有中间一项，并且这一项的二项式系数最大，最大为C2n当n是奇数时，n + 1是偶数，展开式共有n +1项，所以有中间两项.n 1n 1这两项的二项式系数相等并且最大，最大为C2 = C 2nn 二项式系数的和为 2n，即 C0 + C1 + C2 + . + Cr + . + Cn = 2n .nnnnn 奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C0 + C2 + C4 + 二 C1 + C3 + C5 + .二 2n1 .nnnnnn常见题型有：求展开式的某些特定项、项数、系数，二项式定理的逆用，赋值用，简单的组合数式问题二项式定理的应用 3 近似计算或估计【例1】 计算（0.997 ）5的近似值（精确到0.001 ）
二项式定理的应用近似计算或估计
