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1、 2、对称性、对称性 一、研究双曲线一、研究双曲线 的简单几何性质的简单几何性质1、范围、范围2222,1,xxaaxa xa 即即关于关于x轴、轴、y轴和原点都是对称轴和原点都是对称.x轴、轴、y轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心轴是双曲线的对称轴，原点是对称中心,又叫做双曲线的又叫做双曲线的中心中心.xyo-aa(-x,-y)(-x,y)(x,y)(x,-y)22221(0,0)xyabab 3、顶点、顶点xyo1B2B1A2A（2 2）如图，）如图，线段线段A A1 1A A2 2叫做双曲线的叫做双曲线的实轴实轴，它的长为，它的长为2a,2a,a a叫做叫做实半轴长实半轴长；线段线段B
2、B1 1B B2 2叫做双曲线的叫做双曲线的虚轴虚轴，它的长，它的长为为2b,2b,b b叫做双曲线的叫做双曲线的虚半轴长虚半轴长.（3 3）实轴与虚轴等长的双曲线）实轴与虚轴等长的双曲线叫叫等轴双曲线。等轴双曲线。（1 1）令）令y=0y=0，得，得x=x=a,a,则双曲线与则双曲线与x x轴的两个交点为轴的两个交点为A A1 1(-a,0),A(-a,0),A2 2(a,0)(a,0)，我们把这两个点叫，我们把这两个点叫双曲线的顶点双曲线的顶点;令令x=0,x=0,得得y y2 2=-b=-b2 2,这个方程没有实数根，说明双曲线与这个方程没有实数根，说明双曲线与y y轴没有交点，但轴没有
3、交点，但我们也把我们也把B B1 1(0,-b),B(0,-b),B2 2(0,b)(0,b)画在画在y y轴上。轴上。)0(22mmyx的图像是什么？思考：xy1轴轴和图像无限靠近yx1,xyyx轴轴叫做的渐进线.4、渐近线、渐近线1A2A1B2Bxyobyxa byxa ab利用渐近线可以较准确的画出利用渐近线可以较准确的画出双曲线的草图双曲线的草图(2)渐近线对双曲线的开口的影响渐近线对双曲线的开口的影响(3)双曲线上的点与这两双曲线上的点与这两直线有什么位置关系呢直线有什么位置关系呢?如何记忆双曲线的渐近线方程？如何记忆双曲线的渐近线方程？双曲线的渐近线方程双曲线的渐近线方程对于双曲线
4、 ，把方程右边的“1”换成“0”，得双曲线渐近线方程为)0,0(12222babyax.002222xabybyaxbyax或或思考：对于双曲线 的渐近线有怎样的结论呢？22221(0,0)yxabab练习、求下列双曲线的渐近线方程练习、求下列双曲线的渐近线方程 (1)4x(1)4x2 29y9y2 2=36,=36,(2)25x (2)25x2 24y4y2 2=-100.=-100.2x3y=05x2y=05、离心率、离心率e是表示双曲线开口大小的一个量是表示双曲线开口大小的一个量,e 越大开口越大越大开口越大ca0e 12222()11bcaceaaa （4）等轴双曲线的离心率等轴双曲线
5、的离心率e=?2,关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称图形图形方程方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率1(0,0)xyabab 2 22 22 22 2A1（-a，0），），A2（a，0）A1（0，-a），），A2（0，a）1 00yx(a,b)ab 2 22 22 22 2 yaya x R ，或或关于关于x轴、轴、y轴、原点对称轴、原点对称 (1)ceea 渐进线渐进线ayxb .yB2A1A2 B1 xOF2F1xB1yO.F2F1B2A1A2.F1(-c,0)F2(c,0)F2(0,c)F1(0,-c)x axa y R ，或或 (1)ceea byxa 例例1 求双曲
6、线求双曲线 9y2-16x2=144的实半轴长和虚半轴长、的实半轴长和虚半轴长、焦点坐标、离心率、渐进线方程焦点坐标、离心率、渐进线方程.可得实半轴长可得实半轴长a=4，虚半轴长，虚半轴长b=3焦点坐标为（焦点坐标为（0，-5）、（）、（0，5）45 ace离离心心率率xy34 渐进线方程为渐进线方程为解：把方程化为标准方程解：把方程化为标准方程221169yx例例2双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分双曲线型自然通风塔的外形，是双曲线的一部分绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为绕其虚轴旋转所成的曲面，它的最小半径为12m,上口半径为上口半径为13m,下口半径为下口半径为25m,高高5
7、5m.选择适选择适当的坐标系，求出此双曲线的方程当的坐标系，求出此双曲线的方程(精确到精确到1m).解：如图，建立直角坐标系解：如图，建立直角坐标系xOy,使使小圆的直径小圆的直径AA1在在x轴上，圆心与原轴上，圆心与原点重合。这时，上下口的直径点重合。这时，上下口的直径CC1,BB1都平行于都平行于x轴，且轴，且CC1=132,BB1 252CxyOA1AC1BB1131225).55,25(),13(),0,0(12222yByCbabyax的坐标为则点的坐标为令点设双曲线的方程为2222222225(55)1(1)12,131.(2)12ybyb219275181500(3)bb化化简简
8、得得用计算器解方程用计算器解方程(3)，得，得b25221144625xy所以，所求双曲线的方程为22(1)191644xy22(2)1128xy 293132yx 渐近线方程为：且过点，22(3)1188xy221492454xye例3 求与椭圆有公共焦点，且离心率的双曲线方程。.191622yx可得,91625,42ba求得455a由05），焦点为（5c得2524492c解：由3.3.求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点求中心在原点，对称轴为坐标轴，经过点P(1,(1,3)3)且离心率为且离心率为 的双曲线标准方程的双曲线标准方程.22 2.过点（过点（1，2），且渐近线为），且渐近线为3
9、4yx 的双曲线方程是的双曲线方程是_.1.求与椭圆求与椭圆xy221681有共同焦点，渐近线方程有共同焦点，渐近线方程为为xy30的双曲线方程。的双曲线方程。22162xy4.若双曲线的离心率为若双曲线的离心率为2，则两条渐近线的交角为，则两条渐近线的交角为 。60 点点M(x,y)与定点与定点F(5,0)的距离和它到定直的距离和它到定直线线l:的距离的比等于常数的距离的比等于常数 ，求，求M点的轨迹点的轨迹.165x 54解：解：根据题意得根据题意得22(5)5164|5xyx22916144xy化简，得化简，得2211 69xy即：即：这是双曲线这是双曲线.例4 116922yx42.过
10、双曲线过双曲线的左焦点的左焦点F1作倾角为作倾角为的直线与双曲线交于的直线与双曲线交于A、B两点，则两点，则|AB|=.192720 xy30 xy2212xy2214yx 2212yx 2214xy3.双曲线的两条渐进线方程为双曲线的两条渐进线方程为，且截直线，且截直线所得弦长为所得弦长为则该双曲线的方程为（则该双曲线的方程为（）(B)(C)(D)(A)8 33D补充补充:以已知双曲线的虚轴为实轴,实轴为虚轴的双曲线叫原双曲线的共轭双曲线,求证:(1)双曲线和它的共轭双曲线有共同的渐近线;(2)双曲线和它的共轭双曲线的四个焦点在同一个圆上.YXA1A2B1B2F1F2oF2F1问:有相同渐近线的双曲线方程一定是共轭双曲线吗？(a,0)(0,a)x-a或xa双曲线方程双曲线方程范围范围对称性对称性顶点顶点离心率离心率对称轴：对称轴：x轴、轴、y轴轴对称中心：原点对称中心：原点焦焦点点在在x轴轴焦焦点点在在y轴轴22221xyab22221yxab,1ceeay-a或yabyxa ayxb 渐近线渐近线
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