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1、二项式定理1二项式定理：+ Cnbn (n e N*),n(a + b) n = C 0 an + C1 an-lb + Cran - rbr +nnn2基本概念： 项数：共(r +1)项通项：T = Cran-rbr展开式中的第厂+ 1项C-b叫做二项式展开式的通项。r+1nn3注意关键点： 项数：展开式中总共有(n +1)项。 顺序：注意正确选择a , b，其顺序不能更改。(a + b)n与(b + a)n是不同的。 指数：a的指数从n逐项减到0,是降幕排列。b的指数从0逐项减到n，是升幕排列。各项的次数和等于n. 系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Co,C1,C2,
2、Cr,Cn.项的系n n nnn数是 a 与 b 的系数(包括二项式系数)。4常用的结论：(令值法)令 a = 1,b = x,(1 + x)n = Co + C1 x + C2x2 + + Crxr + + Cnxn(n e N*)nnnnn令 a =1,b = -x, (1- x)n = C0 -C1x + C2x2 - + Crxr + + (-1)nCnxn(n e N*)nnnnn5.性质: 二项式系数的对称性：与首末两端“对距离”的两个二项式系数相等，即C0 = Cn ,Ck = Ck-1nnnn 二项式系数和：令a = b = 1，则二项式系数的和为C0 + C1 + C2 +
3、Cr + Cn = 2“,nnnnn+ Cn = 2n -1 。 n变形式 C1 + C2 + Cr +nnn奇数项的二项式系数和二偶数项的二项式系数和:C 0 + C 2 + C 4 + C 2 r + =C1 + C 3 + C 2 r+1 + nnnnnnn各项的系数的和：g(x)=(a + bx L.令x=l-g(l)奇数项系数和： 1 g G)+ g (-1) 偶数项系数和：2 lgG)-g(1)nn.二项式系数的最大项：如果n是偶数时，则中间项(第怎+1 )的二项式系数项C 2取得最大值。2n.一 一. 一n +1n + 3如果n是奇数时，则中间两项(第.第 项)系数项C 2 ,
4、C 2同22n n时取得最大值。系数的最大项：求(a + bx) n展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别A A为A , A ,，A ，设第r +1项系数最大，应有S /+1 / ，从而解出r来。 1 2n+1A Ar +1 r +26二项式定理的十一种考题的解法：题型一：二项式定理的逆用；例：C1 + C2 6 + C3 62 + + C n 6 n-1 =.nnnn解：(1 + 6)n = C0 + Cl 6 + C2 62 + C3 63 + Cn 6n 与已知的有一些差距,nnnnnC1 + C2 6 + C3 62+ Cn 6n-1=(C1 6 + C2 62+
5、 Cn 6n )nnnn6 nnn1 1 1 二一(C0 + C1 6 + C2 62 + Cn 6n - 1) = (1+ 6)n - 1 = (7 n - 1)6 n nnn66练：C1 + 3C 2 + 9C 3 + 3n-1 Cn = .nnnn题型二：利用通项公式求Xn的系数;例：在二项式(/X +打)的展开式中倒数第3项的系数为45，求含有X3的项的系数?解：由条件知 Cn-2 = 45，即 C2 = 45，. n2 - n 一 90 = 0，解得 n = -9(舍去)或n = 10，由nn丄210-r 210 r 2T = Cr (X- 4)10 - r(X3)r = Cr X-
6、 4 + 3 r，由题意+ 厂=3,解得厂=6，r +1101043贝U含有X3的项是第7项T = C6 X3 = 210X3,系数为210 o 6+1101练：求(X2 -)9展开式中X9的系数？2XO题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式(x 2 +亍丄)10的展开式中的常数项？解： T = C r (X2)10-rr +110r=CTrx 20 - 2 r，令20 一 2r=0，得r=8，所以 T9=c180(2)8=256练：求二项式(2 X - -)6的展开式中的常数项?2X练：若(x2 +)n的二项展开式中第5项为常数项，则n二 x题型四：利用通项公式，再讨论而确定有理数项；例
7、：求二项式(畧X - 3 x )9展开式中的有理项？i127r27 r_tx解：T = Cr (X 2)9 - r (X 3) r = (1)rCrX 6 ，令G Z ,( 0 T A Cr2 r Cr-12 r-1f 2(11 -厂) 厂. r+1/ = 1010 解得1、c/，化简得到 6.3 k AI Cr2 r Cr + 12 r+1, V + 1 2(10 -厂)r+1r+210100 r 10，. r = 7，展开式中系数最大的项为T = C7 27x7 = 15360x7.8 10题型七：含有三项变两项；例：求当(x2 + 3x + 2)5的展开式中x的一次项的系数？(X2 +
8、3x + 2)5 = (x2 + 2) + 3x5， T = Cr (x2 + 2)5-r (3x)r，当且仅当 r = 1 时，T 的展 r +15r + 1开式中才有X的一次项，此时T= T = C 1(x2 + 2)43x，所以x得一次项为C1C4 243xr + 1255 4它的系数为C1C4 243 = 240。54题型八：两个二项式相乘；例：求(1+ 2 x )3(1-x )4展开式中x2的系数.解：(1+ 2x)3的展开式的通项是Cm - (2x)m = Cm - 2m - xm,33(1-x)4的展开式的通项是 Cn (-x)n = Cn _1n xn,其中m = 0,1,2,
9、3, n = 0,1,2,3,4,44令 m + n = 2,则 m = 0且 n = 2, m = 1且 n = 1, m = 2且 n = 0,因此(1+ 2 x )3(1-x )4的展开式中x2的系数等于 C0 20 - C2 (-1)2 + C1 21 - C1 - (-1)1 + C2 22 C0 (-1)0 = -6 .343434练：求(1+ 3 )6(1+)10展开式中的常数项.练：已知(1+ x + x2)(x +丄)n的展开式中没有常数项,n e N*且2 n &贝Ijn =x3题型九：赋值法；例：设二项式(33： + )n的展开式的各项系数的和为p，所有二项式系数的和为s
10、，若xp + s = 272，则n等于多少？解:若(3/x + 丄)n = a + a x + a x2 + + a xn ， 有 P = a + a + + a ， S = C0 + + Cn = 2n,x012n01nnn令 x = 1 得 P = 4n，又 p + s = 272，即 4n + 2n = 272 n (2n +17)(2n 16) = 0 解得2n = 16或2n = 17(舍去)，. n = 4.练：若x一的展开式中各项系数之和为64，则展开式的常数项为多少？例： 若(1 2 x )2009 = a + ax1 + a x 2 + a x 3 + ax 2009 (x g R),贝 Ua + Z HF hooo 的值为01232009222220091 a aaa aa解： 令x =,可得a +t + 2 FF 2009 = 0, A 1 + 2 FF 2009 = a2 022222009222220090 在令x = 0可得a = 1,因而幺+ 2 FF 2009 = 1.022222009练：若(x 2)5 =a x5 + a x4 + a x3 + a x2 + a x1 + a ,贝Ua + a + a + a + a =,54321012345
二项式定理—解题技巧(老师用)
