求转动惯量ppt课件

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1、1第第5 5质心质心dmdmrrC两体问题的动力学方程两体问题的动力学方程讨论行星运动时常以太阳作为参考系列出行星的牛顿第二定律方程。然而日心系并不讨论行星运动时常以太阳作为参考系列出行星的牛顿第二定律方程。然而日心系并不是严格的惯性系，只有质心系才是严格的惯性系。因为不考虑其他天体，无外力，质是严格的惯性系，只有质心系才是严格的惯性系。因为不考虑其他天体，无外力，质心加速度为零。心加速度为零。;.2第第5 5章章 刚体力学刚体力学转动惯量转动惯量iiimRI2定轴转动定理定轴转动定理dtdIdtLdM定轴转动动能定理定轴转动动能定理MdId2212mdIIC平行轴定理平行轴定理zyxIII薄

2、板垂直轴定理薄板垂直轴定理;.3常见的转动惯量公式常见的转动惯量公式;.4直线运动与定轴转动对照表直线运动与定轴转动对照表txvdd22ddddtxtvatdd22ddddttmvP 221mvEKIL 221IEKFmM2iiIm R质点的直线运动质点的直线运动刚体的定轴转动刚体的定轴转动xFAddddMA madtdpF/MdL dtI1221dPPtF1221dLLtM2122212121dmvmvxF2122212121dIIM5例例 题题;.6例例1(求质心求质心)估算地球和月球组成的地月系统的质心估算地球和月球组成的地月系统的质心解：解：24225.98 10 817.36 10M

3、kgMkg地月863.84 10 606.37 10rmRm地月地两质点系统的质心两质点系统的质心C 到两质点的距离分别为到两质点的距离分别为21121212,mmll llmmmm由杠杆关系由杠杆关系1 12 2mlm l则则160381 18241M rrrllRRMMMM月 地月地月地月地心地地地月地月即地月系统质心在地球内距离地心约即地月系统质心在地球内距离地心约3/4地球半径处地球半径处7例例2（求质心）（求质心）均匀铁丝弯成半径为均匀铁丝弯成半径为R R的半圆形，求此半圆形铁丝的质心。的半圆形，求此半圆形铁丝的质心。选如图坐标系，取长为选如图坐标系，取长为dl的铁丝，质量为的铁丝，

4、质量为dm，以以 表示线密度，表示线密度，dm=dlmydlyc如果是半球壳如果是半球壳?2021sin1RmRdRmyc RyRmc2解：解：质心质心应应在在y轴上。轴上。RddlRysindmdmrrC;.8例例3（求质心）试计算如图所示的面密度为恒量的直角三角形的质心的位置。（求质心）试计算如图所示的面密度为恒量的直角三角形的质心的位置。解：取如图所示的坐标系。由于质量面密度解：取如图所示的坐标系。由于质量面密度 为恒量，取微为恒量，取微元元ds=dxdy的质量为的质量为dm=ds=dxdy，所以质心的，所以质心的x 坐标为坐标为 dxdydxdyxxc xbaay 积分可得积分可得20

5、000632aaxbbcaaxbbabxdxdybxabdxdy 20000632aaxbbcaaxbba bydxdyayabdxdy 因而质心的坐标为因而质心的坐标为 3,3ab（也可用几何法）;.9ab讨论：如果为3根匀质细杆组成三角形而不是面密度均匀的三角形呢？10思考：不对称物体，有什么简单方法找到它的质心？悬挂法11例例4（求瞬心）（求瞬心）如图，仅受大小相等方向相反的一对力作用于一根静止的、自由的、质量如图，仅受大小相等方向相反的一对力作用于一根静止的、自由的、质量均匀分布的细棒的一端，则此棒将绕均匀分布的细棒的一端，则此棒将绕 点转动。点转动。ABOC0CiaMFC点不动点不动

6、而以而以C为参考点，为参考点，M=I 0，因此杆相对，因此杆相对C点有转动点有转动杆绕定点杆绕定点C点转动点转动;.12例例5（质心系）：已知（质心系）：已知m1,m2,k,拉伸拉伸l0求求:(1)拉伸放手后运动特征拉伸放手后运动特征 (2)m1相对相对m2的最大速率的最大速率0120212121lmkvklvmm2m1k解：解：(1)无外力，无外力，aC=0,质心静止质心静止相对于质心振动，振动频率两者相同相对于质心振动，振动频率两者相同位移：两者按杠杆关系，相对于质心方向相反位移：两者按杠杆关系，相对于质心方向相反m1相对相对m2的最大速率是恢复到弹簧原长时的最大速率是恢复到弹簧原长时上式

7、是以上式是以m2为参考系计算的，不是惯性系。有偏差为参考系计算的，不是惯性系。有偏差021210)(lmmmmklkv正确的结果是用正确的结果是用 替换替换m(2)选择选择m2作为参考点，考察作为参考点，考察m1的运动的运动更直接的方法是利用行星运动方程求解更直接的方法是利用行星运动方程求解02022121lkvklv;.13o解：A离悬点后绳的质心自由下落，B相对质心速度不变 此刻B端速度 此刻质心速度 求质心 此刻质心比B高 伸直后质心比B高例6（质心系）长为l、质量线密度为的匀质软绳，开始时两端A和B一起悬挂在固定点上。今使B端脱离悬挂点自由下落，如图所示，当B端下落高度为l/2时，使A

8、脱离悬挂点，问此后经过多长时间绳子完全伸直？(提示：在质心系中分析)Bvgl14Cvgly12 4228Cllllll y 716Cyl116l相对速度34gl71673124tglgll伸直用12l相差716l14例7（质心系）线性引力假设质点间的万有引力是线性的：其中G*为假想的引力常量，r 为两质点的间距。不考虑碰撞的可能性，试导出多质点引力系统各质点的运动轨道和周期。rmmGF21*质心系是惯性系，以质心为坐标原点。质心第 i 个质点),(1iirrm 质点系总质量 m动力学方程组ijijjiiirrmmGrm)(*15iiCiijjijjjijijjiijijjiiirmmGrmmG

9、rmmGrmmGrrmmGrrmmGrm*)(*)(*iirmGr*方程表明，第 i 个质点所受合引力等效于受系统质心的引力。方程组可分离变量，多体问题转化为单体问题。16第 i 个质点的初始运动状态确定一个平面第 i 个质点只能在此平面内运动动力学方程可分解为：iiiimyGymxGx*,*每个方程的解都是简谐运动，角频率都是mG*合成的轨道是一个以质心为中心的椭圆，运动周期为mGT*217附：两体问题的动力学方程附：两体问题的动力学方程讨论行星运动时常以太阳作为参考系列出行星的牛顿第二定律方程。讨论行星运动时常以太阳作为参考系列出行星的牛顿第二定律方程。然而日心系并不是严格的惯性系，只有质

10、心系才是严格的惯性系。因为不考虑其他天然而日心系并不是严格的惯性系，只有质心系才是严格的惯性系。因为不考虑其他天体，无外力，质心加速度为零。体，无外力，质心加速度为零。在质心系中在质心系中mM2222fdtRdMfdtrdm r fRrffMmfMfmdtRrd)11(11)(22mM111fMmdtrd)11(22Rrr：约化质量约化质量fdtrd22行星动力学方程行星动力学方程C相对位矢相对位矢 ff18是上式的近似，偏差在于用是上式的近似，偏差在于用m代替代替 约化质量的出现替代了惯性力的贡献约化质量的出现替代了惯性力的贡献由于日心系是非惯性系，存在惯性力由于日心系是非惯性系，存在惯性力

11、fdtrdfmMdtrdMmfMmfdtrdm222222)()(mM r ff将太阳视为不动点时的行星运动方程将太阳视为不动点时的行星运动方程另解：在日心非惯性系中求解另解：在日心非惯性系中求解Mfa0fdtrdm22m/M 比值可表征日心系准惯性系的精度比值可表征日心系准惯性系的精度19MmmMMmm1其相对偏差为其相对偏差为mM 只要只要，偏差很小，偏差很小m绕质心的运动、绕质心的运动、M绕质心运动、绕质心运动、m绕绕M的运动形式是相同的的运动形式是相同的rRrrrMmRrmRM/0参考点与运动形式参考点与运动形式20第第5 5章章 刚体力学刚体力学;.21例例1（求转动惯量）质量（求转

12、动惯量）质量 m、长、长 l的匀质细杆，转轴垂直细杆的匀质细杆，转轴垂直细杆 (a)位于质心位于质心 (b)位于一端。位于一端。求：细杆的转动惯量。求：细杆的转动惯量。(a)转轴位于质心(b)转轴位于一端dxlmdm/2/22220012212llcmIx dmxdxmll2020231mlmldxxdmxIllAO2/lxx dxxOl2231)21(mllmIIcA或22例2（求转动惯量）：用一根长为1米的轻质刚杆将两个质量各为5.0千克的铅球连接成哑铃。(忽略铅球大小，当质点看待)求：哑铃(a)通过中心C且垂直于杆的轴的转动惯量；(b)绕通过一球且垂直于杆的轴的转动惯量。ABC23解：(

13、a)转轴通过中心C且垂直于杆2BBAAiimkg5.25.00.55.00.522222rrrmmmIC(b)转轴通过A或B且垂直于杆2BBAAmkg0.50.10.500.52222rrmmIA2BBAAmkg0.500.50.10.52222rrmmIB哑铃绕通过一端的轴的转动惯量等于绕过中心的轴的转动惯量的2倍。24例例3（求转动惯量）（求转动惯量）圆环与匀质圆盘，转轴过圆心且于圆平面垂直，圆环与匀质圆盘，转轴过圆心且于圆平面垂直，求求:它们的转动惯量它们的转动惯量圆环圆环20mRI 匀质圆盘匀质圆盘Rrdrr 202020212mRrdrrdmrIRR2Rm;.25例例4（求转动惯量）

14、（求转动惯量）质量为质量为m 半径为半径为R 的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量的匀质薄球壳绕过中心轴的转动惯量sinRd在球面取一圆环带，半径在球面取一圆环带，半径 r sinRr rRddm2dmrI222302sinmRd 223mR24 Rm;.26xixyiyzimiziiiiziiiiyiiiixyxmIxzmIzymI)()()(22222222222)(2mRzyxmIIIiiiiizyxIIIIzyx232mRI 方法二：;.27例例5（求转动惯量）（求转动惯量）求质量为求质量为m 半径为半径为R 的匀质球体绕过球心轴的转动惯量的匀质球体绕过球心轴的转动惯量MR把球体看作无数个

15、厚度为把球体看作无数个厚度为dr 的同心薄球壳的组合的同心薄球壳的组合drrdm24233mr drR232rdmdII4302Rmr drR225mR质量为质量为dm的半径为的半径为r的薄球壳转动惯量的薄球壳转动惯量dI232dmrdI)34/(3Rm;.28例例6（求转动惯量）（求转动惯量）质量m、边长分别为a和b的匀质长方板，转轴通过中心O且与板面垂直。应用量纲分析和平行轴定理求板的转动惯量。a2/b2/b1O2OO量纲分析23221mbmabmaIO其中的系数待定边长a和b互换，转动惯量不变23221mamabmbIO)()(223221baba31mabbamIO2221;.29a2

16、/b2/b1O2OOmabbamIO22212242222121bambamIIOO应用平行轴定理mabmbmabmIIOO2212122116144221比较系数221121161401212122112OIm ab30例例7(求转动惯量求转动惯量)匀质正方形薄板质量为m，各边长为a，在板平面设置过中心O的转轴MN，试求板相对该轴的转动惯量。OMN解：过O点作MNMN，则有I=IMN坐标系Oxy，相对xy轴转动有xy2112xyIIma垂直轴定理有zIIIxyzIIIIz是绕O且垂直与板平面，则xyzIIIII2112xIIma;.31例例8(求转动惯量求转动惯量)如图如图,圆环质量圆环质量

17、m1，半径，半径R，短棒质量，短棒质量m2,长度长度d。求：对。求：对z轴的转动惯量轴的转动惯量2121121dRmRmI根据平行轴定理，圆环对转轴根据平行轴定理，圆环对转轴z的转动惯量为的转动惯量为 圆环转动惯量转轴：过圆心，与纸面垂直圆环转动惯量转轴：过圆心，与纸面垂直212121RmIIIzyx解：解：2121222131dRmRmdmI因此，整个元件对因此，整个元件对z轴的转动惯量为轴的转动惯量为根据正交轴定理有根据正交轴定理有21RmIzdzROy x z;.32例例9(刚体定轴转动刚体定轴转动)长长l质量质量m的均匀细杆，一端固定在水平轴的均匀细杆，一端固定在水平轴O上，从水平位置

18、，自静止释放后上，从水平位置，自静止释放后下摆。求下摆。求(1)和和d/dt (2)aC 和和aCn (3)fn和和f Cmgf nf解解 (1)外力外力fn和和f 不做功，不做功，mg为保守力，故为保守力，故m和地球系统机械能守恒。和地球系统机械能守恒。以杆处于水平位置为重力势能零点以杆处于水平位置为重力势能零点杆在任一位置与水平方向夹角杆在任一位置与水平方向夹角 时时机械能守恒方程为机械能守恒方程为221sin02213lImgIml23singl对对 2求导求导lgdtdlgdtdcos3cos32lgdtd2cos3 lgsin3;.33 (2)cos43cos232glglaCcos

19、23sin32glglaCndtdRaC2RaCndv/dt=r d /dtv2/=r 2 (3)Cnnmamgfsinsin25sin23sinmggmmgfnCmafmgcoscos41cos43cosmggmmgf222sin9914mgfffn合力合力34极值讨论极值讨论02sin25mgfncos41mgf 2sin9914mgfmg4100mg25mg41mg25呼应两人抬杆，一人失手。可看作前面例题是本题当呼应两人抬杆，一人失手。可看作前面例题是本题当 =0时的瞬间情况时的瞬间情况35例例10(刚体定轴转动刚体定轴转动)如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量如图

20、所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量m与单摆与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止状态下，令它自静止状态下垂，垂，于铅垂于铅垂位置和直杆作位置和直杆作弹性碰撞弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度。求碰撞后直杆下端达到的高度h。chchh=3h0/2bamlh0l;.36令碰撞后直杆的角速度为令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为，摆锤的速度为v。由角动量守恒，有由角动量守恒，有在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的在弹性碰撞过程中机械能也是守恒的:l23,200vvv二式联立解得：二式联立解得：20

21、31,)(mlIIml式中vv222021)(21Im vv按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为40hh而杆的质心达到的高度满足而杆的质心达到的高度满足0322chhh由此得由此得cmghI221解解:碰撞前单摆摆锤的速度为碰撞前单摆摆锤的速度为002ghv034chh37例例11(11(刚体定轴转动刚体定轴转动)均匀直杆均匀直杆(l，M),),一端挂在光滑水平轴上，开始时静止在竖直位置，有一一端挂在光滑水平轴上，开始时静止在竖直位置，有一子弹子弹(m，vo)水平射入而不射出。求杆与子弹一起运动时的水平射入而不射出。求杆与子弹一起运动时的角速度角速度

22、。解：解：子弹进入到一起运动瞬间完成子弹进入到一起运动瞬间完成系统系统(子弹子弹+棒棒)外力：外力：重力、轴的作用力重力、轴的作用力在碰撞瞬间对轴的力矩为零在碰撞瞬间对轴的力矩为零碰撞瞬间对轴角动量守恒碰撞瞬间对轴角动量守恒动量守恒？动量守恒？0mlvlmMmv)3(30mlv)31(2Ml21III2231Mlml v0 00机械能守恒？机械能守恒？Imlv 0lv;.38例例12(刚体定轴转动刚体定轴转动)如图所示，一质量为如图所示，一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端，的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端，穿出后速度损失穿出后速度损失3/4，求子弹穿出后棒的角速

23、度，求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为。已知棒长为l，质量为，质量为M。解解:以以f代表棒对子弹的阻力，对子弹有代表棒对子弹的阻力，对子弹有:0043)(dvvvmmtf子弹对棒的反作用力对棒的冲量子弹对棒的反作用力对棒的冲量矩为：矩为：Itfltlfdd因因 ，由两式得由两式得ffMlmIlm494300vv231MlI v0vmMl;.39例例13(刚体定轴转动刚体定轴转动)棒球运动员击球的效果如何，取决于击球点的位置是否合适。理论分析表棒球运动员击球的效果如何，取决于击球点的位置是否合适。理论分析表明，存在这样一个击球点明，存在这样一个击球点(如图如图)，使手握的约束力为零。这个最佳位置

24、被称为打击中心。求：打，使手握的约束力为零。这个最佳位置被称为打击中心。求：打击中心的位置。击中心的位置。解：如图，设手握处为参考点解：如图，设手握处为参考点O，棒，棒的质心位置为的质心位置为rC，击球点的位置为，击球点的位置为r。击球瞬间反弹的球给棒一冲击力击球瞬间反弹的球给棒一冲击力f,手给棒一约束力手给棒一约束力f0 0，列出运动方程，列出运动方程dtdIfr转动定理转动定理质心运动定理质心运动定理运动学关系运动学关系f0fOccrrdtdvmffc0dtdrdtdvcc;.40fIrmrfc 10令令 f0 0=0=0，得到打击中心位置为得到打击中心位置为20cccmrIkkrmrIr

25、，讨论：讨论：比例系数比例系数k 被定义为实际惯量与质心惯量之比，其数值被定义为实际惯量与质心惯量之比，其数值 取决于棒的形状。取决于棒的形状。k约在约在1.11.3范围范围f0fOccrrcccrrrklrmlI3.134,3421,3102均匀棒均匀棒lrc32细长三角形平板细长三角形平板dxxxllldxxdxxxI04324122121lllm而corrk1.18941手握的约束力，还有维持质心运动的向心力和对重力的支持力，它们是持续力，在击球手握的约束力，还有维持质心运动的向心力和对重力的支持力，它们是持续力，在击球前就已存在。击球瞬间使手突感震动的是约束力前就已存在。击球瞬间使手突

26、感震动的是约束力f0 0 的反作用力。的反作用力。f0fOccrr用棒击球时，若击球点在打击中心附近，则手受到棒的作用力最小。若击球点到手握处用棒击球时，若击球点在打击中心附近，则手受到棒的作用力最小。若击球点到手握处(转转轴轴)的距离的距离rrO，则手对棒的作用力，则手对棒的作用力f0 0与球对棒的作用力与球对棒的作用力f 方向相同，握棒的手指受力。若，方向相同，握棒的手指受力。若，r m1，滑轮质量M，半径为R,绳子质量忽略，滑轮与轴无摩擦，与绳有摩擦、无滑动。求重物的加速度及摩擦因数的取值范围？解：解：m1gT1T2m2gaamgmT111amTgm222T2T1MfIRTRT12Raa

27、221MRI a121221112122122()2()(4)2()(4)2()mmagMmmMm mTgMmmMm mTgMmm44dRdN)(TdTT 121lnTT121lnTT2112)4()4(ln1mmMmmM建立坐标系，分析临界状态的一段线元沿滑轮切向()coscos22ddTdTTdfdN()sinsin22ddTdTTdNdTdT cos1,sin222ddd利用120TTdTdT 沿滑轮法向45例2在水平的光滑细杆上，套着两个半径相同的匀质圆柱体。开始时1以角速度0绕细杆转动，同时以速度v0朝2运动，2静止。两者发生弹性碰撞，碰撞力在接触面上均匀分布，接触面之间的摩擦因数

28、处处相同。求碰后两者的速度和角速度。R1m2m两个圆柱体的碰撞是正碰，碰撞力不影响各自相对质心的转动动能两个圆柱体平动动能守恒210122222112012211012212121mmvmvvmvmvmvmvmvm00v46平均碰撞力210212mmvmmtN平均摩擦力矩RNrrdrRNMR322021、2的平均角加速度RmNRmNIM2211134,34碰撞后，二者的角速度)(38,)(3821012221020101mmRvmtmmRvmt47上述结果适合128300Rv 满足条件若不满足上述条件，则必在二者角速度相等时摩擦力消失。碰撞力和摩擦力都是内力，系统的角动量守恒。21012101

29、21mmmIII48例例3 圆桶和圆柱同时自静止开始从高为圆桶和圆柱同时自静止开始从高为h的斜面顶部纯滚至斜面底部，试求它们的质心速度和角的斜面顶部纯滚至斜面底部，试求它们的质心速度和角速度。速度。hfCOmgN解：物体受力如图，物体与地球构成的系统机械能守恒。取物体在斜面底部时质心高度处为重力势能零点，则柯尼西定理221122CCmImgh纯滚CR2221122CCCmImghR2222CCCIghmR221CCghImR圆桶2CImR圆柱212CImR21CImR212CImRCgh23Cgh C(桶桶)与质量分布有关与质量分布有关到底部(h=0)时平动能转动能圆桶2ghR12mgh12m

30、gh圆柱223ghR23mgh13mgh50关于摩擦力的讨论，设斜面倾角为关于摩擦力的讨论，设斜面倾角为 质心定理sinCdmgfmdt转动定理CdRfIdt纯滚条件CR即CddRdtdt2CCdR fIdt即2CCdRfdtI21sinCmRfmgI2sin1CmgfmRI圆桶：21,sin2CImRfmg圆柱：211,sin23CImRfmg最大静摩擦力maxcosfmg纯滚下应有：maxff静圆桶：11cossin,tan22mgmg 圆柱：11cossin,tan33mgmg 小于此值将出现又滑又滚，当小于此值将出现又滑又滚，当 =0的极限情况下，仅滑动。的极限情况下，仅滑动。51例例

31、4 光滑地面，细杆长为光滑地面，细杆长为l，质量为，质量为m。竖直放置状态下受一微扰后倒下。求质心速度。竖直放置状态下受一微扰后倒下。求质心速度 C和角速度和角速度 (表达成杆与竖直方向夹角表达成杆与竖直方向夹角 的函数的函数)A CmgCNO OxyA CA 解：坐标解：坐标O-xy受力：受力：,mg N定性：定性：C沿沿y，A沿沿x0CN系统系统E=Ek+Ep=C。地面。地面Ep=0，则有，则有2211cos2222CCllmgmImg一个方程，两个位置量一个方程，两个位置量 C和和，故建立，故建立 C与与 的关系式构成的关系式构成第二个独立方程第二个独立方程 0cos2CCxly故故0

32、xCCdxdtsinsin22yCCdyldldtdt 即即sin2Cl;.52解方程，得解方程，得212 1 cossin21 3sinCgll 212 1 cos1 3singl讨论：讨论：不是纯滚，故不是纯滚，故2Cl I：关于：关于sin2Cl 方法方法1.确定瞬心确定瞬心O 后，由后，由0OCCO 得到得到sin2Cl 方法方法2.ACCA 得得sin2Cl 角速度的唯一性角速度的唯一性53II：实际背景：实际背景例如滑冰时不慎后仰滑倒头部受力分析例如滑冰时不慎后仰滑倒头部受力分析此时此时2 33,32CBglglgll AO A脚脚膝膝腰腰背背头头CB设设l 1.8m，m 70kg

33、，g 9.8m/s23 9.8 1.87m/sB与百米与百米14秒的平均速度相对，且又弹回，受力秒的平均速度相对，且又弹回，受力22 70 71000N1Bmft70 9.8mg 700N 大人：大人：l 大大m大，刚性好，且有自我保护意识大，刚性好，且有自我保护意识摇动双臂，又增加了危险摇动双臂，又增加了危险小孩：小孩：l 小小m小，柔性好，且取自然状态小，柔性好，且取自然状态54例5匀质细杆的匀质细杆的A端、端、B端和中央位置端和中央位置O处各有一光滑小孔。处各有一光滑小孔。先让杆在光滑的水平桌面上绕先让杆在光滑的水平桌面上绕O孔以角速度孔以角速度0顺时针旋转。顺时针旋转。操作：当杆运动到

34、同一位置时，依次以操作：当杆运动到同一位置时，依次以A、B、O为转轴。为转轴。求：最后绕求：最后绕O转动时角速度的方向和大小。转动时角速度的方向和大小。0AOB设细杆质量设细杆质量m长长l，则相对，则相对O、A、B的转动惯量的转动惯量2231,121mlIImlIBAO正方向正方向55AOB杆相对桌面上固定点杆相对桌面上固定点(A)的角动量的角动量20lmvILOOAA点操作不影响杆相对桌面上点操作不影响杆相对桌面上A点的角动量，故杆的角动量守恒。点的角动量，故杆的角动量守恒。AAAILoA41在在A点插入转轴，杆绕点插入转轴，杆绕A点转动点转动插入转轴之前插入转轴之前)(AA孔插入细棍之后，

35、稳定后角速度为孔插入细棍之后，稳定后角速度为A0OvAALL 质心质心O点速度点速度oOAIL0杆转动到图示位置杆转动到图示位置56AAOBO点的速度点的速度llvAO0812BL081B在在B点插入转轴，杆绕点插入转轴，杆绕B点转动点转动插入转轴之前插入转轴之前O点相对桌面上固定点点相对桌面上固定点(B)的角动量的角动量)(BOv2lmvO02241mlBBBIL插入转轴之后插入转轴之后BBLL AOI杆转动到图示位置杆转动到图示位置B点操作不影响杆相对桌面上点操作不影响杆相对桌面上B点的角动量，故杆的角动量守恒。点的角动量，故杆的角动量守恒。负号表示细杆绕负号表示细杆绕B轴逆时针方向旋转轴逆时针方向旋转57AOB杆相对桌面上固定点杆相对桌面上固定点(O)的角动量的角动量BOOIL在在O点插入转轴，杆绕点插入转轴，杆绕O点转动点转动插入转轴之前插入转轴之前)(OOOOIL插入转轴之后，质心相对插入转轴之后，质心相对O轴角动量为轴角动量为0。紧接着插入。紧接着插入O孔细棍过程中，细杆对孔细棍过程中，细杆对O轴角动量轴角动量守恒守恒081OOOLL 杆转动到图示位置杆转动到图示位置