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1、课题学习课题学习猜想、证明与拓广想一想 任意给定一个正方形，是否存在另一个正任意给定一个正方形，是否存在另一个正方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长方形，它的周长和面积分别是已知正方形周长和面积的倍？你是怎么做的？你有哪些解决和面积的倍？你是怎么做的？你有哪些解决方法？你能提出新的问题吗？方法？你能提出新的问题吗？结论：不存在另结论：不存在另一个正方形，它的周一个正方形，它的周长和面积分别是已知长和面积分别是已知正方形周长和面积的正方形周长和面积的倍。倍。2a22a2a24a2aa做一做 如果已知矩形的长和宽分别为和，结论会如果已知矩形的长和宽分别为和，结论会怎样呢？与同伴进行交流。怎样呢
2、？与同伴进行交流。2412解解:设矩形的长和宽分别为设矩形的长和宽分别为X和和Y,则有则有 任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的倍？的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的倍？x64xyxy3535xy解得解得结论：存在结论：存在演示演示演示议一议 当已知矩形的长和宽分别为和时，是否还有相同的当已知矩形的长和宽分别为和时，是否还有相同的结论？当已知矩形的长和宽分别为和，和，结论？当已知矩形的长和宽分别为和，和，n和呢？和呢？给定矩形给定矩形另一个矩形另一个矩形长长宽宽周长周长面积面积长长宽宽存存在在性性2162 3
3、1834110451125 n12(n+1)n5353104104175266266112nn112nn517 更一般地，当已知矩形的长和宽分别为更一般地，当已知矩形的长和宽分别为n和和m时，是否还有相同的结论？时，是否还有相同的结论？mnnm解解:设所求矩形的长和宽分别为设所求矩形的长和宽分别为X和和Y,则则mnxynmyx)(2解得解得2222xmnmnymnmn 结论：任意给定一个矩形，存在另一个矩形，它结论：任意给定一个矩形，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的2倍。倍。想一想 任意给定一个矩形，是否存在另一个矩形，它任意给定一
4、个矩形，是否存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？你是怎么做的？你是怎么做的？做一做 如果已知矩形的长和宽分别为和，结论会怎如果已知矩形的长和宽分别为和，结论会怎样呢？与同伴进行交流。样呢？与同伴进行交流。结论：结论：如果已知矩形的长和宽分别为和，不存在如果已知矩形的长和宽分别为和，不存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半。的一半。解：设所求矩形的长和宽分别为解：设所求矩形的长和宽分别为X和和Y，则有，则有321xyxy 32yx由由 得得代代入入 得得3
5、()12xx22320 xx化简得化简得249 160bac所以此方程无解所以此方程无解因为因为演示演示演示如果已知矩形的长和宽分别为和，结论如果已知矩形的长和宽分别为和，结论会怎样呢？与同伴进行交流。会怎样呢？与同伴进行交流。解：设所求矩形的长和宽分别为解：设所求矩形的长和宽分别为X X和和Y Y，则有，则有723xyxy解得解得：232xy 结论：如果已知矩形的长和宽分别为和，存在结论：如果已知矩形的长和宽分别为和，存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半积的一半演示演示演示议一议 当矩形满足什么条件时，才存在一个矩形，它
6、的当矩形满足什么条件时，才存在一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半？结论结论:任意给定一个矩形，不一定存在另一个矩形，任意给定一个矩形，不一定存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半。它的周长和面积分别是已知矩形周长和面积的一半。22mnxymnxy解：设所求矩形的长和宽分别为解：设所求矩形的长和宽分别为X和和Y，则有，则有11()22xmnxmn消元得消元得22()0 xmn xmn化简化简得得22224()86bacmnmnmnmn因为因为所以当所以当226mnmn时，存在时，存在.反之，不存在反之，不存在.小结 你有什么收获？你有什么收获？策略：策略：（1）先考查一些简单的、特殊的情形；）先考查一些简单的、特殊的情形；（2）发现规律，再讨论一般情形；）发现规律，再讨论一般情形；（3）最后得出结论。）最后得出结论。
课题学习-猜想、证明与拓广
